幾多探究幾多“思”
——例談小學生數學探究認知障礙及對策

浙江仙居縣實驗小學（317300）

數學作為一門較為枯燥、抽象的學科，學生在數學探究認知的過程中障礙重重。要讓難題迎刃而解，前期的工作是何等的辛苦，如同在生活中烹食板栗，必須先去掉那層厚厚的刺，才會有之后的清香撲鼻與美味。本文將從認知障礙這個維度選取幾個案例，分析原因，尋找對策。

一、圖式缺乏障礙

幾何知識作為數學基礎知識的重要組成部分，一直是基礎教育數學課程的重要內容。研究表明，兒童時代是空間知覺即幾何直觀認知能力的重要發展階段。小學生學習一些幾何初步知識，并在此過程中形成空間觀念，對進一步學習幾何知識及其他學科知識的影響都是極其重要的。但在具體探究過程中，不少學生對于幾何問題往往無從下手，原因就在于學生缺乏相應的圖式。譬如在教學平行四邊形、三角形、梯形等面積計算時，一般的教學過程是在學生經歷面積公式的推導之后，讓學生運用面積公式解決圖形面積計算問題。如此教法是否能夠確保學生已經很好地理解了公式的含義？是否有某些學生的解題活動完全建立在對公式的機械記憶和例題的簡單模仿之上呢？事實證明，這種機械模仿的情況是存在的，學生并沒有很好地理解公式的含義。

【案例1】請計算下面圖形的面積。

學生非常順利地列出三道算式：8×5÷2，10×8÷2，12×5÷2，可是當教師提問“8×5÷2 求的是三角形的面積，那8×5又如何在圖上表示出來呢？”時，卻無人能夠回答。

形成基理：為什么學生會列式卻不明白其中的含義呢？究其原因在于學生的頭腦中缺乏相應的圖式，之前的公式推導也只是部分學生理解了，而對于大多數學生而言，他們覺得自己要做的只是識記公式。這就給后續組合圖形以及空間圖形的研究造成知識斷層，形成探究障礙。

又如“一本書已經看了58頁，還剩下全書的1/4少1頁，這本書共有多少頁？”，面對此題，多數學生都在絞盡腦汁地想如何解決，也有部分學生在“守株待兔”，等候老師的答案，還有些學生瞎蒙，但沒有人通過畫線段圖來分析該題。皮亞杰認為“圖式是人類認識事物的基礎”，既然學生沒這個基礎，也就很難完成探究任務，該題最終還是以教師苦口婆心的講解收場。

對策：（1）數學思想方法不是一教就會的，而是要在反復中不斷體驗、感悟得來的。教師在平常教學中應注重數形結合，讓學生多進行一些割補、平移等練習。如案例1中，三角形面積公式的推導過程必須由點推廣到面，由少數幾個學生的匯報推廣到同桌互說直至人人過關，這樣學生才會理解“三角形面積公式之所以要除以2，是因為底乘高求的是與它等底等高平行四邊形的面積，而三角形的面積只是它的一半”，建立這個認知后，學生關于三角形面積計算公式的應用就會更加得心應手。

（2）學生在探究感到困難時，教師可適當增設輔助支架，如上述的書頁問題，教師可引導學生一起畫線段圖，而不是“全盤托出”。“一回生，二回熟”，相信經過一段時間的訓練后，學生對線段圖一定不會再覺得“高不可攀”了。

二、知識遷移障礙

心理學上把一種學習對另一種學習的影響，稱為學習遷移。眾所周知，即便是最優秀的教師，也不可能教給學生在任何時候、任何情境中都適用的具體操作。遷移可使學生在學習中不斷地掌握知識和發展適應新情境、解決新問題的能力。可見，學習的遷移問題是教學中一個極其重要的問題。根據遷移的性質可把它分為正遷移和負遷移兩類，在學生的探究學習過程中，更多碰到的是知識遷移的障礙，即一種學習對另一種學習的阻礙作用。

【案例2】兩位數筆算乘法。

師：如果老師分給你們每人86根小棒，請你們算一下一共需要多少根小棒？（全班41人）

生：用 86乘 41就可以了。（板書：86×41）

師：把你的豎式寫下來。

形成基理：在這個案例中，我認為學生的直覺判斷來自其朦朧而樸素的類比思想，即所謂的張冠李戴，由加法豎式類比乘法豎式，筆算加法的方法是相同數位上的數相加，滿十進一，由此推出筆算乘法的方法是相同數位上的數相乘，滿幾十就向前一位進幾。

【案例3】用簡便方法計算。

形成基理：這是學完簡便運算后，學生常出現的兩種錯誤，究其原因在于他們對乘法結合律和乘法分配律兩個概念的混淆，這一混淆為他們想當然的遷移起到“意義支撐”的作用。

對策：兩個案例的共通之處在于學生對知識的本質沒有一個根本的了解。案例2中，應強調豎式計算方法的依據應是算理，而不是表象，引導學生正確對待知識的負遷移，在探究時運用正、反方擺事實、講道理的方式建立起正確的問題解決方法。例如，我們可以這樣處理：首先把學習的主動權交給學生，要求每個學生根據自己的想法列出豎式，面對不同的豎式勢必引發學生的爭論，產生尋求統一的動機。“真金不怕火來煉”，有算理“庇護”的學生定能自圓其說，錯誤列法也就不攻自破。相信這樣一個激辯互動的過程定能讓學生更好地理解兩位數筆算乘法的算理。而案例3，我們可以在澄清基本概念的過程中，對關鍵字進行比較剖析（見下表）。

（有的學生的豎式是這樣的：

乘法結合律 乘法分配律初始形式 三個數連乘 兩個數的和與一個數相乘演算過程兩個數分別和一個數相乘，再把兩個積相加運算符號 單一的 不單一的先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積不變

可見，乘法結合律在演算的過程中一乘到底，即符號是單一的，而乘法分配律最終結果是一個和，即符號是不單一的。為了強化學生的認知，我們可多進行一些混仿練習，在學生算完之后再引導學生比較，唯有比較才能讓學生有所悟。

三、閱讀理解障礙

閱讀是人類社會生活的一項重要活動，是人們汲取知識的主要手段和認識世界的重要途徑。數學既是一門科學，同時也是一種文化，更是一種語言。數學閱讀是學生個體根據已有的知識經驗，通過閱讀數學材料建構數學意義和方法的學習活動，是學生主動獲取信息、汲取知識、發展數學思維、學習數學語言的重要途徑。數學教材講究的是準確性、概括性和條理性，知識之間聯系密切，每一課時的知識編排也有一定的順序，從準備題、例題、試一試到練習，一成不變，這對學生而言，沒有多少新鮮感和吸引力。基于此，不少教師忽略了對學生數學閱讀能力的培養，使得學生在執行探究任務的第一步——閱讀審題便遇到了障礙。

【案例4】認為以下這組線段能搭成三角形的畫“√”，認為不能的畫“×”。

生1：我覺得可以畫“√”也可以畫“×”。因為“三角形任意兩邊的和大于第三邊”，如果我選1厘米和2厘米，它們的和與第三條相等，就不行；我選2厘米和3厘米，那么它們的和大于1厘米，可行。

生2：黑板上寫的是“任意”，那么三種情況中只要有一種不符合，就不能畫“√”。

形成基理：學生由于缺失對“任意”一詞的完整理解，故而把“任意”一詞語義中的某一語義泛化了。“三角形任意兩邊的和大于第三邊”中的“任意”應解釋為“任何的，所有的，每”，這和學生生活中接觸到的“你可以任意選你想買的東西”中的“隨便”解釋意義不同。學生的閱讀理解能力有限，不能理解不同語境中同一詞語的意思，形成閱讀理解障礙，困擾了他們的探究。

對策：（1）學生對某些語句不理解時，可嘗試讓他們大聲朗讀，或陳述一些與問題有關的信息，培養自我提問的能力；還可以用各種各樣的圖把問題形象化，如就能幫助學生理解“任意兩邊之和大于第三邊才能圍成三角形”。（2）用同樣意思卻易理解的詞來代替說明，如“三角形每兩條邊的和大于第三邊”，這樣學生就容易理解了。（3）通過完善學生的經驗來達到對相關語義的理解。

如這道題“一臺磨面機0.8小時磨面0.5噸。平均每小時可以磨面多少噸？磨一噸面需要幾小時？”，兩個小數放在一塊，究竟誰除以誰，大部分學生對此容易搞錯，究其原因是除了學生慣用大數除以小數之外，最主要的是學生對于題中的兩個問題在閱讀上不是很理解。此時，教師不妨先讓學生回答一些簡單的問題，如“3個人吃6個蘋果，平均每人吃多少個？6÷3=2（個）”“小明20分鐘走1千米，平均每分鐘走多少千米？1÷20=0.05（千米）”……讓學生觀察發現每份量跟除數之間的關系，進而明確第一問的列式是“0.5÷0.8”，第二問是“0.8÷0.5”。

綜上所述，小學生數學探究性學習障礙形成原因是復雜的，如何尋找對策，掃清障礙，這條探究之路還需且行且“思”。