導數零點求不得的轉化策略

酈勝翔

摘 要：本文主要研究高中數學導數題中導數零點求不得的轉化策略，針對該題型提出不同的解題思路，幫助學生順利解決高中數學中的導數零點求不得的問題，從而使學生更加熟練地掌握高中導數知識。

關鍵詞：高中；數學；導數零點求不得；不同思路

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）09-061-2

導數是數學的重要基礎，是聯系初、高等數學的紐帶，它的引入為解決中學數學問題提供了新的視野。在全國高考試題中，對導數知識考查的要求逐年增強，已經由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時的不可或缺的工具。導數的壓軸題能否順利的求解成為一個考生能否得到高分的關鍵。

在運用導數研究函數性質時，關鍵是確定導數的正負，這就使得求解f′（x）的零點是解題的關鍵。但是在解題時經常出現f′（x）=0的零點“求之不得”的情況，導致思路也隨之阻塞，這是很多師生都經常遇到的“尷尬”，如果轉化矛盾、尋找突破口轉化是靈活解題的關鍵。對于此類問題，筆者在教學實踐中，做了一些思路和探索，現與同行交流：

一、引入問題

在本校的高三模擬練習中，筆者有意選擇了一道典型的導數題作為壓軸題：

例1 已知函數f（x）是定義在[-e，0）∪（0，e]上的奇函數，當x∈（0，e]時，f（x）=ax+lnx（其中e是自然對數的底數，a∈R）。

（1）求f（x）的解析式；

（2）設a=-1，g（x）=-lnxx，求證：當x∈（0，e]時，f（x）

解：（1）略

第二問得分率很低，全年級900多位考生，幾乎沒有學生能正確完整的解答，為什么呢？通過試卷分析和學生交流，下面是絕大部分學生在解答第二問時的思路：

思路1：轉化命題

令F（x）=f（x）-g（x）-12=-x+lnx+lnxx-12，

問題等價轉化為：當x∈（0，e]時F（x）恒負，即F（x）的最大值小于0。

求導得F′（x）=-1+1x+1-lnxx2=-x2+x+1-lnxx2，

但F′（x）=0的根無法解出，正負也不能確定，單調性不可知，最大值不可得，所以很多學生的思路受限，最終也就放棄了該題。

學生的思路很常規，也無懈可擊，等價轉化命題，保證了轉化“原汁原味”，為什么就不能進行下去了呢？在模考和高考試題中，經常遇到此類問題：函數關系相對復雜，求導后更是一個超越方程，不能用初等數學方法求出方程的根，思路也就隨之斷了，下面嘗試突破。

二、探索問題

思路2：加強命題

整體直接證明有困難，是不是可以轉換思路？回到原問題形式上看：既然本題的求證是以f（x）

證明：當x∈（0，e]時，由f′（x）>0得：0

∴f（x）在（0，1）上單調增，在（1，e）上單調減，故f（x）在（0，e]上f（x）max=f（1）=-1，

而x∈（0，e]，g′（x）=lnx-1x2≤0，

∴g（x）在x∈（0，e]上單調減，g（x）min=g（e）=-1e，

顯然f（x）max

在本題的解答時，直接證明思路不暢，反其道而行之，由f（x）-g（x）-12<0恒成立加強命題f（x）max

思路3：分解命題

對于F（x）=f（x）-g（x）-12=-x+lnx+lnxx-12，

回到定義域上看：x∈（0，e]，通過觀察分析易知當x∈（0，1]時，

F（x）=-x+lnx+lnxx-12<0，

故只要證明：當x∈（1，e]時，F（x）=-x+lnx+lnxx-12<0即可，

∵x∈（1，e]，∴lnx>0，∴elnx>lnx，

故F（x）=-x+lnx+lnxx-12<-x+elnx+lnxx-12。

令G（x）=-x+elnx+lnxx-12故只要證得當x∈（1，e]時G（x）<0即可，

G′（x）=-1+ex+1-lnxx2=e-xx+1-lnxx2>0，故G（x）在區間（1，e]單調遞增，

而G（e）=1e-12<0，∴x∈（1，e]時G（x）<0故得證。

本題中，既然整體求解較為困難，本著“讓一部分人先富裕起來”的原則，分解命題，觀察式子發現x∈（0，1]時，F（x）的各項均為負值，命題隨之成立，對于當x∈（1，e]時，采用放縮的技巧，目的是為了求出G′（x）=0的根x=e，這樣思路隨之就清晰了。

思路4：深化命題

回到學生的常規思路：

令F（x）=f（x）-g（x）-12=-x+lnx+lnxx-12，

問題等價轉化為：當x∈（0，e]時F（x）恒負，即F（x）的最大值小于0。

F′（x）=-1+1x+1-lnxx2=-x2+x+1-lnxx2。

導數等于零的根求之不得，但是真的不能求解了嗎？不妨再試試，將“該思路進行到底”，盡管過程很繁瑣，但是仍然可以得到結論。

令h（x）=-x2+x+1-lnx，則h′（x）=-2x+1-1x=-2x2+x-1x，

∵-2x2+x-1=-2（x-14）2-78<0即h′（x）<0，

∴h（x）遞減，

∴而h（e2）=-e24+e2+1-lne2=-e24+e2+ln2>0，

h（e）=-e2+e+1-lne=-e2+e<0，

故h（x）=0必有根x0∈（e2，e），其中-x20+x0+1-lnx0=0 （*）

易知當x∈（0，x0）時，h（x）>0從而F′（x）>0，

即F（x）在x∈（0，x0）時單調遞增，同理可得F（x）在x∈（x0，e）時遞減，

∴x∈（0，e]時F（x）max=F（x0）=-x0+lnx0+lnx0x0-12代入（*）得

F（x）max=-x0+（-x20+x0+1）+-x20+x0+1x0-12=-x20-x0+32+1x0，

其中（e2

∵當e2

∴-x20-x0+32+1x0<-（e2）2-e2+32+1e<-74-2.72+32+1=-2740<0，

即F（x）max<0命題得證。

既然加強命題、分解命題均可以證得結論，而思路一的等價轉化命題“忠實于”原命題，應該可以得證，可以將等價命題深化：既然一階導數求不得，不妨求二階、三階甚至是更高階的導數，遇到導數的根不可解，不妨“設而不求”，先設出根、估算根的范圍，再回帶。

導數的零點求不得的題目在高考題試題中也屢有出現，下面通過兩個例題剖進一步說明幾種轉化策略：

三、問題再現

例2 （2012年山東高考）已知函數f（x）=lnx+kex（k為常數，e=2.71828是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行。

（1）求k的值

（2）求f（x）的單調區間；

（3）設g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導函數。證明：對任意x>0，g（x）<1+e-2。

解：（1）k=1。（2）略。

（3）思路1：轉化命題

欲證g（x）=xf′（x）=1-xlnx-xex<1+e-2（x>0）

只要證：1-xlnx-x

故只要證明F（x）=1-xlnx-x-ex（1+e-2）<0恒成立，等價轉化命題：F（x）max<0，

F′（x）=-2-lnx-ex（1+e-2），

F′（x）=0是一個超越方程，不能求出方程的零點，思路“卡殼”，如果繼續“深化命題”，運算會很繁瑣，故略去。

思路2：加強命題

可以將命題中F（x）的表達式分成類型相似的兩部分：1-xlnx-x和ex（1+e-2）。

設h（x）=1-x-xlnx，g（x）=ex（1+e-2）

嘗試加強命題：h（x）max

則h′（x）=-lnx-2，令h′（x）=-lnx-2=0，x=e-2，

當x∈（0，e-2）時h′（x）>0，h（x）單調遞增；

當x∈（e-2，+∞）時h′（x）<0，h（x）單調遞減。所以當x>0時，h（x）≤h（e-2）=1+e-2，而當x>0時0<1ex<1，

所以當x>0時g（x）=1ex（1-x-xlnx）<1+e-2，綜上可知結論成立。

思路3：分解命題

證明：顯然當x≥1時，g（x）=xf′（x）=1-xlnx-xex≤0<1+e-2，

故只需證明g（x）<1+e-2在0

當01，且g（x）>0，∴g（x）=1-xlnx-xex<1-xlnx-x。

設F（x）=1-xlnx-x，x∈（0，1），則F′（x）=-（lnx+2），

當x∈（0，e-2）時，F′（x）>0，當x∈（e-2，1）時，F′（x）<0，

所以當x=e-2時，F（x）取得最大值F（e-2）=1+e-2。

所以g（x）0，g（x）<1+e-2。

例2 （2012年高考（課標文））設函數f（x）=ex-ax-2。

（1）求f（x）的單調區間；

（2）若a=1，k為整數，且當x>0時，（x-k）f′（x）+x+1>0，求k的最大值。

解：（1）略。

（2）把a=1

f′（x）=ex-a代入（x-k）f′（x）+x+1>0得：（x-k）（ex-1）+x+1>0，

因為x>0，所以ex-1>0，所以：（x-k）（ex-1）>-x-1，x-k>-x-1ex-1，

k-x0） （*）

令g（x）=x+1ex-1+x，則g′（x）=ex（ex-x-2）（ex-1）2，

注意：到此思路很常規，但是ex-x-2=0的根求之不得，為了“深化命題”，不妨先對其根“設而不求”，再進行估算。

易得：h（x）=（ex-x-2）在（0，+∞）單調遞增，

而h（1）<0

h（2）>0，所以h（x）在（0，+∞）上存在唯一零點α，且α∈（1，2）；

故g′（x）在（0，+∞）上也存在唯一零點且為α，當x∈（0，α）時，g′（x）<0，當x∈（α，+∞）時，g′（x）>0，所以在（0，+∞）上，g（x）min=g（α）；由g′（α）=0得：eα=α+2，所以g（α）=α+1，所以g（α）∈（2，3），

由于（*）式等價于k

行文至此，忽然有一種“行到水窮處，坐看云起時”的感覺：為什么許多很優秀的學生對該類問題束手無策？反思后我們會發現：現行的高中教育主要是為了應對高考，教師習慣于把解題思路模式化、規范化，教學生按圖索驥，后果是一旦遇到難題或者題型變化，學生往往措手不及。其實數學題“教無定法”，這正是數學魅力之所在，教師不僅要教給學生知識、更重要的是要教給學生處理問題的數學思想；學生不僅要從教師那里學到方法，更重要的是學到探究問題的能力。唯有如此，學生的思維才能在解題中得以升華。