半畝方塘一鑒開 天光云影共徘徊
——例析“隱形圓”問題的解題策略

☉江 蘇 省 常 熟 中 學 章文昊

☉江蘇省常熟市滸浦高級中學 殷偉康

圓的方程是江蘇省高考考試說明中8個C級考點之一，常考常新，新題迭起，近幾年高考模擬試題經常出現“隱形圓”問題.條件中沒有直接給出圓方面的信息，而是隱藏在題目中，要通過分析題意和合理轉化，發現圓（或圓的方程），從而最終可以利用圓的相關知識進行求解，我們稱這類問題為“隱形圓”問題.此類問題由于條件隱晦，若不能準確把握題意、挖掘題中的重要信息，就很難找到解題突破口，究其原因是對圓相關結論的幾何意義理解得不夠透徹，或者對圓相關結論之間的幾何關系理解不夠深入.其實，數與形是在一定條件下可以實現相互轉化的，觀察、分析數量關系結構特征，通過聯想獲得幾何解釋，或者通過代數運算獲得圓的方程，挖掘出隱形圓，可以使問題變得直觀易懂，從而突破解題思維瓶頸；觀察、分析問題中的幾何特征，憑借幾何直覺，挖掘出隱形圓，再將其轉化為程序化操作的代數運算，有助于實現化難為易，形成簡潔的解題思路.本文以近幾年江蘇省大市級統考試題為例，對“隱形圓”問題的常見解題策略進行歸類剖析.

策略一——利用圓的定義（到定點的距離等于定長的點的軌跡）確定隱形圓

例1 如果圓（x-2a）2+（y-a-3）2=4上總存在兩個點到原點的距離為1，則實數a的取值范圍是______.

分析：到原點的距離為1的點的軌跡是以原點為圓心的單位圓，于是可以將原問題轉化為單位圓與已知圓相交的問題.

解：原問題可轉化為：圓（x-2a）2+（y-a-3）2=4和圓x2+y2=1相交，而兩圓圓心之間的距離d=，所以由兩圓相交可得1，解得-＜a＜0.

例2 （2016年南京市、鹽城市第二次高考模擬試題）已知圓O：x2+y2=1，圓M：（x-a）2+（y-a+4）2=1.若圓M上存在點P，過點P作圓O的兩條切線，切點為A，B，使得∠APB=60°，則實數a的取值范圍為______.

分析：根據題意，在Rt△OPA中，由AP=1及∠APO=30°，求得OP=2，利用圓的定義或通過代數運算獲得圓的方程，再利用兩圓有公共點的條件，列出關于a的一元二次不等式進行求解.

解法1：由題意可知，所以點P在以O為圓心，2為半徑的圓上.又點P在圓M上，即圓O與圓M有公共點，因此2-1≤OM≤2+1，即，解，即實數a的取值范圍為解法2：設P（x，y），sin∠OPA=sin30°=y2=4 ①.

又P在圓M上，則（x-a）2+（y-a+4）2=1 ②.

策略二——利用動點P對定點A，B的張角是90°（kPAkPB=-1或=0）確定隱形圓

例3 在平面直角坐標系xOy中，已知圓C：（x-1）2+（y-2）2=1和兩點A（a，2-a），B（-a，a-2），且a＞1，若圓C上存在兩個不同的點P，Q，使得∠APB=∠AQB=90°，則實數a的取值范圍為______.

分析：由圓的性質可知，直徑所對的圓周角是直角；反之，直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上.由于∠APB=∠AQB=90°，所以點P的軌跡是以AB為直徑的圓，此圓與圓C相交，利用兩圓相交條件進行求解.

解：由∠APB=∠AQB=90°，知點P的軌跡是以AB為直徑的圓，即以O為圓心為半徑的圓.圓O與圓C相交，則|解得1+＜a＜1+

例4 （2017年南京市、鹽城市第二次高考模擬試題）在平面直角坐標系xOy中，直線l1：kx-y+2=0與直線l2：x+ky-2=0相交于點P，則當實數k變化時，點P到直線x-y-4=0的距離的最大值為______.

評注：解法1是從分析直線l1，l2的位置關系入手，不難發現直線l1與直線l2垂直，且直線l1與直線l2分別過定點A（0，2）與B（2，0），則P點軌跡是以AB為直徑的圓，原問題可轉化為圓心到直線的距離的最大值問題.解法2是從聯立直線方程求點P的坐標，利用點到直線距離公式將原問題轉化為求函數最值問題，但運算明顯繁冗.

策略三——兩個定點A，B，動點P滿足=λ（λ＞0，λ≠1）確定隱形圓（阿波羅尼斯圓）

例5（2016年常州市高三第一學期期末試題）在平面直角坐標系xOy中，已知圓O：x2+y2=1，O1：（x-4）2+y2=4，動點P在直線x+ 3 y-b=0上，過P分別作圓O，O1的切線，切點分別為A，B，若滿足PB=2PA的點P有且只有兩個，則實數b的取值范圍是______.

解析：設P點坐標為（x，y），由PB=2PA，得PB2=4PA2，即（x-4）2+y2-4=4（x2+y2-1），整理得3x2+3y2+8x-16=0.

方法1：該方程表示一個圓，圓心 （-，0），r=.因為P點有且只有兩個，所以直線和圓相交，故

方法2：因為P在直線x+y-b=0上，所以y=-x+b，代入3x2+3y2+8x-16=0，得4x2+（8-2b）x+b2-16=0.因為P點有且只有兩個，所以方程有兩個不相等的根，即Δ＞0，整理得3b2+8b-80＜0，所以

評注：本題考查了直線與圓的位置關系，以及一元二次不等式的解法，突出了方程思想和解析法.其中方法1是利用解析法求出P點軌跡（阿波羅尼斯圓），然后利用直線與圓相交的條件來解決問題.思維受阻的主要原因是未能從條件PB=2PA中意識到點P的軌跡是一個圓，所以其解題關鍵是對阿波羅尼斯圓的本質及三個基本特征要有深刻的認識.方法2是運用代數方法 （判別式法）計算方程根的個數.

例6（2016年蘇北四市高三第一學期期末試題）已知點A（0，1），B（1，0），C（t，0），D是直線AC上的動點，若AD≤2BD恒成立，則最小正整數t的值為______.

解析：直線AC的方程為+y=1，即x+ty-t=0，設D（x，y）.

因為AD≤2BD，即AD2≤4BD2，所以x2+（y-1）2＜4［（x-表示圓外區域及圓周上的點，直線x+ty-t=0與圓相切或相離，到直線x+ty-t=0的距離d≥r，即，化簡得t2-4t+1≥0，解得t≥2+或t≤2-.所以正整數t的最小值為4.

評注：本題考查直線與圓的位置，一元二次不等式解法，以及數形結合思想的運用.不等式恒成立問題容易想到運用最值法轉化，但不易下手，運算煩瑣.若能發現隱藏在不等式條件中的阿波羅尼斯圓，就能通過數形結合將問題轉化為直線與圓的位置關系問題.其關鍵是運用解析法求出D點軌跡，由AD=2BD，易知此時D點軌跡是阿波羅尼斯圓，因而憑直覺，由AD≤2BD猜想D點軌跡是阿波羅尼斯圓及圓內或圓外，通過邏輯思維的運算探究猜想，將原問題轉化為直線與圓相切或相離問題.

策略四——兩個定點A，B，動點P滿足PA2+PB2是定值確定隱形圓

例7（2017年鹽城市第三次高考模擬試題）已知A，B，C，D四點共面，BC=2，AB2+AC2=20，=，則|的最大值為______.

解析：以BC的中點為原點，BC所在直線為x軸建立坐標軸.設A（x，y），D（x0，y0），則B（-1，0），C（1，0）.由AB2+AC2=20，得（x+1）2+y2+（x-1）2+y2=20，x2+y2=9.

由=3，得（x0-1，y0）=3（x-1，y），則（x0+2）2+y02=81.

令x0+2=9cosθ，y0=9sinθ，||2=（x0+1）2+y02=（9cosθ-1）2+81sin2θ=82-18cosθ，當cosθ=-1時，||2取到最大值100，即|的最大值為10.

評注：本題考查了向量的坐標運算，圓的軌跡求法.建立平面直角坐標系，從代數角度，挖掘出題目中所蘊含的軌跡方程（圓的方程），通過圓的方程可以揭示問題本質，將原問題轉化為圓上動點D到定點B距離的最大值問題，從而簡化運算過程.坐標化可以把變動的量的幾何意義（圓）顯現出來，利用圓的參數方程，進行三角換元，將二元函數最值問題轉化為關于θ的一元函數最值問題，再利用三角知識進行處理即可.

策略五——兩個定點A，B，動點P滿足·→=λ確定隱形圓

例8（2018年蘇州市高二第一學期期中試題）已知線段AB的長為2，動點C滿足·=λ（λ為常數且λ＞-1），且點C總不在以點B為圓心，為半徑的圓內，則λ的取值范圍是______.

解析：以B為原點，線段AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則B（0，0），A（2，0）.設C（x，y），則由·=x（x-2）+y2=λ，得（x-1）2+y2=λ+1，點C的軌跡是以M（1，0）為圓心，為半徑的圓.由題意可知，圓M與圓B：x2+y2=外離或外切或內含或內切.所以OM≤

評注：本題主要考查圓與圓的位置關系，以及解析法的運用.建立平面直角坐標系，利用向量的坐標運算法則，將條件·=λ（λ為常數且λ＞-1）轉化為點C的軌跡方程，即圓M的方程.挖掘向量·=λ所表達的幾何意義（圓M），根據條件，確定圓M與圓B的位置關系：外離或外切或圓B內含于或內切于圓M.

例9（2018年揚州市高三第一學期期末試題）已知正△ABC的邊長為2，點P為線段AB中垂線上任意一點，Q為射線AP上一點，且滿足·=1，則|的最大值為______.

解析：以線段AB的中點為原點O，線段AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系，則A（-1，0），B（1，0），C（0，）.設Q（x，y），P（0，t），則由=（1，t）·（x+1，y）=1，得x+ty=0.又因為A，P，Q三點共線，即，所以（x+1）t=y，得，代入x+ty=0，消去參數t，得x2+y2+x=

評注：此題求解過程讓人有一種“看似尋常卻崎嶇，成如容易最艱辛”的感覺，究其原因，不知“如何合理引進參數、消參，求出Q的軌跡”.根據圖形特征建立平面直角坐標系，轉化為幾何問題，目標是求出Q的軌跡.設Q（x，y），P（0，t），從條件=1出發，得到①式x+ty=0后，不少同學感到束手無策，也有同學直接利用點到直線的距離公式求解，無功而返.若能結合“Q為射線AP上一點”這一條件，則，所以（x+1）t=y ②.由①②消去參數t，可以求出Q的軌跡方程（即圓M的方程），將原問題轉化為圓M上的點Q到定點C的最大值問題.

布魯姆說過：數學轉化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉化的能力.”合理運用轉化與化歸的數學思想，學會轉化，掌握解題策略，積累解題方法和經驗.根據“隱形圓”問題中所給信息，進行問題的多維表征，運用“隱形圓”問題的上述五種解題策略，從形與數的角度出發，捕捉有效信息，挖掘出“隱形圓”，將問題轉化為此圓與直線、圓的位置關系或此圓上的動點與定點距離的最值問題.其中發現圓（或圓的方程）是解題關鍵，可謂“撥開云霧現日出，柳暗花明又一村.”通過觀察、聯想、猜想，驅動著數學思維的起航和問題表征，催生著隱形圓問題的解題思路的自然流暢，詮釋并訴說著挖掘隱形圓的解法“是怎樣想到的”.促進對隱形圓問題本質的理解，掌握隱形圓的常用知識載體，把握其解題方法和規律，猶如源頭活水，從而達到觸類旁通，提升思維能力和數學素養.

1.殷偉康.浸潤數學文化，提升核心素養——“阿波羅尼斯圓的應用及探究”教學實踐與思考［J］.中學數學（上），2017（11）.

2.劉長偉.例析數學問題中的隱形圓［J］.高中數學教與學，2017（3）.

3.金明珉.轉幾類圓問題的“隱性”為“顯性”［J］.中學數學，2014（5）.F