二項(xiàng)式定理中的“七意識(shí)”

☉南京大學(xué)附屬中學(xué) 杭麗華

二項(xiàng)式定理是高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中較為獨(dú)特的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，其內(nèi)容篇幅不多，但其分散于教材及習(xí)題里的解法卻豐富地展示了待定系數(shù)法、特殊值法、構(gòu)造法和逆向思維等中學(xué)數(shù)學(xué)中比較常見(jiàn)的基本思維方法.因此對(duì)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)也是集中學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法、提高思維能力的好機(jī)遇，它對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展、能力培養(yǎng)和數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高十分有益.下面就二項(xiàng)式定理中常見(jiàn)的七種意識(shí)的培養(yǎng)與應(yīng)用，結(jié)合實(shí)例加以剖析.

一、展開(kāi)意識(shí)

二項(xiàng)式的展開(kāi)式為（a+b）n=+…++…+b（nn∈N*）.對(duì)于一些次數(shù)比較小或一些特殊的二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題，直接利用展開(kāi)式加以分析與解決.

例1 若（1+）5=a+ba，b為有理數(shù)），則a+b=（ ）.

A.45 B.55 C.70 D.80

分析：直接對(duì)二項(xiàng)式（1+）5加以展開(kāi)，并通過(guò)計(jì)算與分析求解相應(yīng)的問(wèn)題即可.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式，二項(xiàng)展開(kāi)式的運(yùn)算屬于基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算.對(duì)于次數(shù)比較小，或沒(méi)有其他更好的方法時(shí)，往往就是直接對(duì)二項(xiàng)式進(jìn)行展開(kāi)，通過(guò)展開(kāi)后的特點(diǎn)加以分析與求解.

二、通項(xiàng)意識(shí)

凡涉及二項(xiàng)式（a+b）n的展開(kāi)式的項(xiàng)及其系數(shù)（如常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，某特殊項(xiàng)的系數(shù)）等問(wèn)題，往往是先寫(xiě)出其通項(xiàng)公式Tr+1=Crnan-rbr，然后再根據(jù)題意進(jìn)行求解.

例2的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是______（用數(shù)字作答）.

分析：利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式加以轉(zhuǎn)化與化簡(jiǎn)，令其對(duì)應(yīng)的x的指數(shù)為0，求解相應(yīng)的r的值，再去求解對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng).

解：二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令6-2r=0，解得r=3，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為（-1）3=-20.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及其應(yīng)用.本題通過(guò)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，結(jié)合條件熟練寫(xiě)出所需的項(xiàng)，解題思路實(shí)質(zhì)上是利用方程思想，根據(jù)條件列出對(duì)應(yīng)的方程，從而解出對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值等問(wèn)題.

三、賦值意識(shí)

對(duì)于（1+x）n=+x+x2+…+xn的展開(kāi)式是關(guān)于x的一元n次多項(xiàng)式，此等式是任何數(shù)集上的恒等式，給x賦值，可得到相應(yīng)的系數(shù)或系數(shù)和.

例3若（1-2x）2018=a0+a1x+…+a2018x2018（x∈R），則的值為（ ）.

A.2 B.0 C.-1 D.-2

分析：根據(jù)要求解的二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)所對(duì)應(yīng)的關(guān)系式，同時(shí)觀察所求關(guān)系式的特點(diǎn)，通過(guò)2次賦特殊值法來(lái)求解，最后結(jié)合條件轉(zhuǎn)化求值即可.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的本質(zhì)屬性，展開(kāi)式為特殊關(guān)系式的和，通過(guò)兩次對(duì)恒等式進(jìn)行賦特殊值，再利用整體思維達(dá)到求解的目的.二項(xiàng)式定理就是一個(gè)恒等式，其對(duì)一切x的允許值都能成立.當(dāng)求展開(kāi)式的相關(guān)系數(shù)的關(guān)系式或者證明有關(guān)組合數(shù)的恒等式時(shí)，常常利用此方法——賦特殊值法.

四、轉(zhuǎn)化意識(shí)

在二項(xiàng)式定理的有關(guān)問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)碰到比較復(fù)雜的多項(xiàng)式問(wèn)題，比如多于二項(xiàng)的多項(xiàng)式或其他類(lèi)型的多項(xiàng)式，求解時(shí)，主要是將復(fù)雜的多項(xiàng)式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為常規(guī)的二項(xiàng)式定理的問(wèn)題來(lái)分析求解.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理中求特定項(xiàng)問(wèn)題.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化意識(shí)的應(yīng)用，通過(guò)把較為復(fù)雜的二項(xiàng)式問(wèn)題進(jìn)行必要的運(yùn)算等轉(zhuǎn)化，使其變?yōu)檩^為簡(jiǎn)單的常規(guī)的二項(xiàng)式問(wèn)題，這樣處理起來(lái)就達(dá)到去繁為簡(jiǎn)、方便簡(jiǎn)單的目的.

五、方程意識(shí)

在二項(xiàng)式定理的有關(guān)問(wèn)題中，二項(xiàng)式定理往往和方程中的相關(guān)問(wèn)題加以綜合，根據(jù)題中問(wèn)題的條件，建立相應(yīng)的方程（組），通過(guò)解方程（組）來(lái)達(dá)到目的.

例5 已知（1+ax）5=1+10x+bx2+…+a5x5，則b=______.

分析：通過(guò)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)的關(guān)系式聯(lián)立方程，求解含有參數(shù)a、b的方程來(lái)求解對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式定理問(wèn)題.

解：由于Tr+1=（ax）r，結(jié)合展開(kāi)式有·a1=10且a2=b，解得a=2，b=40.

點(diǎn)評(píng)：主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式及其計(jì)算，以及求解相關(guān)的方程組.通過(guò)二項(xiàng)式定理通項(xiàng)公式的分析，結(jié)合關(guān)系式聯(lián)立方程（組），通過(guò)求解方程（組）來(lái)解決對(duì)應(yīng)的二項(xiàng)式定理問(wèn)題.

六、模型意識(shí)

對(duì)于一些特殊的二項(xiàng)展開(kāi)式問(wèn)題，如果給出相關(guān)項(xiàng)的特征，可以結(jié)合組合模型的特征，通過(guò)從相關(guān)二項(xiàng)式所對(duì)應(yīng)的因式中按要求提取出相關(guān)的因式，進(jìn)而達(dá)到滿(mǎn)足條件的目的，通過(guò)組合計(jì)數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的系數(shù)問(wèn)題.

例6 （x2+x+y）5的展開(kāi)式中，x5y2的系數(shù)為（ ）.

A.10 B.20 C.30 D.60

分析：根據(jù)題目條件，把二項(xiàng)展開(kāi)式看成5個(gè)因式，根據(jù)所求的項(xiàng)的特征，分配各相應(yīng)的因式中所要取的關(guān)系式，利用組合模型特征來(lái)分析與處理.

解：在（x2+x+y）5的5個(gè)因式中，要使得取出的項(xiàng)為x5y2，那么應(yīng)該從這5個(gè)因式中，其中2個(gè)因式取x2，剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取x，其余2個(gè)因式取y，這樣可使得展開(kāi)式中的項(xiàng)滿(mǎn)足條件，根據(jù)組合模型的特征，可得x5y2的系數(shù)為=30.故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理、組合的性質(zhì)與運(yùn)算.解決此類(lèi)問(wèn)題往往回歸二項(xiàng)式定理的本質(zhì)特征——組合，利用組合模型特征來(lái)分析，方法巧妙，簡(jiǎn)單易懂，同時(shí)處理問(wèn)題也自然流暢.

七、整除意識(shí)

二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是用于近似計(jì)算.還可以用來(lái)證明整除或求余數(shù)問(wèn)題，在證明整除或求余數(shù)問(wèn)題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式（數(shù)）展開(kāi)后的每一項(xiàng)都含有除式的因式，要注意變形的技巧.

例7 若x+x2+…+xn能被7整除，則x，n的值可能為（ ）.

A.x=4，n=3 B.x=4，n=4

C.x=5，n=4 D.x=6，n=5

分析：逆用二項(xiàng)式定理，并加以變形與轉(zhuǎn)化，結(jié)合各選擇項(xiàng)分析與判斷能被7整除所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值的可能取值.

解：由于x+x2+…+xn=（1+x）n-1，只有當(dāng)x=5，n=4時(shí)，（1+x）n-1=64-1=35×37能被7整除，故選C.

點(diǎn)評(píng)：主要考查二項(xiàng)式定理的逆向運(yùn)用與對(duì)應(yīng)的運(yùn)算問(wèn)題.通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的變形，結(jié)合整除問(wèn)題的特征加以判斷與選擇.

二項(xiàng)式定理內(nèi)容是高考中必考內(nèi)容之一，其中二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)及系數(shù)是考查的重點(diǎn)，以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，偶爾也在解答題中出現(xiàn).在解答相應(yīng)的二項(xiàng)式問(wèn)題時(shí)，除了需要熟練掌握公式本身，還要綜合掌握以上相關(guān)的數(shù)學(xué)意識(shí)，并加以靈活應(yīng)用.F