巧變圖形，妙拓向量
——2017年高考全國卷Ⅱ理第12題

☉江蘇省宜興市第二高級中學(xué) 朱春強(qiáng)

平面向量的考查一直是每年高考的熱點(diǎn)問題，也是高考中方法多樣、思維各異的場所.2017年高考全國Ⅱ理第12題一改往年高考考查求解平面向量的模或其線性運(yùn)算等，而是以正三角形為載體，考查利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算求解最值問題，讓人眼前一亮.

高考真題 （2017年全國卷Ⅱ理12）已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則P →A·（P→B的最小值是（ ）.

解題思路1：設(shè)出BC的中點(diǎn)D，根據(jù)向量的中點(diǎn)公式加以轉(zhuǎn)化，利用向量的數(shù)量積的最值情況確定點(diǎn)P必須在線段AD上，設(shè)出P →A的長度，結(jié)合向量的數(shù)量積公式并利用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)來確定最值問題.

解法1：向量中點(diǎn)公式法.

解題思路2：設(shè)出BC的中點(diǎn)D，根據(jù)向量的中點(diǎn)公式加以轉(zhuǎn)化，利用向量的數(shù)量積的最值情況確定點(diǎn)P必須在線段AD上，結(jié)合向量的數(shù)量積公式及基本不等式來確定最值問題.

解法2：基本不等式法.

圖1

解題思路3：通過巧妙構(gòu)造直角坐標(biāo)系，確定正三角形三頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，通過平面向量的坐標(biāo)表示與數(shù)量積公式得到有關(guān)參數(shù)x、y的二次關(guān)系式，通過配方，結(jié)合函數(shù)法來確定最值.

解法3：坐標(biāo)法.

圖2

總結(jié)拓展：在解決平面向量的數(shù)量積問題中，可以借助向量的線性運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算等來處理，同時結(jié)合函數(shù)問題、基本不等式問題等來應(yīng)用，這也是高考中解決此類問題比較常見的一類技巧方法.當(dāng)然也可以采用直接作圖法，結(jié)合平面向量的“形”的特征來處理.其實(shí)，通過改變題中背景平面圖形，可以得到進(jìn)一步的拓展與提升.

變式1：變求解的向量數(shù)量積關(guān)系式1.

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則（P）·（）的最小值是（ ）.

變式2：變求解的向量數(shù)量積關(guān)系式2.

已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·（2）的最小值是（ ）.

解析：以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B（-1，0），C（1，0），A（0，），設(shè)P（x，y），則有=（-x，-y），=（-1-x，-y）=

變式3：變正三角形為直角三角形.

已知△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·（P+）的最小值是（ ）.

變式4：變正三角形為正方形.

已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形，P為平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，則P →A·（P→B+P

→C+P →D）的最小值是（ ）.

以上只是從平面向量的數(shù)量積所對應(yīng)的關(guān)系式、直角三角形與正方形等幾個特殊角度來加以拓展變形，其實(shí)，還可以從其他知識點(diǎn)、平面圖形、立體圖形入手來進(jìn)一步拓展與應(yīng)用.美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過：問題是數(shù)學(xué)的心臟.對學(xué)生來說，如何確定解題思維，把問題歸結(jié)為同一個熟悉的“問題”來處理是關(guān)鍵，也就是解題方法與技巧，以不變應(yīng)萬變，熟練解決問題.F