一題多解，開拓思維

☉廣東省深圳羅湖外語學校高中部 羅 俊

所謂條條大路通羅馬，對于數學問題同樣如此，數學問題的結果具有唯一性，但是解題的方法卻多種多樣，對于同樣一道數學試題，如果能夠從不同的角度去思考，對典型的數學問題進行一題多解，往往能夠開拓學生的思維，提高學生的數學水平.

一、原題呈現

（2017年廣東深圳高考一模試題）已知橢圓

1，直線l=1.點P是直線l上的一點，射線OP與橢圓的交點為R，點Q在射線OP上，且|OQ|·|OP|=|OR|2，當P點在直線l上移動時，試著求Q的軌跡方程.

二、分析問題，一題多解

本題屬于一道綜合類題目，難度系數為中等偏上.而此題的主要考查點有三個，分別為軌跡方程、橢圓的簡單性質以及曲線與方程.本題的解法非常開放，可以從不同的角度去思考和解決問題，通過一題多解，可以充分開拓學生的思維，讓學生在解決難題、復雜的題目時可以快速找出最高效的方法，從而起到事半功倍的效果.

（一）向量法

如圖1所示，向量共線，假設=μ=（x，y），那么可以得到O →R=（λx，λy），O →P=（μx，μy）.因為向量共線可得|，所以μ||2，得出μ=λ2.

圖1

點撥：本題采用向量共線的方法求得點的運動軌跡方程，根據向量共線得出一個等量關系|O →Q|·|O →P|=|O →R|2，從而得出μ=λ2，然后根據R在橢圓上，點P在直線上可得出兩個函數表達式，最終結合兩個條件得出最終答案.通過解題過程可知，使用向量共線的方法，則可以大大減少計算量，從而提高了解題效率.

（二）參數法

點撥：本題通過將參數方程代入橢圓方程中，得出了|OR|2關于sinα與cosα的表達式，同理將參數方程代入直線方程得出|OP|與sinα與cosα的表達式，然后根據|OQ|·|OP|=|OR|2計算表達式，最終將kOP=tanα=代入中，得出軌跡方程.

三、坐標法

根據題意可知，點Q不在原點，假設P，R，Q三點的坐標分別為（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x，y均不為0，當P不在y上時，根據R在橢圓上以及O，Q，R三點共線可得方

由點在P在直線上上以及O，Q，P三點共線可得方程組：

當P在y上時，式（1）~（4）同樣成立.

根據題意|OQ·||OP|=|OR|2,得將（1）~（4）代入上式，經過化簡整理得

因為x與xP同號或者y與yP同號，以及（3）（4）可知，2x+3y＞0，因此軌跡方程為

點撥：本解題方法為坐標法，首先假設P，R，Q三點的坐標分別為（xP，yP），（xR，yR），（x，y），然后利用三點共線來求得他們之間的坐標關系，再根據已知條件|OQ|·|OP|=|OR|2，將三點坐標代入，最終求得的x，y的表達式即為軌跡方程.

三、總結提高

一道好題，能夠引導學生從多角度去思考問題，深層次地分析問題，可以活躍學生的思路，開拓學生的思維.所以在平時的高考復習中，學生應當對這些一題多解的問題加以重視，從問題中去學習，去思考.提煉精華，去其糟粕.

對于什么樣的題目需要一題多解呢？筆者認為高中數學中的大多數題目是需要進行一題多解的，尤其是各省的高考真題和每年的高考模擬題，這些題目往往都凝聚了命題人數學思想的精華，這些題目都是經過一線教師深思熟慮的，考查的往往都是學生的薄弱點，所以對這些高質量的題目進行一題多解是非常有必要的，通過對高質量的題目進行一題多解，從多角度對問題進行思考，往往能夠發現知識的薄弱點，從而加以補強.

一題多解的最終目的到底是什么？筆者認為關鍵在于建立知識體系，通過一題多解，將各個方面的知識進行整合，建立一個屬于自己的知識體系，在解題時才能夠做到有的放矢，從容不迫.在遇到題目需要解答時，只要從自己的大腦中進行思考，找到所屬的知識分支，大多數的問題都會迎刃而解.

1.汪波.從高考題看圓錐曲線的共性特征［J］.數學教學通訊，2016（5）.

2.牛寒杰，何志奇.讓學生的思維在課堂中自然流淌——以高三一輪復習“圓錐曲線中的轉化問題”教學為例［J］.中學數學（上），2016（2）.

3.劉志有.高中數學圓錐曲線教學的有效性策略分析.［J］數學教學通訊，2015（3）.J