空間向量出手，“角”的問題無憂

☉江蘇省石莊高級中學 沈世金

自新教材實施以來，通過分析近幾年高考考查的立體幾何試題，可以發現在考查常規解題方法的同時，更多地關注向量法（基向量法、坐標法）在解題中的應用.坐標法（法向量的應用），以其問題（數量關系：空間角、空間距離）處理的簡單化，而成為高考熱點問題.可以預測到，在今后的高考中，還會繼續體現法向量的應用價值.其中關于角的計算，均可歸結為求兩個向量的夾角問題.例談如下.

視角一：線面角問題

應用策略：轉化為求直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余角或其補角的余角.

如圖1所示，點P在平面α外，M為α內一點，斜線MP和平面α所成的角為θ，n為α的一個法向量，注意到斜線和 平 面 所 成 角 的 范 圍 是 （0°，90°）， 則 有 θ=，結合向量的夾角公式便可求θ.

圖1

圖2

例1 如圖2，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，O是AC的中點，OP⊥底面ABC，求直線PA與平面PBC所成角的大小.

分析：由圖形中的垂直關系建立空間直角坐標系，通過求直線PA與平面PBC的法向量所成的角，從而獲得直線PA與平面PBC所成角的大小.

解：因為AB=BC，O是AC的中點，所以OB⊥AC.又因為OP⊥底面ABC，所以OB⊥OP，OC⊥OP.

于是，可以建立如圖2所示的空間直角坐標系O-xyz，令PA=2，則AB=BC=1.

因為AB⊥BC，所以AC=，OA=OB=OC=.

所以直線PA與平面PBC所成角的大小為：

點評：求空間線面角的常規方法是構造直角三角形求解，其關鍵又是面的垂線.對于圖形中含有垂直關系的求線面角問題，可以通過建立空間直角坐標系，利用線上的向量與面的法向量的夾角來達到解決問題的目的，不失為一種簡捷解法.一般地，若設m是空間直線l上的一條向量，n是平面α的一條法向量，則直線l與平面α所成的角θ的計算公式是：

視角二：線線角問題

應用策略：兩異面直線AB、CD所成的角為向量、所成的角為θ1，由于θ與θ1不一定相等，它們之間關系是θ=θ1或θ=π-θ1，故

例2 如圖3所示，已知空間四邊形ABCD中，AB2+CD2=AD2+BC2，求異面直線AC與BD所成的角.

分析：從公式a2=|a|2出發，將線段長度平方之間的關系轉化為向量關系.

解：因為AB2+CD2=AD2+BC2，

所以AB2-AD2=BC2-CD2.

圖3

所以AC⊥BD.

所以異面直線AC與BD所成的角是90°.

點評：求空間線線角的常規方法是將相關的線進行適當的平移轉化到同一個三角形中求解，到底如何平移空間的線往往不簡單，而向量法思路自然順暢，易于把握.一般地，若設n，m分別是空間直線l1，l2上兩條向量，則空間直線l1，l2所成的角θ的計算公式是：θ=

視角三：面面角問題

應用策略：設二面角的平面角為θ，兩半平面α、β的法向量分別m、n，且m、n的夾角為γ，則θ=γ，或θ=π-γ.當二面角為銳二面角時，若γ為銳角，則θ=γ，若γ為鈍角，則θ=π-γ；當二面角為鈍二面角時，則相反.

例3 如圖4，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=DA=AB=1，P、Q分別是CC1、C1D1的中點，求二面角B-PQ-D的大小.

分析：由圖形中的垂直關系建立空間直角坐標系，通過求兩個平面的法向量的夾角，從而獲得兩個平面所成的二面角的大小.

解：建立如圖4所示的坐標系D-xyz，則B（1，1，0），P（ 0， 2 ，），Q（0，1，1），A（1，0，0），=（1，0，0），（-1 ， 1，）=（-1，0，1）.

因為DA⊥面PQD，所以是面PDQ的法向量.設n=（x，y，z）為面BPQ的法向量，則n⊥，n⊥

點評：求二面角大小（空間面面角等于二面角或其補角）的常規方法是構造三角形求解，其關鍵又是作出二面角的平面角，往往很不簡單.利用建立空間直角坐標系，通過求兩個平面法向量的夾角來達到解決問題的目的，是一種有效方法.一般地，若設n，m分別是平面α，β的法向量，則平面α與平面β所成的二面角θ的計算公式（當二面角為銳角、直角時）或θ=π-（當二面角為鈍角時），其中銳角、鈍角根據圖形確定.

在立體幾何學習中，我們要多培養學生的空間想象能力，而向量的運用為我們拓寬了解決立體幾何問題的角度.不過在向量運用過程中，首先要建系，建系要建得合理，最好依托題目的圖形，坐標才會容易求得.彌補空間想像能力的不足，發揮代數運算的長處，深入開發它的解題功能，平面法向量將在數學解題中起到越來越大的作用.

1.劉進.空間角的解題方法研究［J］.中學數學教學參考（下旬），2017（24）.

2.范廣法.用四點向量定理破解空間角難題［J］.中小學數學（高中版），2017（03）.

3.余志.“棱法向量”求二面角［J］.中學生數學，2017（03）.F