從數(shù)形結(jié)合角度解絕對(duì)值不等式

吳遠(yuǎn)覺(jué)

絕對(duì)值不等式的常見(jiàn)解法有定義法、平方法、零點(diǎn)分區(qū)法，要點(diǎn)在于去掉絕對(duì)值。如果運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義，或者運(yùn)用絕對(duì)值函數(shù)圖像，從數(shù)形結(jié)合角度來(lái)解絕對(duì)值不等式，則顯得直觀、簡(jiǎn)便。下面筆者結(jié)合實(shí)例加以說(shuō)明。

例1（2017年全國(guó)卷Ⅲ）已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-2|，求不等式f（x）≥1的解集。

解析：|x+1|-|x-2|表示x與-1的距離和x與2的距離之差，f（x）≥1表示這個(gè)差不小于1。結(jié)合數(shù)軸可知，x需位于1或者1的右邊（如圖1），故不等式的解集為{x|x≥1}。

當(dāng)然也可以通過(guò)零點(diǎn)分區(qū)討論求解，還可以作出函數(shù)f（x）與y=1的圖像，從圖像上發(fā)現(xiàn)f（x）的解是{x|x逸1}。

例2（2009年遼寧卷）設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|。

（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；

（2）如果x∈，f（x）≥2恒成立，求a的取值范圍。

解析：（1）a=-1時(shí)，f（x）=|x-1|+|x+1|表示x到-1的距離和到1的距離之和。如圖2，當(dāng)x位于-1和1中間時(shí)，f（x）=2<3，顯然不成立，故x需位于-1左側(cè)或者1的右側(cè)。由線(xiàn)段長(zhǎng)可知，x∈（-∞，-1.5]∪[1.5，+∞）。

（2）x∈，f（x）≥2恒成立表示f（x）的最小值大于等于2。而f（x）最小時(shí)x位于1和a的中間，故a應(yīng)該在1的左邊或者右邊最少相距2的位置，故a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）。

本題常規(guī)做法需要對(duì)a與1進(jìn)行比較，分三種情況討論，顯得繁瑣。數(shù)形結(jié)合讓題目變得簡(jiǎn)單直觀，方便快捷。

華羅庚先生說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微。”數(shù)形結(jié)合作為中學(xué)階段一種非常重要的數(shù)學(xué)思想方法，需要平時(shí)多滲透、訓(xùn)練，才能切實(shí)提高學(xué)生的解題能力。

（作者單位：長(zhǎng)沙麓山外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)）