摭談數學教學中學生核心素養的培養

☉浙江省杭州高級中學錢江校區 俞 昕

一、問題提出

高考改革必然伴隨著教學安排、教學模式等的改革，由于選考學考的高考模式，高一就已經開設了十門課，導致了數學課時的減少，但事實上各地區的教學安排并沒有因為課時的銳減而有大的改變，所以就在一定程度上造成了課時的緊張、內容的緊縮、趕進度、重結果輕過程等現象.這些現象造成的結果與新課改的初衷是相悖的，所以如何契合高考改革與課程改革的步伐是值得我們一線教師探索與思考的問題.

隨著時代的變遷，人們的能力觀在逐漸發展，由傳統基礎教育目標而發展起來的能力標準的局限性漸漸得以暴露.傳統的能力概念已經不再適用，無法代表新時期的教育目標，這也就進一步催生了“素養”概念的產生.為了把握基礎教育的“基礎”這一根本，素養中的“關鍵素養”、“核心素養”得以強調和凸顯.數學核心素養一般分為六個方面：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.在數學教學中滲透與培養學生的數學核心素養應該成為現今日常教學銜接高考的重要突破口.筆者將反思高考改革以后的教學現狀，并結合數學核心素養談談自己的一些想法.

二、培養學生數學核心素養策略探討

1.在整合數學中追求數學的統一性

新課改以來各種數學教材的一個共同特點，即是認為應當完全打破關于代數（算術）、幾何等學科分支的傳統區分，從而事實上也就可以被看成對于“整合數學”的直接追求.例如，德國著名數學家克萊因（F.Klein）的著名論點：“幾何學研究的是（各種）變換群之下的不變量”，以及法國布爾巴基學派關于“數學結構”的深入研究等.鄭毓信先生指出：數學中不同學科分支的整合決非易事，更不應將此簡單地等同于相關內容在形式上的簡單組合；恰恰相反，最為重要的即是，能否通過深入的分析和研究揭示出相關對象的共同本質.例如，現行各種教材中所謂的“代數與幾何的整合”，事實上都只是對這兩門學科的相關內容進行了混合編排，但就其具體安排而言，應當說仍然保持了相對的獨立性，從而也就只是形式上的簡單組合.因此，筆者認為真正意義上的“整合數學”應該是從內容教學上實現整合.

例如，在余弦定理的教學中，我們常常提及余弦定理是勾股定理的一般形式，勾股定理是余弦定理的特殊形式.事實上，我們可以從更深層次來挖掘教材內容，從一個側面讓學生感受整合數學.勾股定理：在直角三角形中，斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，即c2=a2+b2；余弦定理：三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方和再減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的2倍，即c2=a2+b2-2abcosC；三度平方和定理：長方體的一條體對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和，即l2=a2+b2+c2；異面直線上兩點間的距離公式：兩條異面直線a、b所成的角為θ，它們的公垂線AA′的長度為d，在直線a、b上分別取點E、F，設A′E=m，AF=n，EF=l，則l2=d2+m2+n2±2mncosθ；三直三面角面積定理：在以DABC為三個直三角面的四面體ABCD中，第四個面的面積等于三個直三角面的面積的平方和，即D2=A2+B2+C2；內積空間直交分解定理：設M是Hilbert空間H中的閉線性子空間，那么H中任意元x能唯一地表示成M中一元y與一個與M直交的元z的和，即x=y+z，其中y是M中距x最近的點.它的二維情形是勾股定理，三維情形是三度平方和定理.圖1所示的圖表可以反映它們之間的關系.

圖1

從銜接高考的角度，高考題中也蘊含著豐富的素材，教師可以借此讓學生感受整合數學中的統一性.

例如，2016年浙江省數學理科高考試題19：如圖2，設橢圓C：+y2=1（a＞1）.

圖2

（1）求直線y=kx+1被橢圓截得到的弦長（用a，k表示）；

（2）若任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍.

第（2）問運算量較大，基本思路是將幾何問題轉化為代數問題來解決.（高考標準答案計算量大，解法在此省略）

事實上，可以將解決此圓錐曲線問題與二次函數零點分布問題聯系統一起來.設M（x，y）是橢圓上一點，連接MA，由于|MA|2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1-a2）y2-2y+a2+1，考慮函數t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1的圖像與直線t=r2的公共點.其中a＞1，r是圓的半徑.當公共點對應的y=±1時，一個公共點對應圓與橢圓的一個公共點；當公共點對應的y∈（-1，1）時，一個公共點對應圓與橢圓的兩個公共點.根據題意，可知函數t=（1-a2）y2-2y+a2+1，-1≤y≤1為單調函數，否則必然存在直線t=r2與之有兩個公共點，且其對應的y均在區間（-1，1）內.考慮到其對稱軸為≤-1，解得1＜a2≤2，進而可得橢圓的離心率e的取值范圍是

顯然，從整合數學的角度來思考與解決這道高考題，不僅計算簡潔，而且充分體現了數學的統一性，讓學生感受數學知識之間的關聯性，有助于培養學生的數學核心素養.

2.引導學生通過數學學會思維

鄭毓信先生認為：相對于“幫助學生學會數學地思維”而言，“通過數學學會思維”應當說是更為合適的一個主張.所謂“通過數學學會思維”，主要地并非是指“想得更快”、又或是如何能夠“與眾不同”，而是指“想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”.這正是不少數學家的切身體會：數學學習對于思維發展的主要作用之一就是十分有利于人們學會“長時間的思考”.由此可見，在教學中就不僅唯一地關注學生“即興思維”能力的提高，而是應當更加重視如何能夠幫助他們逐步養成“長時間思考”的習慣與能力.

2002年諾貝爾經濟學獎得主康納曼有一部名著《快思慢想》，賦予“快思”與“慢想”新的涵義.

快思 慢想如何做？（工具性理解） 為什么可以這樣做？（關系性理解）問題解決（解題沖動） 策略性思考與調控（元認知）特殊（model of） 一般（model for）

文2給出了教學實踐中應重視的幾個環節：（1）“問題引領”；（2）數學地交流與互動，從而幫助學生很好地實現優化：（3）文化熏陶，言傳身教.另外，在教學中又應依據學生的具體情況切實加強工作的針對性，包括很好地實現以下幾個階段的區分與合理過渡，即由“深藏不露”逐步過渡到“畫龍點睛”，由“點到為止”逐步過渡到“系統論述”，由“教師介紹”逐步過渡到“學生的自我總結和自覺應用”.

例如，現今實行的學考等級制度，以語數外為例，若每個學科劃分A、B、C、D四個等級，不計較學科排序，可以有多少種不同等級？教師可以從這個小小的問題出發不斷地引導學生進行數學抽象化、一般化，不斷地進行提升與總結，讓學生由“快思”逐步進入到“慢想”階段.有學生會想到按位置排序計算，第一位選A時，第二位有4種不同的排法：第二位選A，第三位有4種不同的排法；第二位選B，第三位有3種不同的排法；第二位選C，第三位有2種不同的排法；第二位選D，第三位有1種不同的排法.所以當第一位選A時，共有4+3+2+1=10（種）不同的排法.同理，第一位選B時，共有3+2+1=6（種）不同的排法；第一位選C時，共有2+1=3（種）不同的排法；第一位選D時，共有1種不同的排法.所以，總共有10+6+3+1=20（種）不同的排法.也有學生會想到按字母分類計算：選一個字母，共有種不同的排法；選兩個字母，其中一個字母必用兩次，共有2種不同的排法；選三個字母，共有種不同的排法.所以共有2+=20（種）不同的排法.還有學生用排除法：43-5-4=20（種）不同的排法.事實上在學生各種方法的基礎上，教師可以繼續引導學生進行深入探究：設選A的有X1種，選B的有X2種，選C的有X3種，選D的有X4種，有X1+X2+X3+X4=3，即（X1+1）+（X2+1）+（X3+1）+（X4+1）=7.設Xi+1=Yi，i=1，2，3，4，于是就有Y1+Y2+Y3+Y4=7，Yi∈N*，i=1，2，3，4.則問題就轉化為求方程Y1+Y2+Y3+Y4=7的正整數解.然后可以用“隔板法”可以解決：設有7個小球，用三塊板來隔，至少要隔出一個球，有6個縫，共有=20（種）不同的排法.這種方法可以繼續推廣到解決更一般的問題：設有m個學科，每個學科有n個等級，不計較學科排序，共有多少種不同的排法？設選每個等級為X1，X2，…，Xn，則有X1+X2+…+Xn=m，即（X1+1）+（X2+1）+…+（Xn+1）=m+n，設Xi+1=Yi，i=1，2，…，n，則Y1+Y2+…+Yn=m+n，Yi∈N*，i=1，2，…，n.類似地，可以用“隔板法”得共有種不同的排法.以上從數學的角度思考這個實際問題，需要學生進行“長時間的思考”，養成這種對一個問題從數學的角度層層深入的進行“長時間思考”的習慣與能力，而這種能力正是數學核心素養所必需的.

3.幫助學生尋找數學真問題

文3指出：目前我們教育領域最熱的話題是公民的核心素養，而這一核心素養中的數學素養，首當其沖的是“聯系”，即知道書本上的數學與現實生活中的數學之間的聯系，這是現有國際上一切關于數學素養問題討論的基本共識.之所以如此，是因為對數學真正的理解，只能在“聯系”之路上實現，否則只能到達了解或知道的層面；對數學應用的需求，只能在“聯系”之路上產生，否則只能是套題型、湊條件的花拳繡腿.沒有“聯系”，求知的欲望以及樂學、好學的源頭幾乎無從談起，更進一步，沒有了“聯系”，從哪里抽象、拿什么建模、憑什么推理，換言之，我們津津樂道的那些數學素養幾乎全都斷了由頭，差不多可以免談.而“聯系”的兩頭，一頭是數學，另一頭是真實的世界、是現實生活，而在考試教育、題型教育的陰霾中，學生有這樣的機會嗎？在沒有“聯系”的氛圍里，奢談素養，只能是又一場夸夸其談，“素養”可能會像“核心概念”那樣成了又一片過眼云煙.

圖3

圖4

基于以上的觀點，我們應該讓學生多些機會接觸數學中的真問題，而不是總是在充斥著考試味道的題海中掙扎.數學真問題不僅僅是指如同文3中所說的現實問題，也應該包括那些能積極引發學生思考的探索性問題與開放性問題.

例如，在二面角教學中，創設問題情境：這是一座我們即將要攀登的山峰，我們就稱它為“勝利峰”（數學抽象為如圖3所示的數學模型）.山坡上有一條直道CD，它和坡角的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后我們升高多少米？學生紛紛提出質疑：這個問題沒法解，缺少條件！于是引領學生進入新知“二面角平面角”的教學（教學過程省略）.之后再回到此問題情境：將條件補全，比如我們用某種測量儀器或通過某部門了解到“勝利峰”的傾斜度（即二面角的平面角）為60°，那么這個問題如何解決？解決此問題的關鍵是什么？這里還有值得探究的新問題嗎？筆者參與到學生的合作學習中去，這時整個課堂氣氛達到了高潮，學生解題的積極性已經被充分的調動起來.在之后的問題解決過程中，立體幾何中的經典圖形就會顯現出來（如圖4所示）.筆者繼續引導學生將這個登山問題再進行設計和改編，使之成為新的問題.學生即興編出了一些問題：（1）假設“勝利峰”的坡度是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡角的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，要使我們上升100米，則我們要行走多少米？（2）假設“勝利峰”它的坡度是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡角的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，則我們行走的路線與地面所成角是多少？

三、寫在最后

數學核心素養的培養對于我們一線教師來說是一項長期而艱巨的工作，尤其是隨著高考體制的改革，數學取消了文理分科，核心素養問題更顯關鍵.從目前高考來看，通過大量做題就可以考好的時代已經過去了，高考越來越以考查核心問題、學生數學素養為主.所以無論從短期的高考目標，還是長期的數學素養培養目標來看，我們勢必要不斷反思自己的教學.“如果一節課的內容太多，承載的任務太重，學生上課時候很忙碌，思考力就很難得到提升，學習力會越來越弱.若課堂只聚焦幾個核心問題，讓學生深入思考，看上去學得少、學得慢，但思考的方式、方法豐富了，思考力便能提高，思考力就會越來越強.”這是來自語文老師的論述，但對于數學教學來說，顯然也是適用的.筆者近期在一些文獻上看到“留白”這一字眼，如果選擇合適的內容并加以恰當的使用，“留白”不妨可以在數學教學中一用.事實上，筆者理解的“留白”是在數學課堂內外通過給學生創設核心問題（真問題），讓學生保持持續性思考探究問題的熱情，從而深刻體會數學概念方法的本質性、整合數學的統一性.

1.鄭毓信.數學教育視角下的“核心素養”［J］.數學教育學報，2016（3）.

2.鄭毓信.“數學與思維”之深思［J］.數學教育學報，2015（1）.

3.孫曉天.研究現實世界的真問題——記第十屆東盟國家中學生數學學科競賽（ssys）［J］.數學通報，2016（4）.

4.章建躍.讓學生學真正的數序［J］.中小學數學，2012（9）.

5.王淼生.數學百題，精彩千解［M］.福州：福建教育出版社，2009（9）.F