導函數不等式解集求解方法

鐘宇寧

摘 要 近年高考命題趨勢表明，導數已經成為新教材高考命題的熱點。導數作為一種重要的解題工具在考察高中數學的函數的單調性及其延伸問題有其獨特的作用，而函數的單調性是研究函數的性質如極值、最值（值域）、零點等問題的先決條件，故判斷導函數的符號是導數工具作用能否發揮的關鍵一步。文章結合實際教學經驗例談導函數不等式的求解方法。

關鍵詞 導數 函數單調性 函數最值 函數零點

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdks.2018.01.013

Guidance Function Inequality Solution Set Method

ZHONG Yuning

（Shuizhai High School， Meizhou， Guangdong 514400）

Abstract In recent years， college entrance examination proposition trend shows that the derivative has become a hot textbook proposition. Derivatives as an important problem-solving tool have unique functions in examining the monotonicity and extension of high school mathematics functions. The monotonicity of the function is to study the properties of the function such as extreme value， maximum value （range）， zero point and other issues preconditions， so to determine the function of the derivative of the derivative function of the key tool can play a key step. The article combined with the actual teaching experience to talk about the inequality of the derivative function.

Keywords derivative； monotonic function； value of the function； function zero

函數單調性是考察函數圖像與性質的核心，特別是函數性質中的最值、零點、極值等與函數的單調性密不可分。函數單調性是解決函數問題的突破口，對函數單調性的討論與應用一直都是中學數學的重難點，同時也是高考重點考察的題型之一。導數是研究函數單調性的強大工具，而函數單調性的確定關鍵在于導函數的函數值符號的判斷，故函數的導函數符號的判斷是確定函數單調性的關鍵。本文就一些具體的例子介紹用導數研究函數單調性中符號判斷進行方法研究。

1 直接法

導數符號的判斷首先是導函數解析式在定義域內的函數值符號的判斷過程。要想判斷一個函數值的符號，若導函數能表達成“因式相乘”形式，則導函數值符號的判斷即為各個因式符號的考察，再利用導函數值符號與函數單調性對應關系來判斷函數單調區間。

已知函數且在處的切線斜率為，求的值，并討論在[- ， ]上的單調性。

分析：通過條件可解得的解析式，而的單調性必須由判斷。

解：由條件知，

又

而時，；

時，；

時，；

時，

在上為增函數；在上為函數。

評注：判斷函數值的符號先看“解析式”，若導函數可以化為因式相乘形式并且在定義域內各個因式的零點容易求解，則可以利用直接法將導函數的符號化歸為各個因式的符號。特別地，各個因式的符號要充分利用函數的定義域、參數范圍、基本函數的性質、不等式的性質等直接判斷各自的符號。

2 參數討論法

含參數的函數問題是近年來高考的熱點和難點，此類考題常常以導函數含參的形式出現。總的說來，“含參的導函數”分類討論可以包含以下情況：①導函數方程的根的情況進行討論；②導函數方程的根存在參數時對根的大小進行討論；③導函數方程的根與區間的位置情況進行討論。

設函數，其中，對任意的使得恒成立，求的取值范圍。

分析：恒成立只要即可，而要找在在上的最小，在上單調性必不可少。

解：由

又，令，則與符號相同

當時即即時，恒成立，故恒成立，即在上單調增函數，成立，

當時即即時，即

即

上單調減函數，在上單調增函數

又時，，不成立。

綜上所述，的取值范圍為[2，+]。

評注：對導函數表達式各因式符號進行判斷哪些是恒正、恒負，哪些是符號不確定。含參的導函數符號討論常化歸到含參的因式符號的討論，可將該含參的因式看作新函數按參數討論的常規問題一一討論。

3 導函數的單調性及零點判斷

對函數求導后導函數難以化為因式相乘形式但導函數在定義域內可利用多個基本初等函數的單調性進行判斷為單一（增+增=增；減+減=減）且導函數的零點能求解，可利用導函數的零點即為函數符號的分界線來明確導函數值在定義域內的符號范圍。

設函數，若存在使得成立，則的取值范圍是（ ）

A. （4，+∞） B.（2，+∞） C.（-∞，-2） D.（-∞，4）

分析：由函數可得，若對一次函數再次求導則其二次導函數仍然為超越，故對的符號判斷轉向對其單調性及零點的考察上。

解：由函數

可得

又且

而與在上都為增函數，

故上都為增函數，

在上為減函數，在上為增函數

即

，即得

評注：導函數為超越函數的符號判斷，可先預判導函數是否單調函數、導函數是否有零點，若導函數為單調函數且有零點，則零點即為導函數值符號的分界點。

4 二次求導法

函數求導后導函數為超越函數，若導函數的零點難于判斷且不能判斷為單一單調函數時，可對一次導函數進行二次求導來考察一次導函數的零點、單調性等進而得到導函數值符號的分界點。

設函數，求的單調性。

分析：利用發現解導數不能直接判斷單一但，故可以考慮進行二次求導。

解：由得

令，則

恒成立

在上為單調函數，又

時， 即 時，即

即在上為函數，在上為增函數

評注：二次求導作用：①對超越函數進行求導可化為非超越函數；②二次求導后考察二次導函數的符號可利用前面方法判斷出一次導函數的單調性、極值、最值。總之，二次求導目的為一次導函數的零點存在情況即尋找一次導函數值符號的分界。

設函數滿足，則當時， （ ）

A.有極大值，無極小值 B.有極小值，無極大值

C.既有極大又有極小 D.既無極大也無極小

分析：此問題中的函數的解析式并不明確，故的單調性可考察的表達式。

由，故的符號主要由的符號決定。

而的性質再用導數來探究。

解：由可得，

令，

又

由，即，即0<。

在（0，2）上單調遞減，在（2+∞） 上單調遞增，

≥0在上恒成立，即上恒成立

即在上是單調遞增函數

在上無極值。

評注：二次求導可以只針對一次導函數中的部分，但必須是決定一次導函數符號的關鍵部分。

5 圖像法

導函數為超越函數且對其進行二次求導后仍為超越函數，可考慮將導函數符號判斷轉化為圖像法進行求解，即將不等式可化歸為，將超越函數不等式化歸為兩個基本函數圖像之間的位置關系，即在上方的圖像對應的的集合。

已知為常數，函數有兩個值點，則（ ）

A. B.

C. D.

分析：由比較函數值的大小即考察函數的單調性而由得， ，即與的圖像中在的圖像上方部分； ，即與的圖像中在的圖像下方部分。

解：由得

又由函數有兩個極值點

即即有兩個不同交點

，即與的圖像中在的圖像上方部分

即在的圖像下方部分，如圖1 （下轉第39頁）（上接第30頁）

可知，即即，即或，又與相切時，設切點（）

且在上增函數

評注：超越不等式化歸為基本函數之間圖像位置關系常要利用圖像平移、翻折等畫圖方法。

從以上判斷導函數符號的方法可以思索，判斷導函數值的符號，首先考察導函數的表達式，因式相乘或分式的導函數符號是近年高考的熱點，故在導函數表達式化簡中盡量化為因式相乘或分式形式。導函數為超越函數是近年來對導數考察的常見題型，從以上例子可以看出超越函數的符號判斷方法也較為靈活。