漢克-貝塞爾光束在海洋湍流信道中的螺旋相位譜分析?

尹霄麗 郭翊麟 閆浩 崔小舟 常歡 田清華吳國華 張琦 劉博 忻向軍

1 引 言

最近,水下傳感網絡、水下無人飛行器和潛艇等信息傳輸需求的快速增長促進了水下光通信系統的研究[1?4].帶有不同軌道角動量(orbital angular momentum,OAM)模式數的光束(也稱渦旋光束)是相互正交的,有望通過OAM復用來提升水下光通信系統的信道容量,相關研究受到了廣泛關注[5?9].Ren等[2]實驗研究了攜帶有4個不同OAM模式光束的復用傳輸,實現了4 Gbit/s的水下光通信鏈路.Baghdady等[6]實現了3 Gbit/s水下2.96 m OAM光通信鏈路傳輸.然而,利用OAM提升系統信道容量的方法容易受海洋湍流的限制.混濁度、水流速度、溫度梯度和鹽度梯度等[1,2,6,9]湍流因素的存在導致OAM光束能量將會擴散到其他OAM模式上,這種現象稱為模式串擾,從而減少了系統的信道容量[10?13].帶有OAM的漢克-貝塞爾(Hankel-Bessel,HB)渦旋光束具有無衍射和自聚焦特性,即在無衍射傳播范圍內不會改變光強分布,并在遇到障礙物后能夠重建橫向強度分布[14,15].雖然無衍射特性表明光束能量是無窮的,但是已經有實驗證明能夠產生近似的無衍射光束[16,17].HB渦旋光束在空間光通信領域得到了研究者的關注,研究表明在大氣湍流信道中HB渦旋光束受湍流影響較小[14,15].據我們所知,HB渦旋光束在海洋湍流中的傳輸特性研究尚未見報道.

本文首先基于Rytov近似理論,對HB渦旋光束在海洋弱湍流信道的傳播特性進行了理論分析,推導得到了接收光束的螺旋相位譜解析表達式.數值分析了海洋湍流參數對HB渦旋光束傳輸的影響,并在同等湍流條件下與拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian,LG)渦旋光束進行了對比分析,這些結果將對OAM在水下光通信的潛在應用具有指導意義.

2 理論分析

2.1 HB渦旋光束經海洋湍流信道傳播的統計特性

對于HB渦旋光束而言,在自由空間中傳輸距離z處的復振幅M表達式為[15]

(1)式中l0是OAM模式數;A0是用來描述光束功率的常數;Jm(x)是m階的第一類貝塞爾函數;k=2π/λ是波數,λ是波長;ρ =(ρ,?)是源平面二維位置矢量;?是方位角.

基于Rytov近似理論,HB渦旋光束在海洋湍流信道中傳輸距離為z處的復振幅可以表示為[10]

(2)式中,Ψ1(ρ,?,z)是海洋湍流引入的隨機復相位擾動.

HB渦旋光束在海洋湍流中的二階交叉譜密度函數可表示為[10]

(3)式中,*表示復數共軛,?·?t表示對湍流的系綜平均[18,19].

利用Rytov相位結構函數的二次近似,能夠得到(3)式等號右邊的最后一項為[20]

(4)式中,ρ0是海洋湍流中球面波的空間相干長度,其表達式為[10]

(5)式中,κ是折射率波動的空間角頻率,?ocean(κ)是海洋湍流的折射率波動的空間功率譜,在均勻各向同性海水中可表示為[21,22]

(6)式中,χT是溫度方差耗散率,從海洋表面到深水層的取值范圍為10?4–10?10K2/s;ε是湍流動能耗散率,從海洋表面到深水層的取值范圍為10?1–10?10m2/s3;η是Kolmogorov尺度;τ是平衡參數,用來描述溫度與鹽度波動對功率譜變化貢獻大小的比值,其值從0變化到?5,其中0代表海洋湍流完全由鹽度波動主導,?5代表完全由溫度波動主導;AT=1.863×10?2;As=1.9× 10?4;ATs=9.41× 10?3;δ=8.284(κη)4/3+12.978(κη)2.

將(6)式代入(5)式中,化簡得到[13]

(7)式表明在相同的波長和傳輸距離下,海洋湍流越弱,ρ0越大.

2.2 螺旋相位譜

當HB渦旋光束在海洋湍流信道中傳播時,湍流效應導致了OAM模式串擾,接收端不僅能檢測到發射模式,還能檢測到其他模式.因此,可以將HB渦旋光束經過海洋湍流后的復振幅寫成無窮多個本征態的疊加,即

(8)式中,系數al(ρ,z)可表示為

對系數al(ρ,z)求湍流系綜平均,可以得到HB渦旋光束OAM模式概率密度為

將(3)式代入(10)式中,并利用(4)式化簡得到

將(1)式代入(11)式中,并利用積分關系[23]

可以簡化計算得到HB渦旋光束的OAM模式概率密度的解析表達式為

(12)式和(13)中,In(η)是n階第一類修正貝塞爾函數.

另外,當發射OAM模式為l0時,可以將接收到OAM模式為l的螺旋諧波能量定義為

(14)式中,R為光束的接收孔徑.接下來,將螺旋相位譜Pl(z)定義為OAM模式為l的螺旋諧波能量與光束總能量的比值,可表示為

(15)式中,表示渦旋光束的總能量.當l等于l0時,Pl0(z)表示探測概率;當l等于l0±?l,Pl(z)表示串擾概率,?l表示發射的OAM模式與探測到的OAM模式的差值.

3 數值分析

本文做了如下設置:Kolmogorov尺度η為10?3m,A0為10,接收孔徑R為3 cm.考慮到海水中的吸收和散射效應,波長λ取為532 nm[1].

圖1以發射OAM模式數l0等于1為例,給出了HB渦旋光束的探測概率隨傳輸距離變化的曲線.設置溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數τ為?4,這些設置滿足弱湍流條件[13,22].

圖1 不同的OAM模式數l時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化曲線Fig.1. Detection probability of HB vortex beam against z for diff erent l.

從圖1可以看出,隨著傳輸距離的增加,OAM模式探測概率曲線呈下降趨勢,而鄰近模式的串擾概率不斷增加.從(7)式也可以分析得到,隨著傳輸距離的增加,ρ0減少,海洋湍流引起的模式串擾變得嚴重.

圖2是在溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數τ為?4,傳輸距離為30 m,發射OAM模式數l0為1到5時,HB渦旋光束的螺旋相位譜.從圖2中可以看出,海洋湍流造成了明顯的模式串擾,并引起了螺旋相位譜的擴展.同時,隨著OAM模式數的增加探測概率下降,這是因為隨著OAM模式數增加,光束變得更加發散[20].

圖2 z為30 m時,HB渦旋光束的螺旋相位譜Fig.2.OAM spectra of HB vortex beam for z=30 m.

圖3 —圖5分別分析了平衡參數τ、溫度方差耗散率χT,以及湍流動能耗散率ε對OAM模式l0=1的光束探測概率的影響.圖3是在溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數τ取?4.5,?3.5,?2.5和?1.5四種情況下得到的探測概率隨傳輸距離變化的曲線.從圖3中可以看出,當τ值接近?5時,海洋湍流對光束的負面影響較小;隨著|τ|減少,海洋湍流對光束的負面影響越來越大.這是因為|τ|→ 0時,海洋湍流以鹽度波動為主,此時ρ0值很小,海洋湍流使HB渦旋光束發散得很嚴重[23].因此,可以得到HB渦旋光束更加容易受以鹽度波動為主的海洋湍流的影響.

圖3 不同的τ時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.3. Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentτ.

圖4 是在湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數τ為?4,溫度方差耗散率χT取不同值時,探測概率隨傳輸距離z的變化曲線.從圖4中可以看出,HB渦旋光束的OAM模式探測概率隨χT的增加而減少.當χT較小時,海洋湍流的負面影響較弱,更適合HB渦旋光束OAM模式的傳輸.這是因為在ε一定時,隨著χT的增大,ρ0值減小,海洋湍流帶來的負面影響變得更強,導致光束發散得越快,因而探測概率也在下降[23].

圖4 不同χT時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.4.Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentχT.

圖5 是在溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,平衡參數τ為?4,湍流動能耗散率ε取不同值時,探測概率隨傳輸距離z的變化曲線.從圖5中可以看出,HB渦旋光束的OAM模式探測概率隨ε增加而增加.這是因為對于固定的χT,隨著ε值增大,ρ0值也增大,海洋湍流引起的光束發散變小,因此探測概率增加[23].

圖5 不同的ε時,HB渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.5.Detection probability of HB vortex beam against z for diff erentε.

LG渦旋光束是一種比較常見的渦旋光束,在空間光通信中也受到了研究者的關注[7,8,10,20].圖6比較了HB渦旋光束和LG渦旋光束的探測概率隨傳輸距離變化的影響.其中,設置HB渦旋光束和LG渦旋光束的發射OAM模式數為1,2和3,傳輸距離從0變化到50 m,溫度方差耗散率χT為10?7K2/s, 湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數τ為?4.LG渦旋光束的徑向模式數為0,w0=1 cm為常見入射光束腰大小[10],w0=2.9 mm為光束傳輸至50 m處,使得接收端的光斑尺寸最小的最佳入射光束腰大小.

圖6 不同的OAM模式數l時,HB與LG渦旋光束的探測概率隨z的變化Fig.6.Detection probability of HB and LG vortex beam against z for diff erent l.

從圖6中可以看出,HB渦旋光束的探測概率大于常見LG渦旋光束(束腰大小為1 cm),但是小于最佳LG渦旋光束(束腰大小為2.9 mm).這是因為在接收端HB渦旋光束的光斑尺寸小于常見LG渦旋光束,大于最佳LG渦旋光束.因此,在海洋湍流信道中,HB渦旋光束的傳輸性能優于常見LG渦旋光束,差于最佳LG渦旋光束.

4 結 論

本文研究了在弱湍流海洋環境下,湍流對HB渦旋光束OAM模式探測概率的影響.理論推導了HB渦旋光束經過海洋水平弱湍流信道后的螺旋相位譜的解析表達式.數值計算結果表明海洋湍流明顯地造成了發射OAM模式擴展.HB渦旋光束的傳輸距離越長,海洋湍流帶來的負面影響也越來越嚴重,使得HB渦旋光束在湍流海洋的傳輸距離被限制在幾十米之內;隨著OAM模式數、溫度方差耗散率和平衡參數的增加以及湍流動能耗散率的減少,湍流效應帶來的負面影響也越來越嚴重,導致HB渦旋光束的探測概率下降.在弱湍流及幾十米傳輸距離條件下,HB渦旋光束的傳輸性能比最佳束腰大小設置的LG渦旋光束要差.這些結果有望為海洋環境水下光通信鏈路的實現提供一定的參考價值.

附錄A

1)入射光束的最佳束腰尺寸

在自由空間中,束腰大小為w0的入射光束傳輸至距離z處的光斑大小為[10]

(A1)式中,zR=kw20/2是瑞利距離,k=2π/λ為波數,λ為波長.

要使光束傳輸至距離z處后光斑尺寸最小,當且僅當時,接收端最小光斑尺寸的表達式為

當波長為532 nm,傳輸距離為50 m時,入射光束腰大小w0為2.9 mm,此時,接收端得到最小光斑尺寸為4.1 mm.

2)接收端HB和LG渦旋光束光斑尺寸對比分析

通過原文(13)式分析得到,根據OAM模式探測概率密度?|al0(ρ,z)|2?能夠推斷光束的能量分布特性,能量最集中處即?|al0(ρ,z)|2?取最大值處.為了對比分析HB渦旋光束、常見(束腰大小為1 cm)和最佳(束腰大小為2.9 mm)LG渦旋光束的光斑尺寸,對OAM模式探測概率密度?|al0(ρ,z)|2?進行了數值計算.圖A1描述的是各渦旋光束沿徑向ρ的探測概率密度歸一化曲線.其中設置溫度方差耗散率χT為10?7K2/s,湍流動能耗散率ε為10?3m2/s3,平衡參數τ為?4,傳輸距離為50 m.

從圖A1(a)可以看出,與常見LG渦旋光束相比,HB渦旋光束的主瓣更窄,能量更集中,HB渦旋光束的?|al0(ρ,z)|2?最大值處的位置更靠近ρ=0,因此,HB渦旋光束的能量擴散程度小于常見LG渦旋光束,并且光斑尺寸要小于常見LG渦旋光束[15].從圖A1(b)可以看出,最佳LG渦旋光束的主瓣明顯比常見LG渦旋光束的主瓣更窄,并且最佳LG渦旋光束的?|al0(ρ,z)|2?最大值處的位置靠近ρ=0,即最佳LG渦旋光束的光斑尺寸要小于HB渦旋光束[15].

圖A1 OAM模式探測概率密度沿徑向ρ的歸一化曲線(a)w0=1 cm;(b)w0=2.9 mmFig.A1.The normalization curve of OAM mode detection probability density againstρ:(a)w0=1 cm;(b)w0=2.9 mm.

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