基于憶阻器的多渦卷混沌系統及其脈沖同步控制?

閆登衛 王麗丹 段書凱

1 引 言

1971年,美國加州大學伯克利分校華裔科學家Chua[1]從理論上預測了描述電荷和磁通關系元件的存在性,并定義這類元件為憶阻器.憶阻器是一種有記憶功能的非線性電阻,可以記憶流經它的電荷的數量,通過控制電流的變化可改變其阻值.由于現實中沒有發現這類器件,所以長期以來關于憶阻器和憶阻電路的研究沒有引起科學界和工程界的重視.直到2008年Hewlett-Packard(HP)實驗室研制了第一個納米級憶阻器實物模型[2],并從實驗角度給出了其記憶機理,憶阻值與流過其的電荷或磁通量有關,由此激起了人們開展憶阻器全方位研究的興趣[3].憶阻器的出現為電子電路的設計與應用開拓了全新的發展空間.由于憶阻器具有記憶功能,其潛在的應用價值引起了國內外學者的廣泛關注.憶阻器將在計算機科學[4]、生物工程[5]、神經網絡[6?8]、電氣工程[9]、通信工程[10]等領域展現出誘人的應用前景.

一般來說,電路的非線性是混沌產生的必要條件.憶阻器作為可調控的非線性器件,加上其具有體積小、功耗低等特點,非常適合應用于高頻混沌電路.而高頻混沌信號在圖像加密、混沌保密通信中具有廣泛的應用前景,因此,采用憶阻器構造混沌電路得到了研究人員的密切關注.2008年,Itoh和Chua[11]采用磁通控制的分段線性憶阻器模型替換蔡氏電路中的非線性元件,導出兩類憶阻器混沌振蕩.Bharathwaj和Kokate[12]將分段線性模型的憶阻器替換蔡氏二極管,并分析了該替換后系統的動力學特性,結果顯示其體現出來的混沌特性比經典蔡氏電路更為復雜.隨后的2010年,Muthuswamy[13]不僅成功利用三次方憶阻器構成了混沌系統,而且第一次利用有源器件實現了該電路.在數值仿真過程中對其余的3個變量做了尺度變換,而保持磁通尺度不變.尺度變換以后,利用兩個乘法器、一個放大器和電容電阻就可以完成憶阻器搭建.與此同時,國內的研究人員也開展了相應的研究.Bao等[14]對憶阻器混沌電路進行了深入的研究探討,利用光滑模型的磁控憶阻器實現了一系列新的蔡氏和類蔡氏憶阻混沌電路,通過理論研究和實驗分析得出了一系列重要的結論,如:憶阻型混沌系統的平衡點與其憶阻器本身的狀態變量有關,當系統含一個憶阻器其平衡點對應為一個點集,含兩個憶阻器其平衡點則對應一個平面；憶阻器混沌電路的動力學特性與憶阻器的初始狀態密切相關[15],存在瞬態混沌及狀態轉移等復雜的動力學現象[16].Wang等[17]利用憶阻器的非線性特性,成功推導出一個磁控憶阻器,并將其應用于混沌系統中,得到了基于該憶阻器的混沌系統.上述研究極大地推進了憶阻器混沌電路的發展,同時詳細介紹了憶阻器所帶來的新的混沌動力學特性.隨著混沌理論在實際工程中的應用越來越廣泛,如何更好地利用憶阻器的非線性以及設計各類新型憶阻型混沌電路成為研究重點[18?25].

與已有的混沌同步方法相比,脈沖混沌同步法僅在離散時刻向響應系統施加脈沖信號,使得一些不具備連續耦合條件或者不能承受連續擾動的系統可以在脈沖耦合條件下達到同步;另一方面,這種離散耦合方式大大降低了驅動系統與響應系統之間的信息傳輸率,應用于混沌壓縮感知可有效實現測量信號的降采樣,是混沌壓縮感知技術中的關鍵環節[26].近年來,研究者對脈沖同步做了許多的研究工作.例如,Itoh等[27]提出了混沌系統及超混沌系統達到脈沖同步所需要的條件;Li和Liao[28]使用小幅度脈沖實現了超混沌系統的完全同步和時延同步;Wang等[29]分析了一類連續系統的脈沖控制和同步;Ren和Zhao[30]用自適應反饋法實現了耦合混沌系統的脈沖同步.但以上的方法缺乏通用性,對不同系統需要具體問題具體分析,并且所獲得的實現同步的充分條件較為苛刻,將大部分較寬松的條件排除在外.而從最大Lyapunov指數的角度實現脈沖混沌同步的充分條件則相對簡單.因此,本文基于增廣Lü系統設計了基于憶阻器的多渦卷混沌系統,利用最大Lyapunov指數的方法實現了憶阻脈沖混沌同步,數值仿真證實了憶阻混沌系統的存在性以及脈沖同步控制的可行性,對促進憶阻器應用和發展具有重要的意義.

本文在增廣Lü系統中引入憶阻器和一個立方項,得到了一個基于憶阻器的三維混沌系統,該系統具有結構簡單的代數結構,包含兩個非線性項、一個憶阻器和一個立方項.隨后,僅僅通過改變系統的一個參數得到了單渦巻、雙渦卷和四渦巻的混沌吸引子.接著,通過平衡點的穩定性、對稱性,Lyapunov指數和維數,分岔圖和Poincare截面分析了系統的基本動力學特性,數值仿真和理論分析一致.然后,建立了模擬該系統的SPICE(simulation program with integrated circuit emphasis)電路,SPICE的仿真結果與數值分析相符,從而驗證了該系統的混沌產生能力.最后,介紹了從最大Lyapunov指數的方法實現脈沖混沌同步的理論,數值模擬實驗證明了該方法的有效性.

2 基于憶阻器的混沌系統及其基本動力學分析

2.1 基于憶阻器的混沌系統模型

已有的三維增廣Lü系統的數學模型為[31]:

式中a,b為負實常數,其典型取值為a=?10,b=?4.設初始值為(x0,y0,z0),當z0>0時,系統(1)所描述的系統產生一個雙翼混沌吸吸引子,如圖1(a)和圖1(b)中藍色部分所示;當z0<0時,(1)式所描述的系統產生一個雙翼的下吸引子,如圖1(a)和圖1(b)中紅色部分所示.

在此基礎上構造的基于憶阻器的三維混沌系統,其狀態方程為:

其中 x,y,z∈R;a,b,c,d,w為系統的參數;f(·)為系統的非線性項,滿足憶阻器與磁通之間的關系[17]:

其中

圖1 增廣Lü系統共存的上吸引子和下吸引子 (a)x-z平面;(b)y-z平面Fig.1.The coexistence of the upper and lower attractors of three-dimensional chaotic augmented Lüsystem:(a)x-z plane;(b)y-z plane.

圖2 w=25000時系統(2)的單渦卷混沌吸引子Fig.2.The single-scroll chaotic attractor of the system(2)when w=25000.

圖3 w=10000時系統(2)的雙渦巻混沌吸引子Fig.3.The double-scroll chaotic attractor of the system(2)when w=10000.

圖4 w=2000時系統(2)四渦卷的混沌吸引子Fig.4.The four-scroll chaotic attractor of the system(2)when w=2000.

y是憶阻器的輸入磁通,M(0)表示憶阻器的初始值,D為薄膜的厚度,Roff和Ron分別表示憶阻器的兩個極限值,uv表示氧空缺的平均移動量,M(0)為憶阻器的初始狀態為16000,Roff=20 k?,Ron=100 ?,D=10 nm,uv=10?14m2·s?1·v?1,k為常數,

選取初始值為(x,y,z)=(?0.1,?0.1,?0.1).參數 a=2,b=8.2,c=5,d=3確定參數,當參數w分別等于2000,10000和25000時,設置仿真時間為1000 s,采用四階龍格庫塔法進行數值仿真,得到單渦巻、雙渦巻和四渦巻混沌吸引子,分別如圖2、圖3和圖4所示.可知系統(2)的混沌吸引子軌線在特定的吸引域內具有遍歷性.

將該系統與增廣Lü系統相比較,發現兩個系統均具有形式相似的簡單代數方程的結構,但系統(2)的第三個方程為對應的增廣Lü系統方程的鏡像,且在第一個方程中引入了磁控憶阻器,在第二個方程中的增加了y3項.在下面的動力學分析和數值模擬中,除了特別說明之外,都以雙渦巻的混沌吸引子進行分析.

2.2 憶阻混沌系統動力學分析

2.2.1 對稱性分析

系統(2)有自然的對稱性,即做變換(x,y,z)→(?x,y,?z)后,系統保持不變.變化可表示為

它滿足f(PX)=Pf(X),即在y軸的反射下,系統是不變的,并且對稱性對所有的系統參數都保持不變.

2.2.2 平衡點穩定性分析

為求解系統的平衡點,令參數a=2,b=8.2,c=5,d=3,w=10000.并且方程組為:

由(3)式可知,f(?|y|)為分段函數,所以要分段求解它的平衡點.

1)當y

表1 當y

2)當y< ?c5,y>0即y<0.3618,y>0時,經計算,系統也有7個平衡點,分析計算得到的結果如表2所列.由表2可知,由于y值中正數最小的J4都要比?c5大,因此沒有滿足要求的平衡點.

表2 當y0時(7)式的平衡點Table2.Equilibrium point of formula(7)when y0.

此外,當y>c5,y<0或者y> ?c5時,計算出y=0,不滿足條件.因此,總共滿足要求的系統的平衡點有3個,分別為S2,S5,S7.在平衡點處得到系統(2)的雅可比矩陣為:

根據每一個平衡點對應的雅可比矩陣計算出相應的特稱值,相關結果如表3所列.根據平衡點與穩定性的關系,可知平衡點S5為指標1的鞍點,平衡點S2和S7是產生渦巻前提的鞍焦點.

由上述的分析可知,系統(2)有一個不穩定的鞍點和兩個鞍焦點,從理論上證明了該系統有存在雙渦卷混沌吸引子的可能.

表3 當w=10000時各個平衡點對應的特征值Table 3.Specifi c value of each equilibrium point whenw=10000.

2.3 憶阻混沌系統數值仿真分析

2.3.1 時域波形圖和功率譜圖分析

采用Matlab仿真得到系統(2)的x時域波形圖,如圖4所示.由圖4可看到在不帶隨機因素的非線性確定性系統中出現的隨機現象,這正是混沌運動的現象.另外,系統(2)的功率譜是連續譜,如圖5所示.圖5中沒有明顯的波峰,且序列的頻譜很寬,也說明系統(2)是混沌系統.

2.3.2 Poincare截面分析

Poincare映射是一種分析復雜動力學系統的經典途徑,對于一個系統是否為混沌系統,可以從Poincare截面上的點分布情況來進行判定,此截面對于認識混沌系統吸引子形成以及馬蹄映射奠定了基礎.若Poincare截面上的點是成片的具有分形結構的密集點時,可以判定系統為混沌系統,反之,則不是混沌系統.對于本文提出的憶阻器的混沌系統(2),取平面x=5,y=0,得到相應的Poincare截面如圖6所示,可判定系統(2)為混沌系統.

圖5 系統(2)的時域圖和功率譜 (a)時域圖;(b)功率譜Fig.5.Time domain waveform and power spectrum of system(2):(a)Time domain waveform;(b)power spectrum.

圖6 系統(2)的Poincare截面 (a)x=5;(b)y=0Fig.6.Poincare section of the system(2):(a)x=5;(b)y=0.

2.3.3 Lyapunov指數和維數

Lyapunov指數是定量描述軌線相互排斥和相互吸引的特征值,系統的最大Lyapunov指數是判定混沌系統的重要特征.混沌吸引子相鄰軌線之間呈現出彼此相互排斥的趨勢,并以指數速率相互分離.得到Lyapunov指數譜如圖7所示.計算最大Lyapunov指數的方法有很多種,這里采用的是雅可比矩陣的方法計算出3個Lyapunov指數分別為:L1=1.05,L2=0.05,L3=?13.84,其中一個指數為正,一個指數趨于0,一個指數為負,且滿足L1

可見系統出現分數維,說明系統(2)具有復雜的分形結構.混沌吸引子的分形性質不僅僅表示的是非周期軌道,它還會使附近的軌線發生分岔現象.對于所有的奇怪吸引子,由不同的初值條件得到的軌跡會很快到達吸引域,但是相鄰的兩條軌線不會互相靠近,它們很快會沿著不同的路徑發散,在吸引子中形成分數維.因此,的確有混沌現象存在于該動力系統中.

圖7 系統(2)的Lyapunov指數圖Fig.7.Lyapunov exponents of the system(2).

2.3.4 系統的參數影響

隨著系統參數的變化,系統的穩定性將發生變化,從而系統也處于不同的狀態,用分岔圖和Lyapunov指數圖可以直觀地表明系統參數變化時系統狀態的變化情況.固定參數b=8.2,c=5,d=3,w=10000,選取初始狀態(x,y,z)=(?0.1,?0.1,?0.1),并且選擇Poincare截面為y=5.當有一個Lyapunov指數大于零時,系統處于混沌狀態,由圖8(a)可見,隨著a的變化,系統的Lyapunov指數也在變化,除最小Lyapunov指數一直在減小外,其他兩個變化不是很明顯.當a∈[1.7,4.0]時,最大的Lyapunov指數大于零,系統處于混沌狀態.而當a處于其他區間時,系統基本上都是兩個Lyapunov指數等于零和一個Lyapunov指數小于零,系統處于周期狀態,即系統存在環面吸引子,只是在少數區間存在兩個Lyapunov指數小于零和一個Lyapunov指數等于零的情況,系統存在著環吸引子.觀察圖8,當a=2時,系統(2)處于混沌狀態.從圖8(b)的局部放大圖可以看出系統(2)出現了倍周期分岔通向混沌的道路.

圖8 參數a變化時系統(2)的Lyapunov指數圖和分岔圖 (a)Lyapunov指數圖;(b)分岔圖Fig.8.The Lyapunov spectrum and bifurcation diagram of system(2)with the change of a:(a)Lyapunov spectrum;(b)bifurcation diagram.

3 混沌吸引子的模擬實現和SPICE仿真

為了驗證系統的混沌行為,設計了可以實現該系統的電路.該電路由三路模擬運算電路組成,分別實現系統的狀態變量vx,vy和vz的運算.用到的元器件有LM675運放,憶阻器,乘法器,二極管,電容和電阻等.每個模塊分別代表系統的一個變量的無量綱方程.在第一個模塊中,首先用兩個放大器組成的絕對值電路對變量vy取絕對值,然后反向輸入憶阻器模型的磁通端,從電荷端輸出后再經過兩個反向比例電流,后經過加法運算和積分運算得到變量vx.在第二個模塊中,通過乘法器、積分器、加法器和反向器等運算,得到變量vy.同理,第三個模塊中得到變量vz.加入該系統的電源為Vcc=30 V,VEE=?30 V.

運算放大器U1和U2被用來實現絕對值電路.二極管選D20NQ045,當vy<0時,D1導通,D2截止,反相端“?”虛短,運算放大器U1的輸出電壓vU1=0,運算放大器U2為加法器,輸出電壓為當v>0時,運算放大器U1輸出y電壓小于0,D1截止,只要U1達到?0.7 V,就導通D2,此時U1相當于一個反相輸入的比例放大器,運算放大器的電壓運算放大器U2為加法器,輸出電壓為即

綜上可知:

當R1=R3=R4=R7=1 k?,R2=R5=500?,U2的輸出電壓vU2=|vy|,運算放大器vU3的輸出電壓為:.令R8=R9=1 k?,可以得到vU3=?|vy|.

U3的輸出作為磁通控制器憶阻器的輸入,磁通控制憶阻器的參數設置為Ron=100?,Roff=20 k?,M(0)=16 k?,D=10 nm和uv=10?14m2·s?1·V?1.

運算放大器U4和U5主要對信號進行兩級放大,每一級放大的增益均為100.經過兩級放大后,憶阻器的電荷被放大了10000倍.運算放大器U6實現一個反相比例器.令R10=100?,R12=100?,R11=R13=10 k?,得到

由運算放大器U10和U11分別實現一個加法器和一個積分器可以得到:

那么,得到

將vU6,vU8,vU9代入(14)式得到:

再把R17=R21=R19=R16=R24=R23=R25=R20=1 k?,R22=2 k?,R18=8.2 k?,R26=1 M?,C1=1μF代入,由(15)式可以得到:

同理,

令R27=R29=R30=R31=R33=R35=1 k?,R28=5 k?,R32=1 k?,R36=1 M?,C2=1μF,那么得到

因此,按照以上的方法可以得到

圖9 混沌系統(2)的SPICE仿真電路圖Fig.9.Analog SPICE implementation of the memristive chaotic system(2).

SPICE的步長為0.05 s,最大的終止步長為200 s,輸出打印時間為0.5 s.利用SPICE對圖9電路進行瞬時仿真.

調節電阻R15的值,即調整系統參數w的值.當R15=10 k?,即w置于10000,仿真結果如圖10所示;當R15=2 k?,即w 置于2000時仿真結果如圖11所示;當R15=25 k?,即w置于25000,仿真結果如圖12所示.

憶阻混沌系統的電路仿真結果對比圖2、圖3和圖4中的相圖,可知混沌吸引子電路實驗與數值仿真結果一致,從而驗證了該混沌吸引子存在于三維憶阻電路中.

圖10 w=10000時系統(2)的SPICE仿真結果Fig.10.SPICE simulation results of system(2)when w=10000.

圖11 w=2000時系統(2)的SPICE仿真結果Fig.11.SPICE simulation results of the system(2)when w=2000.

圖12 w=25000時,系統(2)的SPICE仿真結果Fig.12.SPICE simulation results of the system(2)when w=25000.

4 利用最大Lyapunov指數實現脈沖憶阻混沌同步

假設有驅動系統與響應系統,令

作為驅動系統,那么系統(19)可以寫成如下的形式:

其中

響應系統可以寫成如下的形式:

其中

則誤差系統為:

其中

下面從最大Lyapunov指數的角度給出實現脈沖混沌同步的充分條件.

假定系統(20)和系統(22)的初始狀態距離為||E(0)||,該憶阻混沌系統的最大Lyapunov指數從2.3.3節可知為L1,對系統(22)不加控制,則經過較短的時間?t后該距離不會超過

通常認為混沌運動的最大可預測時間為1/λ1[32].由此可以得出如下的定理.

定理1 設β是(I+B)T(I+B)(I代表單位矩陣)的最大特稱值,L1是系統(20)的最大Lyapunov指數,η是脈沖的間隔,ε>1且為常數,若取適當的β和η滿足

并且η<1/L1,則系統(20)和系統(22)將達到同步.

證明 設

則

因此有

同理

依次類推

由定理1中的條件lnεβ +2L1η 6 0,有

由(34)式可知

因此有

證畢.

這里選取憶阻混沌系統的參數為a=2,b=8.2,c=5,d=3和w=10000,使系統(2)呈現雙渦卷的混沌狀態,此時系統(2)最大Lyapunov指數L1=1.05. 取B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),ε=4,代入(26)式解得η6 0.顯然,η<1/L1=0.952即可,即B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),脈沖間隔不大于0.952 s,就可以令系統(20)和系統(22)達到同步.

圖13 兩系統的同步誤差曲線Fig.13.Synchronous error curves of two systems.

圖14 系統(20)驅動系統的時域圖Fig.14.Time domain diagram of driving system of system(20).

在數值仿真中,取B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),η=0.05 s,選取時間步長為τ=0.0001 s,采用四階Runge-Kutta法求解方程(20)和(22).驅動系統(20)和響應系統(22)初始點分別選取為X(0)=(10,5,8)和Y(0)=(8,?12,?20). 因此,誤差系統的初始值為E(0)=(?2,?17,?28).圖13為驅動系統(20)和響應系統(22)的同步模擬結果,圖14為驅動系統(20)時域圖的模擬結果,圖15為響應系統(22)時域圖結果,由誤差效果圖可見,e1(t),e2(t)和e3(t)最終穩定在零點附近,即B=diag(?1.5,?1.5,?1.5),脈沖間隔η=0.05 s時,驅動系統(20)與響應系統(22)達到了同步.

圖15 系統(22)響應系統的時域圖Fig.15.Time domain diagram of response system of system(22).

5 結 論

憶阻器具有一種其他三種基本元件任意組合都不能復制的特性,它是一種有記憶功能的非線性電阻,可以記憶流經它的電荷數量,通過控制電流的變化可改變其阻值,并且體積小,功耗低,在混沌電路中有著很高的應用前景.本文首先基于增廣Lü系統和磁控憶阻器模型,構建了一個基于憶阻器的三維混沌系統.當僅僅改變系統的一個參數時,得到了單渦巻﹑雙渦卷和四渦巻的混沌吸引子.由此可見,憶阻器的引入大大豐富了混沌系統的混沌程度,得到了復雜的混沌特性.通過對稱性、平衡點穩定性、時域譜、功率譜、Lyapunov指數和維數、Poincare截面圖和分岔圖研究了該憶阻混沌系統的基本動力學特性,驗證了該系統的混沌特性.然后,實現了SPICE電路的模擬仿真,仿真結果與數值分析相符,進一步驗證了該憶阻混沌設計的正確性和可實現性.最后,利用最大Lyapunov指數的方法實現了憶阻混沌系統的脈沖混沌同步,數值仿真證實了憶阻混沌系統的存在性以及脈沖同步控制的可行性,對促進憶阻器的應用意義重大,為進一步研究憶阻混沌系統在語音保密通信和信息處理中的應用提供了實驗基礎.

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