Tavis-Cummings模型中的幾何量子失協特性?

程景 單傳家 劉繼兵 黃燕霞 劉堂昆

(湖北師范大學物理與電子科學學院,黃石 435002)

(2017年12月20日收到;2018年3月14日收到修改稿)

1 引 言

量子糾纏是量子力學最基本的概念,是一種量子關聯,也是量子物理與經典物理最本質的區別,在量子信息中被廣泛地應用,例如量子密鑰分配[1]、量子隱形傳態[2]、量子糾錯[3]和量子網絡等.目前人們對Tavis-Cummings(T-C)模型進行了更廣泛的研究,Bogoliubov等[4]對加入克爾非線性介質的T-C模型進行了討論;左戰春和夏云杰[5]對T-C模型中三體糾纏態糾纏量進行了討論;郭亮和梁先庭[6]研究了T-C模型中光場和原子以及原子與原子之間的糾纏演化;張國鋒和卜晶晶[7]研究了共振和非共振情況下非簡并雙光子T-C模型中原子與原子之間的糾纏演化.但是,實驗上和理論上證實了量子糾纏不包含所有的量子關聯.為更加全面地描述量子關聯,Ollivier和Zurek[8]提出了量子失協(quantum discord,QD);胡要花等[9]研究了強度相關耦合雙Jaynes-Cummings(J-C)模型中的糾纏和QD;賀志和李龍武[10]研究了兩能級原子在共同環境下的量子關聯動力學;Ali等[11]發現糾纏與QD并沒有直接的大小關系.量子糾纏不完全等同于非經典關聯,有的系統即使量子糾纏等于0,但是仍然存在量子失協,所以QD引起了人們濃厚的興趣.但是僅對于一些特殊的態,才能得到QD的精確解析.為了克服這個問題,Dakic等[12]提出了幾何量子失協(geometric measure of quantum discord,GQD)的方法,用此方法解析兩體問題相對于QD要簡單很多.樊開明和張國鋒[13]研究了阻尼J-C模型中兩原子的量子關聯動力學.對GQD的研究更為廣泛[14?20].單傳家和夏云杰[21]研究了T-C模型中兩原子的糾纏特性,但并未研究該模型中的GQD特性.

在本文中,我們考慮兩個原子初始時刻處于糾纏態,并不忽略原子之間的偶極相互作用,研究GQD的演化規律及其受初始原子態、光場數和偶極-偶極相互作用強度的影響.

2 理論模型

考慮兩個兩能級原子與單模光場的相互作用,其原子間的偶極-偶極相互作用也被考慮在內.此情況下的系統哈密頓量H為(設～=1)

其中ω1和ω2為原子的本征躍遷頻率,ω為腔場頻率;a和a+分別是光子的湮滅和產生算符;g為原子與光場間的耦合系數;?為原子間偶極-偶極相互作用強度;σ,σ±1,σ±2為原子的自旋算符.

若|g?和|e?分別是原子的基態和激發態,則原子A的贗自旋算符為

原子B的贗自旋算符為

在相互作用繪景中,考慮共振條件(ω=ω1=ω2),(1)式可變為

考慮共振情況且g1=g2,假設初始兩原子處于糾纏態,光場處于粒子數態,則系統初始狀態為

所以在任何時刻的態矢可表示為

將(4),(5)和(6)式代入相互作用繪景的薛定諤方程

通過計算可以得到

式中a=(?? ? ?)/2,b=(?? +?)/2,? =

(6)式對光場求跡, 在原子基|ee?,|eg?,|ge?,|gg?下,約化密度矩陣ρAB(t)為

3 數值計算和討論

Dakic等[12]提出了GQD,任何一個2 bit的量子態ρab都有如(10)式所示的Bloch表示:

式中xi=trρ(σi? Ib),yi=trρ(Ia? σi),tij=trρ(σi? σj),x=(x1,x2,x3)T,y=(y1,y2,y3)T是邊緣態ρa和ρb的Bloch矢量,而T={tij}是兩體量子態的關聯矩陣.ρAB的GQD為

式中Kmax是矩陣K=x xT+TTT的最大本征值,上標T表示矩陣轉置.利用(11)式進行數值計算,通過圖1—圖3展示GQD的演化規律.

圖1描述的是改變兩原子的初始狀態時,GQD的演化規律.當θ=π/4,π/2時,GQD隨時間周期性振蕩,但可以發現當初態為最大糾纏態時,初始的GQD最大并隨著時間減小到零后再回復至最大值;而初態為分離態時,GQD從零開始增大,減小到某個值時再增大后繼續減小到零,但不能達到最大值.當θ=3π/8,5π/8時,初始時刻的GQD是一樣的,但隨著時間推移,圖1(b)中曲線的GQD先減小到零之后恢復到初始值,而圖1(d)中曲線一直處于失協狀態并且GQD的值不會低于初始值.

圖1 當g=1,? =1,n=0時GQD隨時間t的演化 (a)θ=π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ=π/2;(d)θ=5π/8Fig.1.Geometric quantum discord of two atoms as a function of the time for diff erent initial state(parameters:g=1,? =1,n=0):(a)θ= π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ= π/2;(d)θ=5π/8.

圖2 當g=1,? =1,n=1時GQD隨時間t的演化 (a)θ=π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ=π/2;(d)θ=5π/8Fig.2.Geometric quantum discord of two atoms as a function of the time for diff erent initial state(parameters:g=1,? =1,n=1):(a)θ= π/4;(b)θ=3π/8;(c)θ= π/2;(d)θ=5π/8.

圖2描述的是改變腔場中的光子數,GQD的演化規律.從圖中我們可以看到改變腔場的光子數量子GQD也是周期性演化.通過圖1與圖2的對比發現增加光子數后,使振蕩周期變大并且長時間處于失協狀態[如圖1(c)和圖2(c)所示],也會增強GQD強度,使失協強度更接近0.5[如圖1(b)和圖2(b)所示].當θ=π/4時,增加腔內光子數卻加快了失協振蕩頻率[如圖1(a)和圖2(a)所示].

圖3 當g=1,? =5時GQD隨時間t的演化規律 (a)n=1,θ= π/4;(b)n=1,θ=3π/8;(c)n=0,θ= π/2;(d)n=0,θ=5π/8Fig.3.Geometric quantum discord of two atoms as a function of the time for diff erent initial state and diff erent Fock state of the fi eld(parameters:g=1,? =5):(a)n=1,θ= π/4;(b)n=1,θ=3π/8;(c)n=0,θ= π/2;(d)n=0,θ=5π/8.

圖3 描述的是改變原子間偶極-偶極相互作用強度,腔中兩原子的GQD的演化規律.對比圖3與圖2可以發現,增強偶極-偶極相互作用強度,GQD也是周期性振蕩并使兩原子一直處于失協狀態[如圖3(a)和圖2(a)所示].當初態不為最大糾纏態時,增大偶極-偶極相互作用的強度,可以增大GQD并且可以增大振蕩周期[如圖3(b)和圖2(b),圖3(d)和圖1(d)所示].并且發現一個有趣的現象是,當θ=3π/8時,增大偶極-偶極相互作用強度,進入腔后,GQD的值先增大,再減小,這與增加腔內光子數的情況有所不同.

4 結 論

通過改變兩原子初始狀態、腔內光子數和偶極-偶極相互作用強度,研究了T-C模型中的GQD特性.結果表明:選取適當的初態可以使兩原子一直處于失協狀態,同時發現適當地增強偶極-偶極相互作用強度可以使兩原子一直處于失協狀態.增加腔內光子數或增強偶極-偶極相互作用強度都可以使GQD有略微的增大.本文的研究結果對量子糾纏態制備、QD的操控有一定的指導意義.

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