知識交匯巧設(shè)置，問題解決顯身手
——以解三角形為例

☉江蘇省張家港市樂余高級中學(xué) 王慶龍

對于數(shù)學(xué)知識點(diǎn)之間的交匯，在高考大綱中的考查要求中明確指出：從學(xué)科的整體高度和思維價(jià)值的高度考慮問題，在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)試題，使對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查達(dá)到必要的深度.特別地，知識網(wǎng)絡(luò)交匯處的問題，是創(chuàng)新問題的更深層次，其地位在高考中將越來越重要.而解三角形與函數(shù)方程、三角函數(shù)、平面向量、平面幾何、數(shù)列等知識的交匯是解三角形問題中的重點(diǎn)所在，也是高考中的熱點(diǎn)與亮點(diǎn).

一、解三角形與函數(shù)方程的交匯

以函數(shù)方程為問題背景，通過解三角形知識的滲透，達(dá)到兩者知識的有機(jī)融合與交匯，往往可以涉及正、余弦定理，三角形的面積公式，以及三角形的相關(guān)知識，達(dá)到知識板塊間的有機(jī)無縫整合.

例1 在△ABC中，已知AB=4，AC=7，AD是BC邊上的中線，且AD=，試求邊BC的長為______.

解析：如圖1，設(shè)BD=x，則在△ABD中，由余弦定理，

在△ABC中，由余弦定理，得

圖1

點(diǎn)評：本題以余弦定理為切入點(diǎn)，通過方程為載體，結(jié)合方程的求解來轉(zhuǎn)化，得以求解相應(yīng)的三角形問題.此類問題通過正弦定理或余弦定理加以交匯與綜合，進(jìn)而來求解相應(yīng)的三角形問題.

二、解三角形與三角函數(shù)的交匯

通過三角形為問題主線，設(shè)置解三角形的相關(guān)問題與三角函數(shù)之間的交匯，綜合正、余弦定理，三角形的面積公式，三角函數(shù)中的相關(guān)公式以及三角形知識等，達(dá)到解三角形與三角函數(shù)知識的有機(jī)交匯與綜合.

（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

由①②解得a=1，b=2.

點(diǎn)評：本題綜合了三角恒等變換、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、解三角形等相關(guān)知識，把它們有機(jī)地交匯在一起.題目比較常規(guī)，是高考中最常見的三角函數(shù)與解三角形問題的交匯題型.此類問題要注意的是題目中解決有關(guān)三角函數(shù)時(shí)，要考慮三角形中的確定內(nèi)角的取值范圍的限制，否則容易出錯.

三、解三角形與平面向量的交匯

通過平面向量這一工具，以三角形作為問題背景來設(shè)置，充分交匯平面向量、解三角形以及三角函數(shù)中的相關(guān)知識，有時(shí)也結(jié)合三角形的相關(guān)性質(zhì)等，充分考查綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的能力.

點(diǎn)評：本題綜合了解三角形、三角恒等變換、平面向量、基本不等式等相關(guān)知識，把它們有機(jī)地結(jié)合在一起.題目新穎而又精巧，既符合在知識“交匯點(diǎn)”處構(gòu)題，又能加強(qiáng)對雙基的考查，該類問題的解題思路通常是將有關(guān)的平面向量關(guān)系式進(jìn)行變形，使之符合題目的要求后運(yùn)用解三角形中的正、余弦定理及相應(yīng)的三角公式來分析與求解.

四、解三角形與平面幾何的交匯

平面幾何知識具有“形”的直觀與特殊，與解三角形具有相同的本質(zhì)所在，兩者交匯具有統(tǒng)一性.利用平面幾何圖形的性質(zhì)與圖形的分割等處理，結(jié)合解三角形來轉(zhuǎn)化與處理，交匯自然，應(yīng)用廣泛.

例4 如圖2所示，平面四邊形ABCD的對角線交點(diǎn)位于四邊形的內(nèi)部，AB=1，BC=，AC=CD，AC⊥CD，當(dāng)∠ABC變化時(shí)，對角線BD的最大值為______.

圖2

則當(dāng)α=135°時(shí)，BD2有最大值9，BD取得最大值為3.

點(diǎn)評：本題以平面四邊形為載體，結(jié)合圖形的分割，通過三角形的轉(zhuǎn)化，利用不同三角形間的邊角關(guān)系，利用正弦定理和余弦定理來轉(zhuǎn)化與處理，并結(jié)合三角恒等變換來確定相應(yīng)的最值問題.知識交匯隱蔽，也是相應(yīng)知識交匯與綜合的一大特色.

五、解三角形與數(shù)列的交匯

利用正、余弦定理解決三角形問題時(shí)，有時(shí)可以結(jié)合等差數(shù)列或等比數(shù)列的性質(zhì)來建立三角形中的邊與角關(guān)系，通過三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的相關(guān)公式等來綜合交匯與應(yīng)用.

例5 在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若角A，C，B的大小成等差數(shù)列，且acosB+bcosA=2，則△ABC面積的最大值為______.

解析：在△ABC中，由acosB+bcosA=2，可得c=2.

又角A，C，B的大小成等差數(shù)列，可得2C=A+B.

又A+B+C=π，可得C=，

所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC可得a2+b2-ab=4.由a2+b2≥2ab可得0＜ab≤4，

則△ABC面積S=absinC≤，

即△ABC面積的最大值為.

點(diǎn)評：本題綜合數(shù)列與解三角形問題，把三角形的邊與角關(guān)系通過等差數(shù)列或等比數(shù)列來對應(yīng)，進(jìn)而建立相應(yīng)的關(guān)系式，結(jié)合解三角形中的相關(guān)定理來分析與處理，交匯點(diǎn)合理有效，能力得以考查，在一定程度上可以增強(qiáng)學(xué)生解題的綜合性和解題的趣味性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)的分析能力和解題能力以及數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力.

知識點(diǎn)間的交匯往往從數(shù)與形兩個方面入手，通過掌握知識之間的聯(lián)系與交匯問題，在一定程度上可以增強(qiáng)學(xué)生解題的綜合性和解題的趣味性，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣、數(shù)學(xué)的分析能力和解題能力以及數(shù)學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力.在日常學(xué)習(xí)中，應(yīng)重視課本，重視基礎(chǔ)知識，強(qiáng)調(diào)基本技能的訓(xùn)練，通過復(fù)習(xí)整理達(dá)到對所學(xué)的知識有一個系統(tǒng)的認(rèn)識，為知識交匯的解決奠定基礎(chǔ).J