基于學情分析的數學教學
——對“平行四邊形的面積”教學價值的探尋

安徽濉溪縣實驗小學（235000）

在一次課堂教學交流研討活動中，兩位教師同時執教“平行四邊形的面積”這一課，雖然細節處理略有不同，但從大環節的設計來看卻是大同小異。

【教學過程】

一、情境導入

由比較長方形和平行四邊形的花壇的面積大小入手，引出如何求平行四邊形的面積。

二、探究新知

1．用數方格的方法得出長方形和平行四邊形的面積同樣大，通過填表初步推測出“平行四邊形的面積＝底×高”。

2．驗證公式。

（1）學生動手操作；

（2）匯報演示；

（3）觀察比較:剪拼后的長方形和原來的平行四邊形有什么聯系。

（4）驗證公式的正確性。

3．教學字母公式。

4．解答例 1。

三、應用鞏固（略）

【問題思考】

這種是秉承教材設計的意圖進行教學的思路，細細品味之余，發現兩個問題。

一、方格圖該怎么用？

1．“不滿一格按半格計算”，這樣數出來的結果準確嗎？

在之前數方格求面積的過程中，方格圖中的圖形基本上都是整格的，而今天的平行四邊形在方格圖中卻是“不規則的”，占格的大小不一，用原來的方法已經無法數出面積了，怎么辦？教材給出了一種方法——不滿一格按半格計算，以此來降低數方格的難度。可是一個新的問題出現了：為什么“不滿一格按半格計算”？這樣準確嗎？

細細想想，這種數法得到的結果肯定是準確無誤的。第一，可以沿平行四邊形的高將平行四邊形剪開，平移拼接后正好兩個不滿一格的方格能拼成一個滿格；第二，這個平行四邊形的幾個端點都在方格線的交點上，斜邊上的線段必然穿過以兩端點為相對頂點的長方形的幾何中心，這樣一來，這條對角線的兩邊的圖形（不滿一格）必然兩兩構成中心對稱圖形，這樣也就必然能使對稱中心下的兩個不滿一格的方格合成一個完整的方格。

但是，學生覺得這樣算出來的面積真的準確嗎？五年級的學生會想到中心對稱嗎？學生如果不是用割補的方法數，即使數出的結果正確，也肯定會在心里打一個“問號”。

2．學生真的知道要把平行四邊形轉化為長方形嗎？

想得出平行四邊形的面積公式，該怎么辦？把平行四邊形轉化為長方形，再求其面積。這是一種轉化的思想。但學生能有這種想法嗎？如果隨便拿一個平行四邊形，在不做任何提示的情況下，學生會想到轉化成長方形嗎？這恐怕是教師的一廂情愿吧。如果沒有教材中的“暗示”，或是教具中剪刀、三角尺的“提示”，估計學生很難想到把平行四邊形沿高剪下，拼成一個長方形。這讓我想起了特級教師朱國榮說的一句話：可以把平行四邊形變成長方形，更多地表達了編者和教師的想法，而不是多數學生原生態的認識。

那方格圖有什么作用呢？僅僅是想讓學生快速得出平行四邊形的面積，并感知平行四邊形的底和高與長方形的長和寬之間的相等關系嗎？如果是這樣的作用，那這個方格圖的功效也太小了，何必浪費那么多時間數方格，直接由教師帶著學生數豈不是更快？

帶著這個問題，我翻閱了其他各版本教材對于方格圖的處理。

蘇教版教材：先在方格圖中分別出示兩組規則和不規則圖形，讓學生思考每組圖形的面積是否相等（相等）；然后在方格圖中出示一個平行四邊形，讓學生將其轉化成長方形。

北師大版教材：先出示問題“公園準備在一塊平行四邊形的空地上鋪上草坪，這塊空地的面積是多少？”，然后讓學生在方格圖中數一數。

西師大版教材：比較一個長方形（長4cm、寬2cm）和一個平行四邊形（底4cm、高2cm）的面積大小，然后把兩個圖形放到方格圖上比較，并提示“把平行四邊形沿高剪下平移”。

現代小學數學版教材（杭州）：與西師大版教材類似，比較一個長方形（長10cm、寬8cm）麥田和一個平行四邊形（底10cm、高8cm）麥田的面積大小，然后把兩個圖形放到方格圖上比較，但沒有提示怎么轉化。

從各種版本的教材中可以看出，除了人教版教材以外，其他版本的教材都沒有出現“不滿一格按半格計算”的痕跡。這說明什么？是否暗含著“當大小不一的格子無法數時，迫使學生用割補法計算，以此為緊接著的轉化做鋪墊呢？”

基于以上分析，我把這個環節的教學設計做了調整。

出示：

圖1

師：你能數出它們的面積嗎？

（學生數了一會兒，只有幾個學生舉手）

師：為什么這么長時間還沒數出來？

生1：平行四邊形的面積太難數了，不夠一格的有大有小，很難知道大小。

師：是啊，對于這些大小不同的格子該怎么辦？

生2：我有一個好方法。其實不需要數那些不夠一格的格子，可以把這些格子移到另一邊，就湊成滿格了。

（生2邊說邊比畫，教師用課件演示生2的想法）

圖2

（其他學生受此啟發，得出了兩種不同的轉化方法）

圖3

師：你們很聰明！善于把一個復雜的問題轉化成一個簡單的問題，從而解決了面積大小的問題。這里運用了一種重要的數學思想——轉化思想。在數學中，轉化思想很重要！我們把平行四邊形轉化為長方形，什么變了？什么沒變？

生3：形狀變了，面積沒變。

師：這個轉化后的長方形和原來的平行四邊形相比，除了面積相等，還有什么聯系嗎？

生4：這個長方形的長就是平行四邊形的底，寬就是平行四邊形的高。

師：根據這些聯系，你有什么重大發現嗎？

生5：平行四邊形的面積會不會是底乘高？

生6：應該就是底乘高。因為這個長方形的長就是平行四邊形的底，寬正好是平行四邊形的高，它們的面積相等，長方形的面積是長乘寬，那平行四邊形的面積就應該是底乘高。

師：了不起的推測！但這只是我們通過觀察得出的初步結論。是不是所有的平行四邊形都可以轉化成長方形呢？拿出你的平行四邊形（大小不一），你現在還需要什么工具？（教師分發剪刀和三角尺，學生動手操作）

二、要不要展示特殊的平行四邊形？

在研究平行四邊形的面積時，教師習慣讓學生準備一些大小不一的平行四邊形，讓他們試著把平行四邊形轉化成長方形，從而得出平行四邊形的面積公式，這是常用的不完全歸納法。但這些大小不一的平行四邊形，多數是沿著一個頂點作高時，高在平行四邊形的里面（如圖4）的平行四邊形，很少有沿一個頂點作高時，高在底邊的延長線上的平行四邊形（如圖5）。這樣就給歸納平行四邊形的面積計算公式帶來了問題：對于如圖5所示的平行四邊形，還能用轉化的方法嗎？底乘高的面積公式是否對此也適用呢？

圖4

圖5

基于以上分析，我對推導面積公式的環節進行了重新設計。

師（出示圖5）：怎么剪拼這個平行四邊形？

生1：可以把這個平行四邊形放倒，再沿著高剪下來，就可以拼成一個長方形了。

師：這個方法也可以。如果我不想旋轉這個平行四邊形，還有什么辦法呢？（學生陷入沉思，經過嘗試后，得出如圖6所示的方法）

師：看來通過平移，這個特殊的平行四邊形也能剪拼成一個長方形。現在我們比較轉化后的長方形和原來的平行四邊形，它們有什么關系？

是不是所有的平行四邊形沿著高剪下都可以轉化成長方形？上述教學環節通過對特殊的平行四邊形的推導，使學生更加深入地理解“平行四邊形的面積=底×高”，學生從中能歸納出其共性和特性，深化了轉化的解題策略，培養了學生的創新思維。

圖6