概念教學的形與神
——“認識三角形”的教學設計

江蘇沭陽縣南湖小學（223600）

【教學內容】蘇教版教材四年級下冊第75、76頁的例 1、例 2。

【課前思考】

一、從學生學的角度審視教材，探尋適宜的教學方式

1.從形式到本質——概念學習的價值本真

關于三角形，學生在幼兒園時就能識別，一年級時又初步認識，這些已有經驗是學生再學習的基礎，同樣的，已有形式化的認知也可能造成學生再學習的認知障礙。為了避免學生認識的表面化和形式化，教師在創設生活情境后，應及時去情境，讓學生畫一畫三角形，想一想三角形有什么特點，如何給三角形下定義，及時從情境中抽象出數學概念。這時，為了突出三角形的本質，要適時關注學生的相異構想：有的學生認為“有三條邊的圖形是三角形”，有的學生認為“有三條邊和三個角的圖形是三角形”，有的學生認為“有三條邊、三個角和三個頂點的圖形是三角形”……教師應引導學生利用反例，在比較與思辨中突出三角形的本質特征，讓學生準確建構三角形的概念。

2.從生活概念到數學概念——概念建構的價值回歸

針對有的學生會將“數學中的高”混同于“生活中的高”的情況，本課在教學“三角形的高”時，引導學生經歷兩個過程：一是由生活化到數學化；一是由感性認知到理性概括。

（1）找原型、促感知，引入概念。關于“三角形的高”這一概念，教材中是從人字梁的高度過渡到三角形的高，這樣的切入，容易讓學生產生生活經驗對建構新概念的負遷移。那么如何既能借助生活中相應的原型，又有利于學生建立數學概念？通過對教材的反復研讀，最終確定以方格紙為媒介，利用方格紙上的三個點畫一個三角形，將其中頂點A下降,讓學生直觀感受三角形的高矮，一方面可以喚醒學生的生活經驗,另一方面，學生借助方格紙能感受到豎直的高恰好就是垂直線段。這樣鏈接生活概念與數學概念，就能讓學生初步感知三角形的高。

②依感知、建表象，形成概念。讓學生在對“從頂點向對邊所作的垂直線段與非垂直線段”的辨析中，進一步感知“三角形的高”與垂直線段的聯系，形成“高”的表象。讓學生嘗試用自己的語言說一說什么是三角形的高，辨析三角形的“高”與生活中所說的“高”是不是一回事，促使學生的認知由生活化向數學化過渡。

③抓內涵、用變式，掌握概念。為實現學生對“三角形的高”的認識數學化，教學中要利用變式，變換三角形的位置，從不同角度組織感性材料，變換“高”的非本質特征，在不同表現形式中突出“高”的本質特征——從頂點到對邊的垂直線段，而對邊就是“高”所對應的“底”，使學生對概念的理解達到深層次的概括化程度，最終實現數學概念由生活化到數學化過渡。

二、從教學實施可行性的角度，分析學生已有基礎

學生已有的知識經驗：在一年級時已直觀認識三角形，在生活中也接觸過很多三角形，對三角形有豐富的生活經驗和一定的感性認識，四年級上學期又認識了垂直線段。這些都為學生由感性認識上升到理性認識奠定了基礎。

學生積累的活動經驗：在之前的學習中，學生經歷了動手操作、合作探究等數學學習活動，形成了一些對圖形的感性認識、數學思維方式，能與同伴進行互動交流，有一定的空間觀念。

學生形成的學習能力：具有初步的觀察、比較、抽象、概括、推理的能力。

學生可能存在的困難：學生在給三角形下定義時，語言表述不嚴謹；認識“高”時，空間觀念較弱的學生，可能會受生活經驗的影響，產生認識錯誤。

三、從教學策略運用角度，梳理教學路徑

“認識三角形”是一節概念課，教學中如何讓學生不僅能掌握知識技能，又能形成數學思維方式、感悟數學思想方法、發展數學的核心素養？如何既能讓學生明確數學概念，又能體現數學教學的育人價值？為此，基于學生發展的立場，以“問題為主線，研學為明線，促進學生數學素養的發展為隱性”的“三線導航”，圍繞“什么樣的圖形叫作三角形？什么是三角形的高和底？”兩個核心問題，以五個環節展開教學：問題導學——情境設疑、明確目標；研究讓學——對話體驗、主動建構；應用活學——勾連生活、感悟價值；回顧促學——自我反思、內化提升；拓展延學——問題延伸、激發探究。整個教學過程，學生先從無疑到有疑，把問題作為學習的起點，在自主探索和實踐活動中經歷、體驗和領悟數學思想方法，積累數學活動經驗，在建構知識的過程中發展能力，提升素養；再從無疑到有疑，將研究學習由課內延伸到課外，激活問題意識，不斷反思、不斷探究、不斷發展。

【教學設計】

教學目標：

1.學生經歷動手操作、觀察比較、合作交流的數學活動，理解三角形的概念及三角形的高和底的含義，會在三角形內畫出指定底邊上的高。

2.結合給三角形和三角形的高下定義的過程，初步體驗下定義的方法，培養抽象和概括能力，滲透建模思想。

3.引導學生體會數學與生活的聯系，培養學生學數學的興趣。

教學過程：

一、問題導學

1.舉例說一說生活中的三角形。

2.質疑：在一年級時，我們已初步認識了三角形，現在四年級了，再來研究三角形，作為學習者，你想研究哪些問題？

教師梳理核心問題,確定問題序列：

（1）如何給三角形下定義？

（2）什么是三角形的高和底？

二、研究讓學

問題一：什么是三角形？

1.學生先畫一畫三角形，再比一比：大小不同的三角形有什么相同的地方？

學生交流后，教師相機抽象概括：三角形有三條邊、三個角、三個頂點（如圖1）。

2.嘗試下定義

教師：“帶著對三角形的認識，你覺得什么樣的圖形叫作三角形？你能給三角形下個定義嗎？”

預設學生的表述：

（1）有三個頂點、三條邊連在一起的圖形叫作三角形；

（2）有三條邊、三個角的圖形叫作三角形；

（3）有三條邊、三個角、三個頂點的圖形叫作三角形。

3.學生舉例（如圖 2、圖 3、圖 4）

圖1

圖2

圖3

圖4

教師適時引導，逐步完善，形成定義：由三條線段首尾相接圍成的圖形叫作三角形。

教師強調：“數學是一門科學，我們在給一個概念下定義的時候，不但要能反映它的基本特征，而且表述要嚴謹。”

4.用字母表示三角形

（1）為了表達方便，通常用字母A、B、C分別表示三角形的三個頂點，黑板上的這個三角形就可以稱為“三角形 ABC”。

（2）學生用字母介紹三角形的三個頂點、三個角、三條邊，并指一指頂點所對的邊。

問題二：三角形除了有三條邊、三個角、三個頂點，還藏著什么？

1.建構“高”的概念

（1）初步感知“高”

在方格紙上任選三個點，畫三角形（圖5），明確:三個點不能在一條直線上。

將三角形ABC的頂點A下降，學生感受到三角形變矮了，初步體驗三角形的“高”（如圖6），嘗試畫出自己所理解的三角形的高（如圖7）。

從頂點A向對邊再畫一條線段，在對比中進一步感知“高”（如圖 8）。

圖5

圖6

圖7

圖8

（2）初步描述“高”

學生嘗試給”高”下定義。教師結合學生交流的成果，相機演示：從頂點A出發，向它的對邊BC所畫的垂直線段，是三角形BC這條邊上的高,對邊BC就是這條高對應的底。（如圖 9）

（3）變式中再認識“高”

教師不斷變換三角形的位置，讓學生判斷：所畫的垂直線段還是BC邊上的“高”嗎？為什么？（如圖10）

圖9

圖10

圖11

辨析：三角形的“高”與生活中的“高”意思一樣嗎？

在學生交流的基礎上，教師抽象概括出三角形的“高”與“底”的定義，指出：為了和三角形的“邊”區別，三角形的“高”用虛線表示（如圖11）。

2.內化“高”的意義

（1）學生在練習紙上畫出三角形指定底邊上的高。

匯報交流：畫高時，只要用三角尺上的一條直角邊先和這條底邊重合，使另一條直角邊過這條底邊所對的頂點，從頂點向對邊所畫的垂直線段就是這條底邊上的高。

（2）延伸：三角形有幾條高？

明確：從三角形任意一個頂點出發都可以向它的對邊畫高；任意一條邊也都可以作為底,過它所對的頂點畫出它對應的高（如圖12）。

圖12

三、應用活學

問題：三角形在我們生活中有廣泛應用，許多物體中都有一部分被設計成了三角形，想一想，它們有什么作用？

學生猜想，并用拼搭條拼一拼三角形、四邊形、五邊形、六邊形，最后進行觀察、比較和驗證。

歸納推理：只要三角形三條邊的長度確定了，它的形狀和大小就不會改變。這就是三角形的一個重要特性：穩定性。

四、評價促學

1.回顧課始提出的問題，都解決了嗎？是怎樣解決的？

2.實施學習評價：自我評價、同伴互評。

五、拓展延學

問題：從學校到少年宮怎樣走最近？除了“兩點間線段最短”，還可能隱藏什么秘密？你能從數學的角度來分析嗎？（如圖13）

圖13