基于細觀結構表征的編織-嵌槽型金屬橡膠本構模型

李 拓， 白鴻柏， 路純紅， 曹鳳利

(陸軍工程大學石家莊校區 車輛與電氣工程系，石家莊 050003)

金屬橡膠是一種由金屬絲以螺旋卷的形式纏繞在一起的非線性彈性阻尼材料[1]，具有橡膠般的優良彈性和大阻尼特性以及金屬的物理機械性能(如在真空中不揮發、不怕輻射，能夠承受空間的高溫和低溫，疲勞壽命長等)，因此金屬橡膠成為了極端環境下橡膠的替代品，在極端環境下的隔振、密封及噪聲控制等方面有著廣泛的應用。

隨著技術的發展，大量精密儀器的使用要求隔振器具有更寬的隔振頻帶，以實現超低頻隔振，這就要求大幅降低金屬橡膠的剛度。但是經過大量試驗研究和應用實踐，科研人員發現，由于金屬橡膠材料的機械性能受成型壓力影響較大，低剛度金屬橡膠在實際使用中仍存在一些不足：①由于成型壓力小，低剛度構件內部金屬絲的勾連程度較低，成型質量較差；②低剛度構件內部結構松散，在使用過程中容易發生二次成型，導致產生較大的殘余變形，機械性能不穩定，壽命大幅度縮短。為了解決低剛度金屬橡膠構件在實際使用中存在的問題，軍械工程學院金屬橡膠工程中心設計并制備了編織-嵌槽型金屬橡膠構件。編織-嵌槽工藝較好地解決了低剛度金屬橡膠構件成型壓力小、成型較差、殘余變形大以及構件結構穩定性較差等問題。為了揭示編織-嵌槽型金屬橡膠的壓縮變形機理并為產品的設計提供理論支持，有必要建立恰當的本構模型對編織-嵌槽型金屬橡膠力學特性的物理本質進行分析。

近年來，學者們對金屬橡膠進行了大量理論研究。這些理論主要可以分為宏觀力學模型[2-5]和細觀模型力學模型兩大類。比較而言，包含有材料的基本工藝參數的細觀力學模型更能夠有效地揭示力學特性機理、指導材料設計。Jiang等[6]采用疊層懸臂梁模型對金屬橡膠內部接觸作用進行描述；李宇燕等[7-10]基于多孔材料理論和曲梁模型建立了金屬橡膠遲滯曲線的數學模型，并研究了相對密度、形狀因子、制品結構參數對材料力學性能的影響；曹鳳利等[11-12]以變長度曲梁組成的單匝螺旋卷為基本單元，建立了材料加載-卸載力學特性的數學模型，并將模型的修正參數減少到兩個；李拓等[13]利用曲梁等效剛度模型的組合結構，描述了編織-嵌槽型金屬橡膠的剛度特性，但是這一模型并未考慮材料變形過程中曲梁傾角、數目及幾何參數的變化，對材料非線性階段剛度特性的擬合仍存在一些偏差。本文從編織-嵌槽型金屬橡膠的細觀結構出發，分析了由構件內部線圈接觸導致的細觀結構變化，并據此建立了編織-嵌槽型金屬橡膠的本構模型。

1 細觀結構分析

編織-嵌槽型金屬橡膠由平針組織金屬絲網套經整形輥壓、冷彎、剪裁(依據制備構件的質量)、卷纏毛坯、冷壓成型、后期處理等工序制備的工藝流程，如圖1(a)所示。工藝流程中的冷彎工序使得金屬絲網上出現了與金屬絲網長度方向(平針組織的縱列方向)呈一定角度的截面為三角形的溝槽結構，卷纏過程中需要保證三角形溝槽能夠很好地嵌合在一起，卷纏使得溝槽結構呈現出螺旋形態，構件外部呈現大量螺旋結構，如圖1(b)所示。在實際應用中，編織-嵌槽型金屬橡膠多填裝于隔振器中，因此其構型多為圓環形，本文研究以圓環形構件為例。以下從網層組織結構和網層構型兩個方面對構件的細觀結構進行簡化和分析。

圖1 編織-嵌槽工藝流程及實物圖Fig.1 Knitted-dapped technics flow and the physical picture

1.1 網層組織結構

編織-嵌槽型金屬橡膠是由平針組織金屬絲網套制成的。據文獻[14]可知，平針組織的基本單元是線圈，可以把線圈看作由兩段半圓弧和兩段圈柱以相接的形式構成，線圈之間相互勾連，如圖2所示。由于金屬絲的直徑ds遠小于半圓弧的直徑D，因此可以認為線圈之間的勾連接觸點位于半圓弧部分與圈柱部分的連接處，如圖2(a)中虛線部分所示。

圖2 金屬絲網的細觀結構Fig.2 Mesostructure of the metal net

平針組織在縱列方向相鄰兩個對稱軸之間的距離a等于針筒上相鄰舌針距離的一半。根據圖2(a)中的結構關系，橫列方向有如下幾何關系成立

a=D+ds-lsinδ1

(1)

故可求得圈柱部分與縱列方向的夾角δ1為

(2)

依據結構的幾何關系，可求得圈柱所處平面與半圓弧所處平面的夾角δ2為

(3)

圖3 平針組織的等效結構Fig.3 Equivalent structure of the plain stitch

對于輥壓形成的金屬絲網片，其縱列密度(縱列方向單位長度的質量)ρl為

(4)

式中：na為金屬絲網片在橫列方向上線圈的數目，該值由針織設備確定，通常為偶數；ρs為絲材密度。

1.2 網層構型

經過冷彎處理，金屬絲網片經過冷彎成型轉化為波形網片，如圖4(a)所示。其成型斷面N-N′(成型斷面與輥壓形成的溝槽方向垂直)，如圖4(b)所示。

圖4 波形網片的形態示意圖Fig.4 Morphological diagram of the net piece with wave shape

(5)

式中：αw為波形網片上溝槽與縱列方向的夾角；βw為冷彎截面中三角形溝槽側壁夾角的一半。

為簡化網片在構件內部網層的構型及結構關系，特提出以下兩點假設：

假設1編織-嵌槽型金屬橡膠的內徑和外徑在數值上均遠大于金屬絲網片的厚度，故不考慮卷纏后同層相鄰金屬絲網卷纏半徑的變化，即認為整個構件是由若干層環形溝槽結構嵌套而成。

假設2網層沿構件的徑向均勻分布。

制備毛坯過程中，波形網片通過卷纏形成了很多螺旋結構(設螺旋角為α)，在卷纏過程中需要保證相鄰網片層間的三角形溝槽相互嵌合。波形網片的成型斷面N-N′經過卷纏轉化為了螺旋曲面K-K′(該曲面的螺旋角與角互余)。結合假設1、假設2以及圖4(b)進行考慮，可知截面K-K′的局部結構，如圖5(b)所示。為明確螺旋結構的幾何結構關系，繪制螺旋結構螺旋線的展開示意圖，如圖6所示。

圖5 編織-嵌槽結構Fig.5 The knitted-dapped structure

圖6 螺旋線展開示意圖Fig.6 Diagram for unwrapped cylindrical spiral

由圖5(b)知，螺旋結構可視作由兩部分構成——嵌槽部分和疊層部分，其中嵌槽部分由極少的金屬絲構成(故在之后的計算中對此部分忽略不計)，疊層部分由若干層距離相等的網片構成。結合圖5(b)及圓柱螺旋彈簧理論[15]，易知有如下幾何關系成立

n1Lsinβcosα=H

(6)

式中：n1為截面上單層網片所包含的三角形溝槽側壁的數目；L為三角形溝槽側壁的長度；β為截面上三角形溝槽側壁夾角的一半；H為構件的高度(或厚度)。類比于文獻[15]對圓柱螺旋彈簧的分析，有關系式sinα=H/L′成立，L′為冷彎后網片上溝槽的長度，如圖6所示?？蓪D5(b)中的β角表示為

(7)

2 線圈的等效剛度

構件內的每個線圈均可以看作由若干段懸臂梁(圈柱結構)及若干段懸臂曲梁(圓弧結構)在接觸點處相連而成，同一線圈上的懸臂梁及懸臂曲梁呈并聯關系。另外，所有線圈與構件徑向截面的夾角均相等，設為γ?？紤]到構件內部結構的復雜性，分析中不考慮懸臂梁上摩擦力的影響，僅考慮懸臂梁及懸臂曲梁的彈性力。

2.1 懸臂梁

對懸臂梁進行受力分析，如圖7所示。 設懸臂梁的長度為L1， 根據卡氏定理[16]， 懸臂梁在網片平面法向n的變形量Δn1為

(8)

(9)

圖7 懸臂梁受力分析圖Fig.7 Force analysis diagram for cantilever beam

懸臂梁軸向的等效剛度kz1為

(10)

2.2 懸臂曲梁

對懸臂曲梁進行受力分析，如圖8所示。參照“2.1”中的方法對懸臂曲梁的軸向等效剛度進行求解。懸臂曲梁所在圓的直徑為D′=D+ds， 設其圓弧角為θ(顯然0<θ<π/2)。 采用卡氏定理， 可求得懸臂曲梁在網片平面法向n的變形量Δn2為

(11)

(12)

下面對角γ進行分析并求解。由于線圈的尺寸遠小于構件的外形幾何參數，因此可將組成同一線圈的懸臂梁視作處在同一平面上，將該平面稱為線圈平面，線圈平面與徑向截面的夾角即為γ。結合構件的結構特點，可將問題進行如下轉化(見圖9)：任取一線圈平面M，其與距離線圈最近的外部螺旋線的交點為o，在o點處作螺旋線的垂直平面A，平面A與M交于直線l1，平面M上的直線l2與l1垂直于o點，建立坐標系oxyz，坐標系以o為原點，分別以l1，l2及平面M的法線作為x軸、y軸和z軸。將平面M繞x軸旋轉β角，得到平面M′，此時y軸、z軸分別旋轉到y′軸、z′軸位置； 再將平面M′繞y′軸旋轉α角， 得到平面M″， 此時x軸、z′軸分別旋轉到x″軸、z″軸位置。此時，平面M″即為徑向截面，而平面M″與M的夾角即為γ。

圖8 懸臂曲梁的受力分析圖Fig.8 Force analysis diagram for cantilever curved beam

圖9 平面旋轉示意圖Fig.9 Diagram for rotation planes

從平面M到平面M″的變換矩陣C為

(13)

(14)

整理后可以得到

(15)

進而可求得

(16)

3 壓縮變形分析及各階段剛度模型的建立

3.1 壓縮變形歷程的劃分

圖10(a)、圖10(b)分別是典型的編織-嵌槽型金屬橡膠的載荷-變形曲線及其對應的剛度-變形曲線。結合兩條曲線的走勢情況可知，編織-嵌槽型金屬橡膠的壓縮變形歷程可以分為三個階段：線性階段(圖中對應A段，剛度近似恒定)、非線性階段(圖中對應B段，剛度的增長呈線性，增長的速度較為緩慢)以及高次非線性階段(圖中對應C段，剛度的增長呈非線性，增長速度較為迅速)。

圖10 編織-嵌槽金屬橡膠的力學特性曲線Fig.10 Mechanical characteristic curves of knitted-dapped metal rubber

3.2 本構模型的建立

(17)

式中：N0為構件中包含線圈的數目；m為構件的質量。對于確定的構件，系統中線圈的串并聯關系是確定的，因此構件壓縮變形過程中出現的剛度變化源于線圈剛度變化?？赡軐€圈整體剛度產生影響的因素主要有兩個：①線圈平面與徑向截面的夾角； ②線圈上接觸點的分布情況。

圖11 等效串并聯系統示意圖Fig.11 Diagram for equivalent series-parallel system

設構件的變形量為x， 構件在各個壓縮變形時期的變形量的取值范圍分別為0

(18)

以下結合圖5(b)中的簡化結構及圖10中的曲線對構件的壓縮變形機理進行分析，并建立相應的本構模型。

3.2.1 壓縮變形初期

壓縮變形初期(見圖7(a)、圖7(b)中對應A段)，隨著構件變形量x的逐漸增大，構件螺旋結構的螺距及螺旋角逐漸減小，內部網片之間并未發生接觸。由此可知，該階段線圈上接觸點的分布情況不變(不考慮線圈間的相對滑移，故組成線圈的懸臂梁及懸臂曲梁的數目與幾何尺寸均不變)， 僅夾角γ發生變化。

(19)

式中： 系數分別為

綜上所述，作為編織-嵌槽型金屬橡膠承受壓縮載荷初期的本構模型，式(19)可反映金屬絲彈性模量E、 金屬絲絲徑ds、 橫列方向上線圈的數目na、 構件質量m等基本工藝參數的影響。

根據圖10(b)中剛度曲線A段的變化趨勢可知，構件在該階段的剛度很小。另外，式(19)在變形量x為橫坐標、 以剛度K為縱坐標的平面坐標系中處在以x=H0為對稱軸并且開口向下的拋物線的左半段上，如圖12所示。剛度-變形曲線的斜率隨變形量的增大而減小。式(19)所表征的A段處在剛度-變形曲線的最左側，其斜率變化幾乎為0，故可得出結論： 夾角γ的變化對線圈軸向剛度的影響極小，可以認為壓縮變形過程中構件軸向剛度變化的唯一原因是線圈上接觸點的增加。

圖12 拋物線Fig.12 Para-curve

3.2.2 壓縮變形中期

壓縮變形中期(見圖10(a)、圖10(b)中B段)，螺旋結構之間的空隙逐漸消失，由于金屬橡膠內部的接觸形成過程開始于元件的最小密度區，且隨著載荷的增大逐漸擴展到大密度區，因此新的接觸點將首先出現在嵌槽部分，并且認為該變形階段疊層部分線圈間還未產生新的接觸。當溝槽部分兩側關于面M′對稱的線圈的軸向間距減小到4ds時(金屬絲網套的等效厚度約為4ds)，線圈間將產生接觸，如圖13(b)所示，且隨著變形量的增大發生接觸的線圈逐漸增多。開始有線圈發生接觸時構件的變形量為x1。

圖13 壓縮變形中期的K-K′截面Fig.13 K-K′ sections in the mid-period of compression deformation

(20)

(21)

3.2.3 壓縮變形后期

進入壓縮變形后期(見圖10(a)、圖10(b)中C段)時，螺旋結構內部的金屬絲網之間也開始發生接觸，并且發生接觸的線圈隨變形量的增大迅速增加，構件的整體剛度也隨之迅速增大，直到構件內部所有網片之間充分接觸。在構件內部網片均發生充分接觸時，構件K-K′截面結構可近似簡化為網層重疊的結構(不考慮網層上少量的彎折情況)，如圖14所示。

圖14 壓縮變形后期的K-K′截面Fig.14 K-K′section in the late period of compression deformation

由于在這一階段中螺旋結構內部的網片也開始發生接觸，故該階段疊層部分網片間的孔隙極小，網片的變形空間極小，因此忽略壓縮變形后期構件內部復雜

的變化過程，認為線圈在發生接觸后其所處線圈平面與徑向截面的夾角迅速轉化為α。

同變形量為x2時的構件軸向剛度相比，變形階段后期構件的軸向剛度的增量可分為兩部分：一部分是螺旋結構外部線圈接觸情況的變化引起的剛度增加，這一類線圈記為A類線圈；另一部分是螺旋結構內部網片之間發生接觸，網片上線圈的接觸情況發生變化進而引起的剛度增量，這一類線圈記為B類線圈。

u2(x)=ψ[u1(x)-u1(x2)]

(22)

式中：ψ為構件最外側及最內側的面積和與制備構件所使用的網片表面積和的比值，表示為

(23)

式中：D1，D2分別為環形構件的外徑和內徑。

綜合以上分析，可將壓縮變形后期構件的軸向總剛度Kz3表示為

(24)

令

(25)

結合式(25)，可將式(24)整理為

(26)

對于邊界值x2， 可由式Kz3(x2)=0， 并結合x2>x1求得。

結合式(19)、式(21)、式(26)，可得到壓縮載荷Fz的表達式

4 試驗驗證

4.1 試驗設備及試件

試驗設備選用濟南天辰WDW-T200型電子萬能試驗機。該試驗機適用于金屬、非金屬材料的拉伸、壓縮及彎曲等力學特性試驗，位移分辨率為0.001 mm，最大試驗力為200 kN。

制備編織-嵌槽型金屬橡膠試件選用的是由牌號為0Gr18Ni9Ti的奧氏體不銹鋼絲編織而成的金屬絲網套，絲徑ds=0.15 mm， 彈性模量E=210 GPa， 絲材密度ρs=7.9 g/cm3， 金屬絲網套橫列方向線圈的數目na=34， 冷彎后金屬絲網套的結構參數為L=6 mm，L′=54 mm，n1=5。 用于驗證的1號及2號試件外形尺寸一致： 高度H0=22 mm， 外徑D1=36 mm， 內徑D2=12 mm， 試件的密度依次為0.251 g/cm3， 3.76 g/cm3(試件質量依次為5 g，7.5 g)。

4.2 試驗驗證

試驗采用等速位移控制對兩組試件進行加載，加載速度為2 mm/min，最大變形量設定為15 mm。

將試件的工藝參數代入式(19)、式(21)、式(26)、式(27)，結合試驗數據得到本構方程。圖15、圖16給出了本文模型的理論預測結果與試驗結果的比較。對圖15、圖16分析可知，理論結果與試驗結果基本吻合，說明該理論模型能夠很好地模擬編織-嵌槽型金屬橡膠的剛度-變形曲線及載荷-變形曲線。

圖15 1號試件模型預測與試驗結果對比Fig.15 Comparisons of model predictions and test results for specimen NO.1

圖16 2號試件模型預測與試驗結果對比Fig.16 Comparisons of model predictions and test results for specimen NO.2

5 結 論

(1) 將編織-嵌槽型金屬橡膠等效成了一種由線圈以串并聯方式連接而成的組合系統，結合材料的壓縮變形特點建立了細觀本構模型，揭示了材料的變形機理。

(2) 推導了以變形量為自變量的剛度方程及載荷方程，方程中包含了材料的基本工藝參數(ds，E，m等)，對材料的工藝設計具有一定的指導意義。

(3) 理論模型能夠較好地分析解釋試驗結果，能夠較為準確地描述編織-嵌槽型金屬橡膠在整個壓縮變形過程中的力學特性。

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