數學開放性問題是數學命題的新方向

孫晶晶

摘 要：在倡導素質教育的大前提下為智育重要一環的數學教育也應做出大膽改革，去適應社會的發展與需要。“數學開放性問題”理念的提出，為我們提供了一個很好的關于數學命題的發展方向。本文探討了數學開放題的定義，分類，特征，設計原則，以及數學開放題對于實施素質教育及培養學生實踐和創新能力的重大意義。

關鍵詞：數學開放性問題；實踐能力；創新能力；數學興趣

數學開放性問題，是興起于70年代的一種新題型，在國外稱之為“Open-ended problem”。與國外相比，我們在對于應試教育反思中，逐步認識到：數學教學（育），不應建立在“概念、定理——例題——練習”的知識傳授型模式之上，而應建立在對學生的積極鼓勵，引導學生進行探索的以學生為中心的創造型模式之上。本文探討了數學開放題的定義，分類，設計原則，以及數學開放題對于實施素質教育及培養學生實踐和創新能力的重大意義。

一、數學開放性問題的定義

數學開放性問題作為一個概念，應該給它一個明確的定義。但至今為止，還沒有哪一個人或社團對數學開放題做出一個令人信服的定義。浙江教育學院戴再平教授給出了如下定義：所謂數學開放題是指條件補充分，解題策略不唯一，結論不確定的數學問題。華師大的張奠宙教授指出：開放題，無終結答案，培養發散思維，創造思維的數學問題。還有很多的定義這里就不一一給出。但匯總起大家的說法，我認為只要具有以下三個基本特征或者至少具有其中的一個特征就可以稱為數學開放題：

（1）條件不足或多余；

（2）結論多變不確定；

（3）解題策略，方法，思路多種多樣；

二、數學開放題的分類

對數學開放題的分類，從構成數學題系統的四要素（條件、依據、方法、結論）出發，可定性地分成四類。他們分別為條件開放型，結論開放型，策略開放型，以及綜合型。

1.條件開放型，即問題的條件不完備或滿足結論的條件不唯一

比如，例一：如果A離學校5千米，B離學校10千米，問A﹑B相距幾千米。

這道題是荷蘭弗賴登塔爾數學教育研究所所長，德·朗治（De.Lange）先生，1994年在上海作報告時講到的一道題。此題看似極為簡單，但事實上，它具有豐富的內涵，有不同解法，可涉及到自然數，有理數加減，圓的幾何軌跡，函數，點的距離，乃至圓的參數方程等諸多知識。之所以隱含多個知識點，究其原因就是此題的條件是開放的。

條件中A、B的位置不確定，如果作各種不同的設定，則可以構成各種不同層次的解題過程和結論。

（1）如要我們設定A、B與“學校”在一直線上，那么應該有兩種情況（即兩解）。

（a）A、B在學校同側（譬如如圖在右側）：

這時AB=10-5=5（千米）

（b）A、B在學校異側（如圖）

這時，AB=10+5=15（千米）

2.結論開放型，即在給定條件下，結論不唯一

例一：寫出一個一次函數，使它的圖象經過點（3，4）。或求出一個二次函數，使得當時，當時，當時.等等。這道題，學生只要了解函數概念和性質都可以拼湊出答案。這對于加強學生對于數學概念的理解是非常有好處的。

3.策略開放型，即思維策略與解題方法不唯一

比如：向陽小學四年級共有79人，在參加植樹勞動前派一位同學去商店購果汁。商店規定：單盒買每盒2元，買40盒裝一箱9折優惠，買50盒裝一箱8.8折優惠，這位同學可以有哪些購買方案？怎樣購買才能既讓每位同學都能喝到一盒果汁，又最省錢？

這是一道策略開放題，求解者至少可以有三種不同購買方案選擇：

（1）2.00×79=158.00（元）；

（2）（2.00×50）×0.88+2.00×29=146.00（元）；

（3）2.00×40×2×0.9=144.00（元）.

其中第三個購買方案顯然是最省錢的，而且還多出一盒；即：40盒一箱的買兩箱（可打九折）。但這是一個需要“打破常規”才能獲得的策略思考。

4.綜合型，即需要學生主體自己將問題數學化，然后建立數學模型，再實現問題解決

綜合型實際上是一種更高級的數學開放題，它滿足數學開放題的特征，而且又有所突破。它的條件是需要學生自己去尋找發現的，結論由于個人尋找的條件不同而不同，解決問題的思路也是因人而議。它對于鍛煉學生的創新和實踐能力都是大有益處的。

比如，例一：暑假到來，小民和小剛家住杭州，相約要到上海，蘇州進行三日游，得到了父母的允許，并每人給他們400元錢，規定旅游時間不能超過三天。回杭州的時間不能超過晚上10點。再交給他們兩城市的火車，輪船，汽車時間表，以及旅游景點票價。要求學生作出旅游計劃。

這道綜合開放題，它們僅用一般性的語言描述了一個問題的情景，具有相當大的不確定性；因此，在解題方法尚未得出之前，就得首先收集有關信息，然后將問題數學化并建立數學模型。由于主體思考角度與經驗背景的不同，必然會提出各種不同解題策略和解法，從而會得到各種不同的精確或近似的﹑繁冗或簡練的﹑可推廣或難以推廣的結論。這種問題其條件﹑解題策略與結論都呈現了極大的開放性。

以上題型已基本囊括了所有的數學開放題，但我國開放題型的研究起步較晚，題目并不豐富，這也是我們以后應該努力的方向。

三、數學開放題的設計原則

開放性問題引導學生去發現新規律，新的結論，去拓展前人尚未涉足的領域。在解決開放性問題的過程中，往往要運用各種推理手段，如歸納，類比，聯想等，所以開放題的設計就顯得尤為重要。設計開放性試題時應遵循以下六個原則。

1.思維性原則 開放性試題的設計應對教材進一步去補充和拓寬，挖掘教材內容的思維因素，從而構建基礎性的訓練與探索性、思維性訓練相結合的習題體系，培養學生思維的深刻性、發散性和創造性。

2.開放性原則 開放性試題的設計要有利于開放學生的思維，讓學生認識到數學不僅僅是狹隘的數學知識本身，它是我們廣泛聯系、認識世界、改造世界的有力工具。

3.層次性原則 根據學生的個性發展及差異性，設計開放性試題應講究梯度，由淺入深，拾級而上，螺旋上升，層層開放，在評分標準上要體現這一原則。

4.合理性原則 開放性試題的設計應立足于教材內容與學生的基礎知識，符合學生的認知規律，注意避免不從客觀實際出發的主觀主義和追求形式的做法。

5.實用性原則 設計開放性試題要緊密聯系生活實際，多設計一些面向生活的開放題。把生活問題提煉為數學問題，調動生活經驗用于數學問題的創造性活動積極性，以利于學生運用所學知識解決實際問題，體會數學的實用價值，體驗數學知識來源于生活，又服務于生活的真諦。

6.可行性原則 開放性試題的設計要注意在考試狀態下，學生可以在較短的時間內做答；在學生有多種解答的情況下，評卷時能夠有統一的、穩定的標準進行參照評分；為了使開放性試題得到有序的、可持續性的發展，題目難度不宜過高，所占分數比例要有所控制。

四、研究數學開放題的意義

開放性問題可以促進學生智力因素與非智力因素與非智力因素的同步發展。因為要想順利地解出開放題，必須對問題進行全方位，多角度的觀察，分析，充分揭示問題的本質特征，既要注意力集中，又要記憶力強，想象力豐富，思維敏銳；而且有些開放題還可以長時間鉆研，需要意志力和毅力，從而促進非智力因素的發展。

數學開放題強調了數學知識的整體性。而傳統的封閉式的例題，僅停留在分類介紹技巧和方法的水平，指向知識，技能，原理和他們的適應性，往往會導致學生對某個結論或方法的記憶；重視的是學生計算，演繹等嚴格推理的能力，忽視了培養學生的社會實踐，非形式的推理能力。因此數學開放題作為一種新的命題方式，把數學教學作為一個互相聯系的有機整體，使同學們在數學上得到全面培養。

五、小結

運用開放題教學是數學本身發展的需要，是培養學生數學創新能力的需要，也就是實施教學素質教育的需要。學生解決開放性問題的長期性，他們要去實踐，調查，而作為交教育者的我們，應該給予他們充分時間，也許學生們會帶給我們驚喜！

參考文獻：

[1]申建春.《湖南教育》2000年第11期

[2]戴再平.《數學習題理論》.上海教育出版社.1996.10

[3]錢從新.《有關開放題的基點探討》.數學通報.北京

（作者單位：新疆烏魯木齊市第74中學 830023）