Korteweg-de Vries方程的準(zhǔn)孤?立子解及其在離子聲波中的應(yīng)用

王建勇 程雪蘋(píng) 曾瑩 張?jiān)?葛寧怡

1)(衢州學(xué)院教師教育學(xué)院,衢州 324000)

2)(浙江海洋大學(xué)物理系,舟山 316004)

3)(衢州學(xué)院機(jī)械工程學(xué)院,衢州 324000)

(2017年12月18日收到;2018年1月28日收到修改稿)

1 引 言

Korteweg-de Vries(Kd V)方程是孤子理論的基礎(chǔ)模型之一,它具有非常典型的可積性,如Lax表示[1]、無(wú)窮多對(duì)稱(chēng)及守恒律[2]、N-孤子解[3]及Painlevé性質(zhì)[4]等.KdV方程也是物理學(xué)諸多分支學(xué)科中一個(gè)重要的非線性數(shù)學(xué)物理模型,在非線性光學(xué)、玻色-愛(ài)因斯坦凝聚、等離子體物理、生物物理等分支學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用[5].在等離子體物理中,Kd V方程可描述有限小振幅離子聲波、磁聲波、阿爾文波[6]等.例如,在近期的一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)研究報(bào)告中,Bandyopadhyay等[7]指出塵埃聲孤立波的振幅和特征寬度隨等離子體參數(shù)的變化可由KdV方程的經(jīng)典孤立子解來(lái)描述,而在有限小振幅及低馬赫數(shù)條件下,理論結(jié)果更是和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)高度符合.

孤子方程的解析解研究是非線性科學(xué)中的熱點(diǎn)課題[8,9].最近,通過(guò)非局域?qū)ΨQ(chēng)的局域化及對(duì)稱(chēng)約化,Lou等[10]給出了Kd V方程、非線性Schr?dinger方程等若干孤子方程的孤子-橢圓周期波解,并發(fā)現(xiàn)孤子和橢圓周期波之間的相互作用是彈性的,相互作用后兩者僅有相位變化.基于這些方法,Lou[11]又提出了推廣的Painlevé截?cái)嗾归_(kāi)法和推廣的tanh函數(shù)展開(kāi)法.應(yīng)用此類(lèi)推廣的方法可直接給出孤子與其他非線性波的相互作用解,如孤子與橢圓周期波、Painlevé波、Airy波、Bessel波等的相互作用解[12?20].而在等離子體物理中,人們很早就開(kāi)始了關(guān)于孤子與小振幅周期波之間相互作用的數(shù)值研究[21,22].例如,Deeskow等[21]早在1987年就應(yīng)用數(shù)值方法研究了非磁化等離子體中離子聲波和朗繆爾波同時(shí)激發(fā)的情況,在允許離子擾動(dòng)和電荷分離條件下,朗繆爾波電場(chǎng)和離子聲波電勢(shì)的耦合是一種具有準(zhǔn)孤子行為的結(jié)構(gòu),即朗繆爾波電場(chǎng)可由包絡(luò)孤子描述,而離子聲波電勢(shì)則以小振幅周期波的形式圍繞在包絡(luò)孤子周?chē)?最近,Keane等[22]也進(jìn)行了這方面的研究,從包含量子修正的霍爾磁流體力學(xué)方程組出發(fā),導(dǎo)出了耦合Zakharov型方程并進(jìn)行了數(shù)值研究,發(fā)現(xiàn)初值解形如穿了“衣服”的孤立波,即高斯波峰被小振幅周期波圍繞,并具有在時(shí)空演化中保持波形不變的性質(zhì).此外,流體力學(xué)中已有關(guān)于孤立波和小振幅周期波之間相互作用的實(shí)驗(yàn)研究和實(shí)際觀測(cè)[23?25].例如,Farmer和Smith[24]以及Akylas和Grimshaw[25]曾在加拿大某海灣觀測(cè)到了類(lèi)似孤立波的結(jié)構(gòu)與小振幅周期波之間的相互作用現(xiàn)象.

本文考慮Kd V方程的孤子-橢圓周期波解及其準(zhǔn)孤立子行為.應(yīng)用推廣的tanh函數(shù)展開(kāi)法,給出Kd V方程具有準(zhǔn)孤立子行為的兩組孤子-橢圓周期波解及雙孤立子解.另外,運(yùn)用約化攝動(dòng)法推導(dǎo)描述離子聲波動(dòng)力學(xué)行為的KdV方程,并由此討論等離子體參數(shù)對(duì)離子聲準(zhǔn)孤立子波形的影響.

2 Kd V方程的準(zhǔn)孤立子解

在等離子體物理中,Kd V方程一般可寫(xiě)為

其中A是非線性項(xiàng)系數(shù),B是色散項(xiàng)系數(shù),兩者由等離子體參數(shù)決定.根據(jù)推廣的tanh函數(shù)展開(kāi)法,可知KdV方程的解u具有如下截?cái)嗾归_(kāi)[14]:

其中ui和w都是關(guān)于(x,t)的待定函數(shù).將截?cái)嗾归_(kāi)(2)式代入Kd V方程,并令tanh(w)5,tanh(w)4,tanh(w)3的系數(shù)為零,可求得u2,u1及u0為：

將(3)式代入tanh(w)2的系數(shù)方程,可得w的相容性方程

其中λ是積分常數(shù).由(3)式和(4)式,Kd V方程的解(2)可寫(xiě)為

最后,可直接驗(yàn)證(3)式—(5)式滿足tanh(w)1和tanh(w)0的系數(shù)方程.由此說(shuō)明,若w滿足其相容性方程(4),則(5)式為Kd V方程的解.

為了求得Kd V方程的孤子-橢圓周期波解,可將w設(shè)為[26]：

其中sn是Jacobi橢圓正弦函數(shù),m為其模數(shù),V1,V2分別為孤立波和橢圓周期波的速度,W1是孤立波的特征寬度,W2與橢圓周期波波長(zhǎng)相關(guān).將關(guān)于w的假設(shè)(6)式代入相容性方程(4),由Jacobi橢圓函數(shù)sn,cn,dn的各階系數(shù)可得到關(guān)于參數(shù){m,V1,V2,W1,W2,c1,c2,λ}的超定方程組.在這些超定方程組中,若取{m,V1,V2}為任意值,則可求得關(guān)于{W1,W2,c1,c2,λ}的參數(shù)解.在較早的研究中[26],給出了其中一組參數(shù)解:

在此參數(shù)條件下,Kd V方程的孤子-橢圓周期波解具有比較簡(jiǎn)潔的形式:

其中

在孤子-橢圓周期波解(8)中,取V1=V,V2=?V及m=0可得滿足零邊界條件的經(jīng)典孤立子解為:

由此不難發(fā)現(xiàn)孤子-橢圓周期波解(8)在漸進(jìn)條件V1=V,V2=?V及m→0下具有準(zhǔn)孤立子行為.

研究發(fā)現(xiàn)孤子-橢圓周期波解的參數(shù)條件也可取為:

由此參數(shù)條件,可得KdV方程的一個(gè)新孤子-橢圓周期波解,其形式略為復(fù)雜:

其中H1和H2的具體表達(dá)式見(jiàn)附錄A.孤子-橢圓周期波解(11)在漸進(jìn)條件V1=V,V2= ?V及m → 0下也具有準(zhǔn)孤立子行為,下面以圖示說(shuō)明.準(zhǔn)孤立子解(11)與經(jīng)典孤立子解(9)的對(duì)比如圖1所示,由m=0.0016,m=0.0004及經(jīng)典孤立子解(m=0)的波形對(duì)比可知,m取值越小,孤子-橢圓周期波解的孤子核越接近于滿足零邊界條件的經(jīng)典孤立子,而圍繞在其周?chē)臋E圓周期波也越接近于在零附近振蕩的正余弦波.Kd V方程的孤子-橢圓周期波解(8)式和(11)式都具有準(zhǔn)孤立子行為,可統(tǒng)稱(chēng)為準(zhǔn)孤立子解.

顯然,在參數(shù)條件(7)式和(10)式中,m都不可取為1.因此,孤子-橢圓周期波解(8)和(11)式都無(wú)雙孤立子極限.為求得雙孤立子解,可將w設(shè)為：

將(12)式代入相容性方程(4),令tanh(η)的各階系數(shù)為零,可求得關(guān)于{c0,W1,W2,λ}的參數(shù)解：

由(5)式,(12)式及(13)式,可給出KdV方程的雙孤立子解：

圖2是由(14)式描述的雙孤立子追趕相互作用,其中高瘦孤立波的波速為V1=1.25,矮胖孤立波的波速為V2=0.75.由圖2可知,兩孤立波在發(fā)生追趕相互作用后并不改變?cè)械牟ㄐ闻c波速,僅發(fā)生相位變化.

圖1 準(zhǔn)孤立子解(11)與經(jīng)典孤立子解(9)的對(duì)比 波參數(shù)為V1=1,V2=?1,V=1及δ=1,Kd V方程的系數(shù)為A=6,B=1Fig.1.Comparison of quasi-soliton solution(11)with the classical solion solution(9).Wave parameters are selected as V1=1,V2=?1,V=1,δ=1 and coeffi cients of the Kd V eqation are A=6,B=1.

圖2 由(14)式給出的雙孤立子相互作用 波參數(shù)為V1=1.25,V2=0.75及c=0.75,Kd V方程的系數(shù)為A=6,B=1Fig.2.Two soliton interaction given by equation(14).Wave parameters are selected as V1=1.25,V2=0.75,c=0.75 and coeffi cients of the Kd V eqation are A=6,B=1.

3 描述離子聲波動(dòng)力學(xué)行為的KdV方程

考慮均勻磁化等離子中的離子聲波,等離子體的成分是超熱電子和熱離子.相對(duì)于離子,電子質(zhì)量極小,可忽略電子慣性.假設(shè)等離子體沉浸在恒定磁場(chǎng)B=B0?z中,?z是單位矢量.平衡態(tài)時(shí),由電中性可知ne0=ni0=n0,ne0,ni0分別是平衡態(tài)時(shí)的電子、離子數(shù)密度.另外,假設(shè)超熱電子遵循κ分布

其中,參數(shù)κ(κ>3/2)是表征電子分布偏離麥克斯韋分布程度的物理量.

在上述條件下,離子聲波的動(dòng)力學(xué)行為可由連續(xù)性方程、動(dòng)量方程和泊松方程來(lái)描述:

(15)式—(17)式中,ni是熱離子的粒子數(shù)密度,由平衡態(tài)離子數(shù)密度n0無(wú)量綱化;ui是由離子聲速Cs=(Te/mi)(1/2)無(wú)量綱化后的離子流體速度;電勢(shì)?則由Te/e無(wú)量綱化;時(shí)間變量和空間變量分別經(jīng)離子等離子體離子頻率的倒數(shù) ωp?i1=和德拜長(zhǎng)度無(wú)量綱化;離子回旋頻率經(jīng)離子等離子體頻率ωpi無(wú)量綱化;σ=Ti/Te是離子電子溫度比.對(duì)于低頻離子聲波過(guò)程,可認(rèn)為電子是絕熱的,動(dòng)量方程(16)式中的絕熱系數(shù)可取為γ=5/3.此外,對(duì)于有限小振幅波?1,泊松方程可做如下近似展開(kāi):

下面應(yīng)用約化攝動(dòng)法來(lái)研究磁化超熱電子-熱離子中的有限小振幅離子聲波.首先引入坐標(biāo)變換

其中ε?1是描述弱色散效應(yīng)的無(wú)窮小參數(shù),Vp是待定離子聲波相速度;lx,ly,lz是波矢量k沿x,y,z方向的余弦值,且lx,ly,lz滿足l2x+l2y+l2z=1.由于磁場(chǎng)在各個(gè)方向的非均勻性,相對(duì)于平行于磁場(chǎng)方向的離子流體速度分量,離子流體速度沿垂直于磁場(chǎng)方向的分量應(yīng)在ε的更高階次.故可將獨(dú)立變量在平衡態(tài)附近按ε的冪次展開(kāi)為:

將(20)式—(24)式代入流體力學(xué)方程組(15)式—(17)式并收集ε的各階系數(shù),可得到關(guān)于各階擾動(dòng)量的相容性方程.由ε的最低冪次,可求得n1,u1x,u1y及u1z為

由(25)式—(28)式可給出離子聲波的相速度Vp為

由(29)式可知,當(dāng)離子電子溫度比σ增加時(shí),離子聲波相速度增加;當(dāng)磁場(chǎng)方向與波矢量方向的夾角增加時(shí)(lz減小),離子聲波相速度減小;當(dāng)電子偏離麥克斯韋分布的程度增加時(shí)(κ減小),aκ增大,離子聲波相速度減小.

由ε的高一階冪次的系數(shù),可得關(guān)于二階小量的相容性方程.代入(25)式—(29)式可求得:

由(30)式—(33)式的相容性,可給出KdV方程

其中,非線性項(xiàng)系數(shù)A和色散項(xiàng)系數(shù)B為:

4 等離子體參數(shù)對(duì)波形的影響

由于Kd V方程的非線性項(xiàng)系數(shù)A和色散項(xiàng)系數(shù)B由等離子體物理參數(shù)決定,故等離子體參數(shù)的變化會(huì)引起孤子核的特征寬度和振幅的變化,同樣也會(huì)引起圍繞在其周?chē)男≌穹芷诓ǖ牟ㄩL(zhǎng)和振幅的變化.下面討論在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系中等離子體參數(shù)對(duì)離子聲準(zhǔn)孤立子波形的影響.在(21)式中,忽略高階小量,可取?=ε?1.由(8)式及(19)式,不難給出電勢(shì)離子聲準(zhǔn)孤立子在實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系下的表達(dá)式.

首先,考慮電子分布偏離麥克斯韋分布的程度(κ)對(duì)離子聲準(zhǔn)孤立子波形的影響.對(duì)于遵循κ分布的電子,當(dāng)κ減小時(shí),超熱電子成分增加,電子偏離麥克斯韋分布的程度增加;當(dāng)κ增大時(shí),超熱電子成分減少,電子偏離麥克斯韋分布的程度減小.圖3為離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨電子分布偏離麥克斯韋分布程度(參數(shù)κ)的變化,由圖可知,當(dāng)κ增大時(shí),即電子分布偏離麥克斯韋分布的程度減小時(shí),孤子核的振幅和特征寬度都增大,圍繞在孤子核周?chē)男≌穹芷诓ǖ恼穹筒ㄩL(zhǎng)也都增大.當(dāng)κ→∞時(shí),電子遵循麥克斯韋分布,孤子核的振幅和特征寬度、小振幅周期波的振幅和波長(zhǎng)達(dá)到最大值.這種現(xiàn)象說(shuō)明,當(dāng)超熱電子變得越來(lái)越稀疏時(shí)(κ增大),Kd V方程的非線性項(xiàng)系數(shù)A減小而色散項(xiàng)系數(shù)B增大,進(jìn)而使孤子核的振幅和特征寬度、小振幅周期波的振幅和波長(zhǎng)都增大.從物理上來(lái)講,離子聲波由電子熱壓強(qiáng)提供驅(qū)動(dòng)力,而κ增大的過(guò)程也可視為電子熱壓強(qiáng)增加的過(guò)程,從而使孤子核的振幅和特征寬度、小振幅周期波的振幅和波長(zhǎng)都增大.文獻(xiàn)[27]研究了電子分布參數(shù)κ對(duì)經(jīng)典孤立子波形的影響,研究表明κ增大將導(dǎo)致經(jīng)典孤立子的振幅和特征寬度都增大;而當(dāng)κ→∞時(shí),經(jīng)典孤立子的振幅和特征寬度達(dá)到最大值,其研究結(jié)果與本文一致.

圖3 離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨電子分布偏離麥克斯韋分布程度(參數(shù)κ)的變化 波參數(shù)為ε=0.1,m=0.02,δ=?1,V1= ?V2=0.05,? =0.3,σ=0.01,l x=0.5及l(fā) z=0.3Fig.3.Variation of the ion acoustic(IA)quasi-soliton structure with respect to the electron superthermalityκ.Wave parameters areε=0.1,m=0.02,δ=?1,V1=?V2=0.05,? =0.3,σ=0.01,l x=0.5 and l z=0.3.

圖4 離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨離子與電子之間溫度比σ=T i/T e的變化 波參數(shù)為ε=0.05,m=0.025,δ=?1,V1=?V2=0.05,l x=0.5,l z=0.3,?=0.3及κ=3Fig.4.Variation of the IA quasi-soliton structure with respect to the ion to electron temperature ratioσforε=0.05,m=0.025,δ=?1,V1=?V2=0.04,l x=0.5,l z=0.3,? =0.3 andκ=3.

其次,考慮離子電子溫度比(σ)對(duì)離子聲準(zhǔn)孤立子波形的影響.圖4為離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨離子與電子之間溫度比σ=Ti/Te的變化,由圖可知,當(dāng)離子與電子之間溫度比σ=Ti/Te減小時(shí),孤子核振幅、周期波振幅增大,孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)減小;當(dāng)離子為冷離子,即σ=0時(shí),孤子核振幅、周期波振幅達(dá)到最大值,而孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)達(dá)到最小值.這種現(xiàn)象說(shuō)明,當(dāng)離子與電子之間溫度比σ減小時(shí),Kd V方程的非線性項(xiàng)系數(shù)A和色散項(xiàng)系數(shù)B都減小,進(jìn)而使孤子核振幅、周期波振幅增大,孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)減小.文獻(xiàn)[28]研究了離子與電子之間溫度比對(duì)經(jīng)典孤立子的影響,發(fā)現(xiàn)離子電子溫度比σ=Ti/Te減小時(shí),經(jīng)典孤立子的振幅將增大而特征寬度將減小,此結(jié)果與圖4孤子核的波形變化一致.

圖5 孤子特征寬度及周期波波長(zhǎng)隨磁場(chǎng)大小?的變化波參數(shù)為m=0.02,δ=1,V1=?V2=0.05;等離子體參數(shù)為σ=0.01,l z=0.3及κ=50Fig.5.Variation of soliton width and wavelength of periodic wave with respect to the electron magnetic fi eld strength? for m=0.02,δ=1,V1=?V2=0.05 and plasma parameters areσ=0.01,l z=0.3 and κ=50.

第三,考慮離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨磁場(chǎng)大小?的變化.由(35)和(36)式可知,非線性項(xiàng)系數(shù)A與磁場(chǎng)大小?無(wú)關(guān),因此,孤子核振幅、周期波振幅與磁場(chǎng)大小?變化無(wú)關(guān).下面僅討論磁場(chǎng)大小?對(duì)孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)的影響.(7)式給出了孤子核特征寬度表達(dá)式,文獻(xiàn)[26]由“穿衣服”結(jié)構(gòu)給出了周期波波長(zhǎng)為λc=4K(m)W2,K(m)是第一類(lèi)Legendre完全橢圓積分,由此可做圖討論.圖5為孤子特征寬度及周期波波長(zhǎng)隨磁場(chǎng)大小?的變化,由圖可知,當(dāng)磁場(chǎng)取值較小時(shí),?增大將導(dǎo)致孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)顯著減小.當(dāng)?進(jìn)一步增大時(shí),孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)都將趨向一固定值.此現(xiàn)象可由KdV方程色散項(xiàng)系數(shù)的表達(dá)式給出解釋.當(dāng)磁場(chǎng)大小?達(dá)到極限,即(1?l2z)(γσ+1/aκ)? ?2時(shí),色散項(xiàng)系數(shù)B可近似取為

此時(shí),色散項(xiàng)系數(shù)B與?無(wú)關(guān),故孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)存在極限值.文獻(xiàn)[27,29]考慮了磁場(chǎng)大小?對(duì)經(jīng)典孤立子的影響,也發(fā)現(xiàn)磁場(chǎng)大小?對(duì)孤子特征寬度的影響存在一個(gè)極限值.

最后,討論離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨磁場(chǎng)方向與波矢量之間夾角的變化.圖6為離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨傾斜程度lz的變化,由圖可知,當(dāng)磁場(chǎng)B與波矢量k之間夾角θ增大時(shí),lz減小,孤子核振幅、周期波振幅增大,孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)減小.當(dāng)磁場(chǎng)B與波矢量k之間夾角為直角時(shí),lz為零,孤子核振幅、周期波振幅達(dá)到最大值,孤子核特征寬度、周期波波長(zhǎng)達(dá)到最小值.

圖6 離子聲準(zhǔn)孤立子波形隨傾斜程度l z的變化 波參數(shù)為ε=0.1,m=0.02,δ=?1,V1=?V2=0.04,l x=0.5,?=0.3,σ=0.01及κ=3Fig.6.Variation of the IA quasi-soliton structure with respect to obliqueness l z forε=0.1,m=0.02,δ=?1,V1=?V2=0.04,l x=0.5,? =0.3,σ=0.01 andκ=3.

5 結(jié) 論

本文應(yīng)用推廣的tanh函數(shù)展開(kāi)法給出了KdV方程具有準(zhǔn)孤立子行為的兩組孤子-橢圓周期波解,其中一組為新解.討論了均勻磁化等離子體中描述離子聲波動(dòng)力學(xué)行為的準(zhǔn)孤立子,發(fā)現(xiàn)電子分布偏離麥?zhǔn)戏植?、離子電子溫度比、磁場(chǎng)大小和磁場(chǎng)方向?qū)﹄x子聲準(zhǔn)孤立子波形具有顯著影響.本文給出的準(zhǔn)孤立子解可應(yīng)用到物理學(xué)的眾多領(lǐng)域.例如,可將準(zhǔn)孤立子解視為“穿衣服”孤立子,并在實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究中給出經(jīng)典孤立子解的修正.

附錄A

H1和H2的具體表達(dá)式為:

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