高考中的數學核心素養問題

☉江 蘇 省 儀 征 中 學 鄧迎春

☉南京師范大學第二附屬高級中學 張曉飛

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的，具有數學基本特征的、適應個人終身發展和社會發展需要的人的思維品質與關鍵能力.高中階段數學核心素養包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.這些數學核心素養之間既有獨立性，又相互交融，形成一個有機整體.下面結合2017年高考數學真題，就數學核心素養的考查加以實例剖析.

一、數學抽象

主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規律和結構，用數學語言予以表征.

例1（2017·全國Ⅰ理·5）函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，且為奇函數.若f（1）=-1，則滿足-1≤f（x-2）≤1的x的取值范圍是（ ）.

（A）［-2，2］ （B）［-1，1］

（C）［0，4］ （D）［1，3］

分析：先根據函數f（x）為奇函數的性質得到f（-1）的值，結合不等式-1≤f（x-2）≤1的等價轉化，利用函數的性質加以抽象轉化，從而得以求解.

解析：由于函數f（x）在（-∞，+∞）上為奇函數，那么f（-1）=-f（x）=1，則不等式-1≤f（x-2）≤1可轉化為f（1）≤f（x-2）≤f（-1）.又函數f（x）在（-∞，+∞）上單調遞減，則有1≥x-2≥-1，解得1≤x≤3.故選D.

點評：從具體的題設背景出發，結合函數的基本性質抽象出涉及函數的不等式，體現了數學抽象的核心素養.由一般的不等式轉化為涉及函數的不等式，充分展示數學抽象的魅力，為進一步分析求解奠定基礎.

二、邏輯推理

主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比；一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹.

例2 （2017·全國Ⅱ文·9，理·7）甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績.老師說：你們四人中有2位優秀，2位良好，我現在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績.看后甲對大家說：我還是不知道我的成績.根據以上信息，則（ ）.

（A）乙可以知道四人的成績

（B）丁可以知道四人的成績

（C）乙、丁可以知道對方的成績

（D）乙、丁可以知道自己的成績

分析：抓住“甲看了乙、丙的成績后還是不知道自己的成績”，由此可知“乙、丙（或甲、丁）的成績是一個優秀、一個良好”，進而再結合相關的信息加以準確合情推理與分析.

解析：由于“甲看了乙、丙的成績后還是不知道自己的成績”，由此可知“乙、丙的成績是一個優秀、一個良好”，而乙看了丙的成績，由此知乙可以知道自己的成績；由于“乙、丙的成績是一個優秀、一個良好”，那么剩下的“甲、丁的成績也是一個優秀、一個良好”，而丁看了甲的成績，由此知丁可以知道自己的成績.故選D.

點評：通過合情推理在實際生活中的應用考核邏輯推理的數學核心素養.在實際推理問題中，只要我們抓住問題的要點加以轉化為數學模型、數學語言，利用數學知識加以分析判斷，進行邏輯推理，往往可以達到意想不到的效果.

三、數學建模

主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、建立模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題.

例3 （2017·浙江·15）已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，則|a+b|+|a-b|的最小值是______，最大值是______.

分析：根據條件建立與之相關的單位圓上的向量，通過構圖結合平面向量的線性運算并利用幾何圖形加以直觀分析，建立與之對數的數學模型，進而利用數形結合法確定兩向量共線或垂直時取得相應的最值問題，達到解決問題的目的.

解析：如圖1，設a= O→A，b= O→B，其中點A是在以點O為圓心的單位圓上運動，則知|a+b|+|a-b|=|OD|+|AB|=|AB|+|AC|，當A，B，C三點共線時，|AB|+|AC|最小，此時|AB|+|AC|=|BC|=4；

當AO⊥BC時，|AB|+|AC|最大，此時|AB|+|AC|=2|AB|=2.

綜合可得4≤|a+b|+|a-b|≤2.

圖1

點評：根據平面向量本身具有“形”的特征，結合條件建立相應的幾何圖形，通過構造平面幾何的數學模型，考查數學建模的核心素養.解答時，把問題放在特殊的幾何圖形中加以直觀分析與判斷，利用數形結合法解答更直觀、更簡捷、更可行，便于判斷與操作.

四、直觀想象

主要包括：借助空間認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立數與形的聯系，構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路.

例4 （2017·全國Ⅱ文·6，理·4）如圖2，網格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（ ）.

（A）90π （B）63π

（C）42π （D）36π

分析：根據三視圖先確定該幾何體是一個圓柱由一平面截去一部分后所得，通過組合兩個一樣的圖形組合就成一個圓柱來求解對應的體積問題.

圖2

解析：由三視圖知，該圓柱的底面圓半徑r=3，由一個平面截去后剩下部分的一條最短母線長為4，一條最長母線長為10，如圖3所示，那么兩個一樣的圖形組合就成一個圓柱，則對應的體積為V=×πr2×（4+10）=63π.故選B.

圖3

點評：借助三視圖，憑借實物感官經驗，可直觀聯想該空間幾何體的直觀圖，考查了直觀想象的核心素養.在解決此類問題時，往往先從宏觀角度直觀想象原空間幾何體的大致輪廓，再結合三視圖進行微觀上的分析，畫出大致圖形，真正做到從圖形入手，學會畫圖、識圖、用圖，培養空間想象能力.

五、數學運算

主要包括：理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等.

例5 （2017·全國Ⅲ理·20（1））已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C于A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標原點O在圓M上.

分析：設出直線l的方程，通過聯立方程組，根據根與系數的方程確定y1+y2與y1y2的值，結合平面向量的數量積公式得到O →A⊥O →B，設而不求，從而達到證明坐標原點O在圓M上的目的.

解析：設A（x1，y1），B（x2，y2），l：x=my+2，

則△=4m2+16＞0，y1+y2=2m，y1y2=-4.

又=x1x2+y1y2=（my1+2）（my2+2）+y1y2=（m2+1）y1y2+2m（y1+y2）+4=（m2+1）×（-4）+2m×2m+4=0，

所以，故坐標原點O在圓M上.

點評：涉及此類運算問題，往往借助平面向量的轉化，根據根與系數的關系，結合向量的位置關系、坐標運算、數量積等，整體代入，設而不求，很好達到解決問題的目的.借助圓錐曲線中的代數運算，考查了運算求解能力，體現了數學運算的核心素養.解析幾何中的運算通常以“繁、長、巧”于一體，過程繁雜，經常有巧思妙想所在.在處理過程中，要認識到解題環節產生的運算，交通過分析進行合理調控，深入理解算理，提高運算的靈活性.

六、數據分析

主要包括：收集數據，整理數據，提取信息，構建模型，進行推斷，獲得結論.

例6 （2017·山東文·8）如圖4所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名工人某日的產量數據（單位：件）.若這兩組數據的中位數相等，且平均值也相等，則x和y的值分別為（ ）.

（A）3，5 （B）5，5 （C）3，7 （D）5，7

分析：先由莖葉圖中的甲組數據確定相應的中位數，進而確定參數y的值；結合y的值的確定計算乙組數據的平均值，結合條件計算甲組數據的平均值得到參數x的值.

圖4

解析：由莖葉圖知，甲組數據的中位數為65，結合乙組數據可得y=5；

由此可得乙組數據的平均值為（59+61+65+67+78）=66，則有（56+62+65+70+x+74）=66，解得x=3.

故選A.

點評：通過莖葉圖的識別與應用，統計的數據信息與數據特征的處理來考查數據分析的數學核心素養.解決此類莖葉圖問題，關鍵是從莖葉圖中正確讀出對應的數據信息，要正確地理解樣本數據特征的概念以及正確地用來估計總體，結合相應的公式加以正確數據分析與數據處理.

其實，數學核心素養作為新課程發展到一定階段的產物，在平時的教學中，應有針對性地發展學生各核心素養方面的訓練.同時，高考命題也是緊緊圍繞高中數學的知識點，注重“四基三能”，凸顯了對數學核心素養的導向性，通過不同問題的滲透，考查學生各方面的思維品質與數學能力.J