“數線段”的建模教學嘗試

□朱小艷

有一次，曾觀摩一位老師在教學北師大版四年級上冊“數學好玩”之三“數圖形學問”。當教學行進到3+2+1=？時，幾乎所有學生按教師“預設”按部就班計算。

“4×3÷2＝6”，突然一位學生大聲說道。 可這位老師不予理睬。當時，筆者就在想：這是對的呀！為什么不讓這位學生站起來說說理由呢？是老師根本沒有預設到？還是嫌麻煩引導學生從“數列”推演出？

課后，與其交流。老師擔心讓這位孩子站起來說，讓“預設”的教學被打破，無法進行下步“換種數法”的教學。喜歡刨根問底的筆者一直沒有放棄思考：或許班上一些學生學了“奧數”，知道“（首項+末項）×項數÷2”。如果讓那位孩子來說，整個教學就會宕開一筆，旁逸斜出，確實難以拉回正題；況且從“數列”推演著實有點“揠苗助長”并“曲高和寡”。那可不可以從另外角度與層次引導學生理解，讓這次 “綜合與實踐”更好玩呢？細思量，“數線段”“握手”也好，“單程票”也罷，都是 “組合”問題，即從n個不同元素中取出2個元素的所有組合數，就是n×（n－1）÷2。但絕不能對小學四年級學生這樣引導，這就關系到“深入”之后如何“淺出”的問題。

回到教材關于“線段”的概念上：線段有兩個端點，線段有一定長度。意即在直線上任意兩點之間的距離就是一條線段，也就是在直線上，一點可以與另外任意一點連成一條線段。于是，筆者所在學校就以“數線段的兩種玩法”為題進行了一次深入的專題研修。且附教材：

首先，還是遵循教材編排意圖利用多媒體進行教學：在創設“鼴鼠鉆洞”情境后，將曲線洞徑變成線段圖，并用字母表示洞口；然后分別按“線段長短”和“不同的點出發”兩種方法進行數線段，做到“不重不漏”。學生初步感受、理解、操作后，通過 “菜地旅行”計算單程票增加 “點”的數量，從而建立“數線段”模型。即標有多個點的這種圖形：

線段總數就是以“點數減1”作為第一個加數，然后“依次減1”的數相加，一直加到“1”為止。

一課時的教學，聲形并茂的課件激發并維持著學生的學習興趣，學生親自參與畫線段、數線段，不亦樂乎！整堂課滲透了“轉化” “數形結合” “建模”等數學思想，學生充分領會到了“有序思考”。

第二課伊始，以完成填空復習鞏固導入：即標有多個點的這種圖形：

線段總數就是以 （ ）作為第一個加數，然后（ ）的數相加，一直加到 （ ）為止。

如 （）+（）+（）+（）+（）+（）=（）

接下來，師生一起“玩”了幾個名堂。

一、師生競技比速度

學生自己選派信任的同學上臺擔任“主考官”，臨時在黑板上出題。為了教學有效，將圖形的點控制在10—20范圍之內。同時選派3名計算高手上臺跟老師“pk”，其余同學邊計算邊當評委。

三個回合下來，全班學生皆敗無疑。 “同學們，三次都敗了吧。想不想知道，老師是如何 ‘玩’贏你們的？”下一個“玩”法就在學生的躍躍欲試中開啟了。

二、換種算法自主悟

（一）找出圖形上的A點與其他點連接組成的線段，如圖：

板演：

A：AB、AC、AD、AE

當找出圖形上的B點與其他點連接組成的線段時，學生提出質疑：線段AB不是已經數了，還用數嗎？老師鼓勵道：“我們不妨先按照數與A點連接的線段一樣數下去，看看會是怎樣的！”

（二）按照“兩點相連組成線段”方法數完所有線段

于是，學生數出了這樣多的線段：

A：AB、AC、AD、AE

B：AB、BC、BD、BE

C：AC、BC、CD、CE

D：AD、BD、CD、DE

E：AE、BE、CE、DE

數完之后，老師引導：你發現了什么？學生很快發現：按照“兩點相連組成線段”方法數，數出了5×4=20條線段，但每條線段數了兩次。

（三）總結歸納新的算法

緊接著，讓學生“想一想”、“說一說”新的算法，在學生處于“憤悱”狀態時，適時拋出了填空題，幫助學生理清算理與算法：

圖形的每一點都與其余 （ ）點連接組成 （ ）條線段，照這樣計算，共有 （ ）條線段，但是每條線段數了 （ ）次，所以線段總數是 （ ）。

經過充分討論與交流，學生終于恍然大悟：

圖形的每一點都與其余 （4）點連接組成 （4）條線段，照這樣計算，共有 （5×4）條線段，但是每條線段數了 （2）次，所以線段總數是 （5×4÷2）。

（四）牛刀小試新的算法

要求：先想后說，邊說邊列算式，可不再詳細列出具體的線段。學生紛紛上臺邊說邊列算式，有板有眼，無不輕松快樂！如：

圖形上的每一點都與其余7點連接組成7條線段，照這樣計算，共有8×7條線段，但是每條線段數了2次，所以線段總數是8×7÷2=28條線段。

三、鞏固遷移天地寬

（一）不一樣的握手

1．依次增減玩法。第一組5位學生上臺表演握手：A同學與其余4位同學握完手就下臺，B同學與其余3位同學握完手就下臺，C同學與其余2位同學握完手就下臺，剩下D、E同學握完手一起下臺。全班同學列出算式：4+3+2+1=10。

2．對等重復玩法。另一組5位同學上臺表演握手：A同學與其余4位同學握完手原地等待，B同學與其余4位同學握完手原地等待，一直待E同學握手完畢，5位同學一起下臺。全班同學列出算式：5×4÷2=10。

3．說清新玩法。學生借鑒線段的數法，略加思考，很快說出了玩法：每位學生都與其余4位學生握一次手，照這樣計算，共握5×4次手，但是每兩位學生握了2次手，所以握手總次數是5×4÷2=10。

4．增加數量鞏固新玩法。如：15位學生站成一排，每2位學生握一次手，一共要握多少次手？

按照原法：14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105

新解如下：

每位學生都與其余14位學生握一次手，照這樣計算，共握15×14次手，但是每兩位學生握了2次手，所以握手總次數是15×14÷2=105。

（二）為“數角”新解埋下伏筆

“北師版”教材四年級下冊有數角的練習如下：

數圖形中的學問

當按教材教學后，同樣可以如法炮制：圖形上的每條射線與其余3條射線組成3個角，照這樣計算，共有4×3個角，但是每個角數了2次，所以角的總數是 4×3÷2=6。

兩節課的“數圖形”教學皆取得了成功。課下，筆者所在學校數學老師進行了理性總結分析。北師大版教材基于四年級上冊學生初學時引導學生按“線段長短”和“不同的點出發”兩種方法進行數線段，做到“不重不漏”，培養學生“有序思考”是十分必要且非常有益的！這兩種方法最終都建立同一個“數模”：線段總數就是以“點數減1”作為第一個加數，然后 “依次減1”的數相加，一直加到 “1”為止。存在一定局限的是，一則點多畫圖繁雜，二則量多計算麻煩。而第二種滲透“排列組合”的教學必須建立在北師大教材的基礎上，就可規避上述之局限。第二種建模教學嘗試不僅在于此，還在于“數學知識的教學，要注重知識的 ‘生長點’與 ‘延伸點’，把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于數學知識可以從不同的角度加以分析，從不同的層次進行理解”。

參考文獻：

[1]課程標準（2011）導讀與教學實施——小學數學［M］．北京：北京理工大學出版社：179．