改進的GM-AR組合模型在地鐵沉降預測中的應用

成 樞，郭祥琳，馮東恒

(山東科技大學 測繪科學與工程學院，山東 青島 266590)

用于變形預測的方法很多，例如，時間序列、灰色系統、神經網絡和卡爾曼濾波等。每種預測方法都有自己的特點[1-3]，如：時間序列分析法可以較好地擬合出序列中的趨勢項；灰色模型能通過小樣本數據實現對系統運行規律的正確描述。但是，每一種單一方法也有自身的局限性[1,3-4]，如：時間序列模型難以適應隨時間和環境而變化的影響因素，進而影響預測的精度；灰色模型對起伏較大的數據擬合精度較低且隨著建模序列長度的增加使模型不穩定。在工程實踐中，通常選擇兩種及以上的模型進行組合。國內外學者對組合模型進行了深入的研究，格雷特等[5]把組合方法分為兩水平組合方法和通過“合奏”方式進行的組合方法，兩種形式的組合方法都相應的提高了預測的精度，但通過“合奏”方式并沒有真正避免單一模型所具有的局限性。通過對灰色系統和時間序列組合[6-7]，證明了灰色-時序模型較單一模型的預測精度有了很大提高；通過對灰色模型和神經網絡的組合[8]，證明了組合模型能兼顧二者的優點。但這些與灰色模型組成的組合模型都未能避免灰色模型自身因預測長度的增加而使預測精度逐漸降低的弊端。

本文針對灰色系統隨著預測的進行，因序列過長使模型不穩定的問題，改進了灰色模型，使得進行建模的序列達到了一個動態平衡的目的。通過灰色系統與時間序列進行模型組合，對地鐵沉降作預測，并給出本模型的評價指標。利用已有監測數據建立組合模型，同時對組合模型的效果進行檢驗與分析。

1 GM-AR組合模型

1.1 灰色GM(1,1)模型

灰色系統[9]由鄧聚龍教授于1982年提出，根據灰色系統建立灰色預測模型，對數據下一階段的變化趨勢進行預測。在灰色預測模型中，其核心內容是GM(1,1)預測模型的建立[10]。

(1)

式中：a為發展系數；b為灰色作用量。

隨著時間的推進，地表沉降的因素會發生變化[11]，原有預測模型難以適應新變化。由灰色系統的理論可知，倘若在這種情況下仍使用原預測模型，很難保證預測模型的精度和可靠性，為此可用改進的GM(1,1)預測模型進行地鐵沉降的預測。

1.2 改進的GM(1,1)模型

在此基礎上再進行預測。

1.3 AR模型

常見的時間序列模型有三種[14]，即AR(自回歸)模型、MA(移動平均)模型和ARMA(自回歸移動平均)模型，其中AR模型和MA模型是ARMA模型的特殊形式。研究表明，高階的ARMA模型可由高階的AR模型來代替[15]，因此本文采用AR模型。AR模型在時刻t的響應Xt僅與其以前時刻的響應Xt-1，Xt-2，…，Xt-n有關，其數學表達式為

Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+…+φnXt-n+wt.

(2)

式中：ω(i=1,2,…,n)為模型自回歸系數；wt為白噪聲。

1.4 GM-AR組合預測模型

本文采用灰色GM(1,1)預測模型處理監測數據序列中的趨勢項，以此來反應數據序列的發展動向；采用AR預測模型處理監測數據序列中的波動項即對殘差序列進行預測；將兩者相加作為最終的預測結果。

1)趨勢項的確定。對灰色GM(1,1)模型求解可得

(3)

(4)

2)波動項的確定。在采用AR模型對殘差序列進行預測時，首先要對殘差序列的平穩性進行檢驗，最常用的檢驗法為逆序檢驗法。

設殘差序列為e，即

e={e1,e2,…,eM}.

統計量Z為

(5)

若|Z|<1.96，說明殘差序列是平穩的，否則殘差序列是非平穩的，需對殘差序列進行差分處理，直至殘差序列平穩。

其次要為AR模型定階。本文采用AICC準則對模型的階數進行判定，即

(6)

由上式計算AR模型對應的AICC值，最終取極小值所對應的p值，此時p值即為AR模型的階數，進而可得最優模型。

通過對AR(p)模型的計算，可得波動項的值為

(7)

確定趨勢項和波動項之后，可根據式(4)和式(7)對地鐵站的沉降監測數據建立GM-AR組合預測模型，求得t時刻的預測值xt，即

(8)

2 精度評定

2.1 GM(1,1)預測模型的精度評定

計算后驗差比值c和小概率p為

若c和p符合精度要求則說明模型適合監測點的預測，否則修正殘差，再一次建模，直至符合要求。其精度指標如表1所示。

表1 灰色預測模型精度等級

2.2 GM-AR預測模型的精度評定

根據建立的組合預測模型，將得到的預測值與實際觀測值進行對比，從而確定組合預測模型的精度。評價組合預測模型精度的指標主要有殘差、相對誤差等。

(9)

(10)

通過式(9)和式(10)計算相應精度指標，即可對GM-AR組合模型的精度進行評定，從而比較模型之間的精度。

3 實例分析與應用

為驗證各模型間的預測效果，以某城市地鐵建設中地鐵站的二等水準精度的觀測數據進行實例驗證。所選地鐵站為地下兩層島式車站，車站主體基坑采用地下連續墻維護結構。車站一側為居民區；另一側地面為電力電纜，地下分布著城市供水管道、城市燃氣管道和國家電纜等。

本文選取該地鐵站J1號45期的觀測數據進行應用與分析。通過對所選取觀測數據進行建模，研究GM(1，1)模型、GM-AR模型和改進后GM-AR模型的預測精度，討論何種模型對地鐵施工引起的沉降預測更加精確。

3.1 數據的預處理

受施工場地地質、周圍環境、天氣等因素的影響，每期觀測數據的時間間隔不同，而預測模型一般要求觀測數據組成的時間序列是等間隔的。因此，首先對觀測數據進行預處理。根據該地鐵站所處地質條件，并結合相同地質條件下地鐵站沉降觀測方案，本文采用線性內插法將實際觀測到的高程值轉化為等間隔的高程觀測值數據，預處理后結果見表2。

3.2 模型的建立

1)對J1號選取前30期數據進行GM(1,1)建模，驗差評定精度。可得J1號點GM(1,1)模型參數：aJ1=2.794 2×10-6，bJ1=72.965 5，后驗差cJ1=0.238 2<0.35，pJ1=1>0.95，根據表1可知該預測模型擬合精度能達到一級。

2)建立模型進行預測，可得殘差序列，對殘差序列建立AR模型。

對殘差序列進行平穩性檢驗，|ZJ1|=0.785<1.96，說明殘差序列是穩定，對該序列建立AR模型；

利用AICC準則對J1號點殘差值定階，由式(6)得J1號點殘差值階數p=8；

對AR模型求參，可得預測值的模型為

eJ1(t)=-0.818 4eJ1(t-1)-0.193 7eJ1(t-2)+

0.305 5eJ1(t-3)+0.006 5eJ1(t-4)+

0.153 8eJ1(t-5)-0.161 3eJ1(t-6)-

0.095 1eJ1(t-7)+0.156 3eJ1(t-8).

3.3 實驗分析

分別采用三種方案對原始高程值進行分析求得預測高程值：

方案一：由前30期數據建立GM(1,1)模型，進而預測出后15期高程值；

方案二：用GM(1,1)模型預測出監測點的大致沉降趨勢，用AR模型預測出殘差的變化趨勢，最終通過二者相加求得GM-AR模型的預測值；

方案三：用改進后GM(1,1)模型預測出監測點的大致沉降趨勢，即先預測出31～35期高程值，然后利用6～35期數據再次用GM(1,1)模型預測出36～40期數據，以此每預測5期數據更新一下預測模型，最終通過和AR模型預測出的殘差值相加求得改進的GM-AR模型的預測值。

通過三種方案的實施，利用式(9)和式(10)可得J1號點各模型的殘差值和相對誤差。各模型殘差和相對誤差對比如表2所示；各模型預測結果與原始值對比如圖1所示。

表2 J1號點各模型預測結果數據對比表

圖1 各模型預測結果與原始值對比圖

由表2和圖1可知，GM(1,1)模型預測結果的相對誤差保持在0.22%～0.88%，說明該模型對地鐵沉降的預測符合精度要求，但其預測值總體要高于實測值，即該模型能預測出地鐵沉降的總體趨勢而不能預測出具有隨機性的波動項；GM-AR組合模型較好地解決了GM(1,1)模型不能預測波動項的問題，總體誤差較GM(1,1)模型提升30%～50%，但對較長期數的預計會產生數據冗余，影響預測的精度；通過改進的GM-AR組合模型，使之成為一個動態的等維GM-AR組合模型，在GM-AR組合模型的基礎上使精度再度提升10%～30%，預測效果較好。

4 結束語

本文研究傳統GM(1,1)模型、GM-AR組合模型和改進的GM-AR模型在地鐵沉降監測中的應用，對地鐵站觀測站J1號前30期數據建立預測模型，并采用后15期數據進行檢驗，驗證三種模型在地鐵沉降預測中的可行性。最終，GM(1,1)模型可以對地鐵沉降做整體預測，但無法對波動性的殘差進行修正；通過用AR模型對殘差值進行修正預測，與GM(1,1)組合模型，使得預測值得到一定程度的改善；在此基礎上進行組合模型的改進，避免預測產生冗余數據，使得預測精度得到進一步地提高。

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