萬變離不開定義，巧用定義妙解題
——例談三角函數的定義的應用

☉江蘇省江都中學 王 斌

隨著角的概念的推廣，三角函數的定義在高中數學也得到了推廣.但在實際解答問題中，由于相應的三角函數知識的學習，往往對三角函數的定義得不到充分的重視與應用.其實，利用三角函數的定義，可以簡單快捷用來處理很多的三角函數問題.利用三角函數的定義解題的實質是：將三角函數化為關于相應的x，y，r兩兩之比，對其實施代數運算以達目的，主要適用于求解同角三角函數的相關問題.

一、角所在象限的確定問題

例1 若角α滿足2sinαcosα＜0，cosα-sinα＜0，則角α的終邊落在（ ）.

（A）第一象限 （B）第二象限

（C）第三象限 （D）第四象限

分析：直接根據相應的三角關系式的取值情況，利用三角函數基本關系式來判斷角α所在的象限存在一定難度，而通過三角函數的定義來轉化，可以快捷判斷.

解析：設P（x，y）是角α終邊上的任意一點，

根據三角函數的定義有sinα=，cosα=，x2+y2=r2.

由于2sinαcosα＜0，cosα-sinα＜0，

點評：利用三角函數的定義，把所涉及的三角式轉化為關于x，y的代數式，判斷出x，y的符號，進而確定角所在的象限.

二、三角函數式的符號問題

例2 設角α為終邊不在坐標軸上的任意角，且P=，則下面判斷正確的是（ ）.

（A）P＜0 （B）P≤0 （C）P＞0 （D）P≥0

分析：直接根據相應的三角函數式來確定對應的符號問題難以下手，可以結合三角函數的定義加以轉化，結合因式的取值情況加以簡單判斷，方法巧妙，解答快捷.

解析：設M（x，y）（xy≠0）是角α終邊上任一點，有|OM|=r，則|x|＜r，|y|＜r，

根據三角函數的定義，可得

點評：利用三角函數的定義，把所涉及的三角函數式轉化為關于x，y，r的代數式，結合相關定義中對應x，y，r的取值情況，進而確定相關函數式的符號問題.

三、三角函數值的求解問題

例3 （2015·四川文·13） 已知sinα＋2cosα＝0，則2sinαcosα-cos2α的值是______.

分析：利用三角函數的定義，通過條件sinα＋2cosα＝0的轉化得到5x2=r2，結合定義代入化簡轉化，即可加以求解相應的三角函數值問題.

點評：通過三角函數的定義的導引，把相應的三角函數值問題轉化為相應的定義問題，利用關于x，y，r的代數運算來求解相應的三角函數值.

四、三角函數值的大小比較問題

例4 已知角α是第四象限的角，試比較sinα與tanα的大小關系.

分析：第四象限的角α的正弦值與正切值均為負數，直接比較沒有什么更好的方法，而通過引入三角函數的定義，結合相關參數之間的大小關系、不等式的性質來處理，方法巧妙，處理得當.

解析：設M（x，y）是角α的終邊上的任意一點，|OM|＝r，則有0＜x＜r，y＜0，根據三角函數的定義有sinα＝＜0，tanα=＜0，而由于0＜x＜r，可得，即|sinα|＜|tanα|，所以sinα＞tanα.

點評：利用三角函數的定義來比較三角函數值的大小問題時，首先要將各個三角函數用相關的參數x、y、r來表示，再利用參數x與y的大小關系來確定最后的結果.

五、三角函數式的化簡問題

分析：常見的三角函數式的化簡是利用同角三角函數基本關系式、三角恒等變換公式等來分析與處理，而直接利用三角函數的定義來化簡，解題方向明確，思路清晰，易于操作.

解析：設P（x，y）是角α終邊上異于原點的任意一點，且|OP|=r（r＞0），

根據三角函數的定義有sinα=，cosα=，x2+y2=r2，

點評：對于三角函數式化簡，只要將式中的各個三角函數轉化為關于x、y、r的關系式，進行代數運算即可得答案，思路比較簡單快捷.

六、三角函數中的值域問題

分析：對于此類三角函數式的值域問題，直接求解往往難度比較大，有時還涉及三角恒等變換公式以及其他相關問題，而利用三角函數的定義可以非常巧妙處理.

解析：設P（x，y）為角θ的終邊上異于原點的任一點，且|OP|=r（r＞0），x2+y2＝r2，

點評：巧妙通過三角函數的定義，把復雜的三角函數問題轉化為相關問題的二次函數問題，結合分式的情況與二次函數的圖像與性質加以求解相關的值域，方法直觀快捷，處理合理可行.

七、三角函數中的最值問題

結論正確的是（ ）.

（A）有最大值而無最小值

（B）有最小值而無最大值

（C）有最大值且有最小值

（D）既無最大值又無最小值

分析：直接判斷對應三角函數的最值問題，無從下手，通過三角函數的定義的過渡，結合不等式的性質加以判斷.

解析：設P（m，n）（n＞0）是角x終邊上異于原點的任一點，且|OP|=（rr＞0），

則由任意角三角函數的定義知，sinx=，

例7設a＞0，對于函數

因為r≥n＞0，所以f（x）≥1＋a，即f（x）有最小值而無最大值，故選B.

點評：巧妙通過三角函數的定義，把復雜的三角函數問題轉化為簡單的函數問題，結合參數的取值情況加以判斷相應的最值問題，關鍵是巧妙的轉化與應用.

八、其他方面的應用問題

例8 設a，b，c是直角三角形△ABC的三邊，c是斜邊，整數n≥3，求證：an+bn＜cn.

分析：直接證明平面幾何中的不等式問題，沒有一定的突破口，方法也各異.而采用三角函數的定義來處理，利用直角三角形中的邊與角的關系，通過不等式的性質并結合三角函數中的平方關系來轉化，達到巧妙證明的目的.

證明：根據三角函數的定義可得sinA=，cosA=，

而角A為銳角，可得0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，

故當整數n≥3時，由于sinnA＜sin2A，cosnA＜cos2A，可得sinnA+cosnA＜sin2A+cos2A=1，

點評：巧妙借助三角函數的定義，使得平面幾何中的證明問題顯得更為直觀有效，證明起來操作性，簡單易懂.

通過以上實例剖析，利用三角函數的定義來解決相應的三角函數問題時，可以總結其解答的一般操作步驟：第一步，設點P（x，y）是角α的終邊上異于原點的任意一點；第二步，將題中所涉及的的各種三角函數化為關于x，y，r兩兩之比的關系式；第三步，結合所求解的問題利用相關的知識，作關于x，y，r的代數運算，通過化簡等運算，并結合具體的問題加以分析與解答.J