橫看成嶺側成峰 繁簡表里話不同
——導數問題中確定參數分類標準的兩種原則

☉山東省臨沂第十八中學 王曉明 毛錦瑞

關于含參函數的單調性、極值、最值的有關問題，一直是近幾年的高考和各地的高考模擬試題的熱點和難點，如何高效快速地確定出問題中的參數分類標準，一直是令高三學生和教師頭疼的問題.本人在對近幾年的高考題及模擬題進行深入研究的基礎上，給出問題中參數的兩種分類標準，并通過對比兩種求解方法的效率差異，為考生提供更優化、更高效的解題思路.

一、常規原則

以討論導數方程f′（x）=0的實數根的有無，以及實數根相對于定義域的位置為依據.這是老師和同學們采用最多的處理方法.其缺點是有時解題過程過于煩瑣，解題效率較低.

現通過下面的例題加以佐證：

例題 討論函數f（x）=x--alnx（a∈R）在區間［2，4］上的單調性.

分析：以導數方程f（′x）=0是否有實數根，以及實數根是否在定義域內為依據對參數進行分類討論.

解法一：因為記g（x）=x2-ax+2.

（1）當Δ≤0，即a2-8≤0時，可得-2≤a≤2，此時g（x）≥0，即不等式f（′x）≥0在區間［2，4］上恒成立，所以（fx）在［2，4］上單調遞增.

（2）當Δ＞0，即a2-8＞0時，可得a＜-2或a＞2，此時f（′x）=0有實數根.

令f′（x）=0，即g（x）=x2-ax+2=0，設其兩個不等實數根分別為x1，x2，且x1＜x2，故有

（x1-4）+（x2-4）=x1+x2-8=a-8. ④

當a＜-2時，由①式＞0且②式＜0可知x1-2＜0，x2-2＜0，即x1＜x2＜2＜4.

故當x∈［2，4］時，g（x）＞0恒成立，即不等式f（′x）＞0在［2，4］上恒成立，所以（fx）在［2，4］上單調遞增.

當a＞2時：

（i）當2＜a≤3時，①式≥0且②式＜0可知x1＜x2≤2＜4.所以當x∈［2，4］時，g（x）≥0恒成立，即不等式f（′x）≥0在［2，4］上恒成立，所以（fx）在［2，4］上單調遞增.

（ii）當3＜a＜時，由①式＜0，③式＞0，④式＜0，可知x1＜2＜x2＜4.所以當x∈［2，x2）時，g（x）＜0，f′（x）＜0，即（fx）單調遞減；當x∈（x2，4］時，g（x）＞0，f′（x）＞0，即（fx）單調遞增.

（iii）當a≥時，由①式＜0，③式≤0，可知x＜2＜4≤1x2.所以當x∈［2，4］時，g（x）≤0恒成立，即不等式f（′x）≤0在［2，4］上恒成立，即（fx）在［2，4］上單調遞減.

綜上所述：

當a≤3時，函數（fx）在區間［2，4］上單調遞增；

二、優化原則

通過高中教材對導數的學習，我們知道導數方程f′（x0）=0的實根x0并不一定是函數f（x）的極值點，只有其為變號實根才是極值點，非變號實根不是極值點.我們可以得出以下原理：

①函數f（x）有極值點（即函數在給定區間上單調性不唯一）；?函數f（x）有極值點；?導數方程f′（x）=0，分離參數后等價方程m=g（x）有變號實根，即若函數g（x）的值域為［a，b］，則m∈（a，b），或a＜m＜b.

②函數f（x）有單調性（即函數在給定區間上具有同一單調性）；?函數f（x）無極值點；?導數方程f′（x）=0，分離參數后等價方程m=g（x）無變號實根，即若函數g（x）的值域為［a，b］，則m≤a或m≥b.

下面利用這個原理重新求解例1.

分析：利用導數方程f′（x0）=0，分離參數得到方程a=，求出函數g（x）的值域，從而確定出參數a的分類討論標準.

由題意可得f′（x）=0，即x2-ax+2=0，可得ax=x2+2，即，下面求取函數g（x）的值域.因為g′（x）＞0在區間［2，4］上恒成立，故函數g（x）在區間［2，4］上單調遞增.

故g（x）=g（2）=3，g（x）=g（4）=，所以函數g（x）minmax的值域為 [3，].下面對（fx）在［2，4］上的單調性進行討論即可.

③當3＜a＜時，f′（x）=，令f′（x）=0，即x2-ax+2=0，因為Δ=a2-4＞0，可得上單調遞增，故可得2＜x2＜4.所以當x∈［2，x2）時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減；當x∈（x2，4］時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增.

綜上所述：同解法一.

對比以上兩種解法，運用常規原則的解法一雖能解決問題，但求解的過程較為復雜，分類層次零散繁雜.求解的重點同時也是難點的是判斷f′（x）的變號實根是否存在，以及這些實根與所給定義域的位置關系，需要理順的關系錯綜復雜（常常需要二次整合），可謂入題容易出題難！運用優化原則的解法二，只需在解題之前通過對f′（x）=0進行分離參數后獲得分離函數的值域即可獲得參數確定的分類標準，相較于常規原則，它在參數分類整合方面具有“化腐朽為神奇”的優勢，使得此類難點題目的求解思路更易尋求，求解過程更為高效.

通過利用上面的兩種原則同解一道題目，讓考生了解此類問題求解的不同視角所帶來的不同效果，也啟發學生在學習過程中應學會融匯貫通，一題多解，逐步增強自己的解題能力.正所謂：橫看成嶺側成峰，繁簡表里大不同.

現提供以下試題以供讀者體驗求解使用：

例題1討論函數（fx）=alnx+-2x（a≥0）的單調性.

答案：當a=0時，函數（fx）在（0，+∞）上單調遞減；

當a≥1時，函數（fx）在（0，+∞）上單調遞增；

例題2設函數（fx）=alnx+，其中a為常數.

（1）若a=0，求曲線y=（fx）在點（1，（f1））處的切線方程；

（2）討論函數f（x）的單調性.

答案：（1）略.