土木工程結構保性能PID協調分散控制研究

潘兆東， 譚 平， 周福霖

(1. 東莞理工學院 建筑工程系， 廣東 東莞 523808； 2. 廣州大學 工程抗震研究中心，廣州 510405)

建筑結構采用主動/半主動等智能控制系統可以顯著地抑制其振動響應，從而滿足更高的安全和功能要求。其控制思想一般均是采用傳統“分散采集，集中處理”的集中化控制方案。然而，對規模宏大、功能多樣的復雜工程結構若仍采用傳統集中控制，必然會面臨如下問題[1]：①控制系統信息交換異常復雜且極易造成滯后；②控制系統集成和運行成本提高；③一旦個別傳感器、作動器或者控制平臺發生故障，系統的可靠性降低甚至失效等問題。同時，地震、臺風等外界荷載及結構自身的不確定性在相當程度上加劇了傳統集中控制方案控制效果的波動。

鑒于以上原因，國內外許多學者將大系統分散控制理論引入到土木工程領域，并做了相應的理論研究。文獻[2-11]分別基于市場機制、神經網絡、瞬時最優、滑動模態、LQG(Linear Quadratic Gaussian)、自適應模糊控制、模糊迭代、LMI(Linear Matrix Inequality)等方法提出了相應的分散控制算法，并通過仿真分析驗證了分散控制策略的可行性與優越性。然而，分散控制系統一個顯著特點是：控制系統內各分散控制器平行工作，不存在隸屬關系，因此難以進行有效的協調；同時，每一個控制器都有自己的控制目標，如果發生沖突則需要用對策論來解決。

因此，本文在分散控制策略基礎上提出一種適應于土木工程結構振動控制的協調分散控制策略，在沒有中央控制和全局通信的情況下，依靠子控制器和協調控制器對子系統進行協同控制，如圖1所示。根據這一思想，建立了協調分散控制系統狀態方程。基于線性矩陣不等式方法和PID(Proportional-Integral-Differential)控制理論，給出了保性能PID控制律求解方法，并通過建立和求解一個凸優化問題，設計了能夠保證系統性能上屆最小的最優保性能PID協調控制器。在此基礎上，結合經典極值控制原理，以結構控制效果整體最優為目標設計了子控制器和子濾波器。同時，根據“先分散后協調”設計順序，利用模擬退火算法對協調控制系統內各子控制器進行優化設計。最后，針對ASCE 9層Benchmark模型，分別進行了集中控制、全維分散控制、部分分散控制和協調分散控制設計、優化與仿真分析。

1 傳統集中控制策略

地震激勵作用下，n層建筑受控系統動力方程為

(1)

(2)

其中，

2 協調分散控制策略

假設原控制系統分解后存在N個局部子控制器和1個協調控制器，如圖1所示。各子系統的控制同時依賴于子控制器分散控制力指令和協調控制器協調控制力指令。這里，協調控制力僅根據協調系統的反饋信息確定，其不受子控制系統的影響。

圖1 協調分散控制系統Fig.1 Coordinated decentralized control system

2.1 協調分散控制系統狀態方程

根據協調分散控制系統工作原理，協調系統與任一子系統狀態方程可表示為

(3)

(4)

式中：zc為協調系統響應向量;Bcc和uc分別為協調控制力位置矩陣與協調控制力向量;Dcc為適當維數的協調系統觀測輸出矩陣;Bi和ui分別為子系統控制力位置矩陣和控制力向量；Bic為與矩陣Bi對應的協調控制力位置矩陣,Bcc=[B1c,…,BNc]；Di和Dic為具有適當維數的子系統觀測輸出矩陣。

2.2 保性能PID協調分散控制器設計

2.2.1 保性能PID協調控制器

協調系統受控結構模型建立在原無控結構基礎上，同時協調控制器單向作用于子控制器，其不受子系統反饋信息的影響，因此，協調控制器必須具有一定的魯棒性，這里選擇基于線性矩陣不等式方法與PID控制理論設計的保性能PID協調控制器。

將式(3)進一步表示為

(5)

式中：Ac=A;Cc=[I0]n×2n。

在工程實際中，應用最為廣泛的調節器控制規律為比例、積分、微分控制，簡稱PID控制。因此，PID協調控制系統狀態反饋控制律可以表示為

(6)

(7)

記Gc=[kpkikd]， 則可建立如下擴階系統狀態方程

(8)

對協調控制系統定義如下二次型性能指標

(9)

對式(8)和式(9)， 如果存在對稱正定矩陣P和矩陣Gc，使得

(10)

應用Schur補性質[12]，將式(10)等價為

(11)

(12)

(13)

(14)

結合式(12)和式(13)，協調控制系統控制律可轉化為一個凸優化問題

min Trace(V) s.t. 式(12)
式(14)

(15)

則利用式(15)的最優解可以求解出S和W, 根據式(13)即可得到具有性能上屆最小的協調控制律。

2.2.2 二次型最優分散控制器

對任一子控制器定義如下二次型性能指標

(16)

式中：Qi為半正定權矩陣;Ri為正定權矩陣。

引入Lagrange函數將式(4)與式(16)的有約束極值問題轉化為無約束極值問題，并根據極值存在的必要條件(歐拉公式)，則可通過求解如下Riccati方程得到子控制器的控制增益矩陣Gi。

(17)

協調分散控制系統采用絕對加速度反饋，相應的結構狀態信息可以通過設計子Kalman濾波器估計獲得，狀態估計器方程為

(18)

(19)

式中：Li為子控制器卡爾曼濾波增益矩陣。

3 基于模擬退火算法的控制器優化

圖2 SA優化流程圖Fig.2 SA optimization flow chart

模擬退火算法(Simulated Annealing Algoritlm， SA)是局部搜索算法的擴展，它不同于局部搜索之處是以一定的概率選擇領域中的最優值狀態。算法源于對實際固體退火過程的模擬，即先將固體加溫至充分高，再逐漸冷卻。因此，算法實際上是將優化問題類比為退火過程中能量的最低狀態，也就是溫度達到最低點時，概率分布中具有最大概率(概率1)的狀態[13]。

SA主要參數計算公式

(20)

式(20)為修正的Boltzmann接受概率計算公式。 ΔE為優化目標差；Ts和Tf分別為模擬退火過程的初始溫度和終止溫度;Ps和Pf為初始和終止溫度可能接受較壞結果的概率。模擬降溫方式

(21)

式中：Nc為周期總數;Tn+1和Tn為下一時刻與當前時刻的模擬溫度。

(22)

4 仿真分析

4.1 算例模型

選取ASCE設計的9層鋼結構Benchmark模型[14]作為仿真算例。采用靜力凝聚法對原有限元模型進行降階，僅保留9個平動自由度。為驗證所提出的協調分散控制策略，選擇兩條遠場地震波和一條近場地震波：El Centro波、Hachinohe波和Kobe波地震激勵，持時40 s，峰值為300 cm/s2。在結構每層均布置作動器，單個作動器最大出力為800 kN。本文算例中集中控制工況采用LQG控制算法，并利用模擬退火算法對控制器進行優化，取上述地震激勵下優化結果的平均值為最優控制器參數，以保證達到最優集中控制效果。原結構簡化模型及協調分散控制系統示意圖，如圖3所示。

為驗證協調分散控制策略的優越性，按照子系統不同劃分方式設計了兩種協調分散控制系統，協調分散1和協調分散2。同時，為便于比較，設計了與之相應的兩種分散控制系統，其僅去除圖3(b)與圖3(c)中的協調控制器，并不改變子系統劃分方式，分別記為部分分散1和部分分散2。另外，為了說明設置協調控制器的必要性，設計了全維分散控制，即各子控制器對原結構以層為單位進行獨立分散控制。

圖3 結構協調分散控制示意圖Fig.3 Coordinated decentralized control schematic diagram

為了便于描述，將集中控制、協調分散1、協調分散2、全維分散、部分分散1及部分分散2依次記為：CS，CDCS1，CDCS2，DCS0，DCS1和DCS2。

4.2 控制器優化

為得出一般性結論，控制器最優參數取三條地震波優化結果的平均值。圖4為SA方法下集中控制系統優化目標函數(J)的迭代過程和模擬降溫過程(T)。從圖4可知，SA算法能較快的進入期望解所在范圍，在優化后期，隨著溫度的下降,函數值逐漸靠近全局最優解。模擬退火算法主要參數，如表1所示。

圖4 集中控制下優化過程Fig.4 Optimization process of centralized control

NcPsPfΓTTsTf500.70.0010.941 32.803 70.144 8

工況CDCS1和DCS1的各子控制器最優參數相同，α1=12.899,α2=13.081,α3=13.16。工況CDCS2和DCS2的各子控制器最優參數相同，α1=12.255,α2=12.44。工況CDCS1和CDCS2的協調控制器參數Qc=101.5I3n×3n,Rc分別取diag([10-9.310-10.410-10.2510-10.110-9.8510-8.8710-8.710-8.9510-9.45])， diag([10-9.210-10.510-10.410-10.310-10.0510-9.6510-8.710-9.1510-9.6])。全維分散工況各子控制器最優參數，如表2所示。

表2 全維分散控制最優控制參數

4.3 協調分散控制減震效果分析與比較

考慮到篇幅有限，在進行集中控制策略、分散控制策略與協調分散控制策略的減震效果結果分析時，僅以El Centro地震激勵下的響應進行繪圖及說明本文的分析結果，El Centro波、Hachinohe波和Kobe波地震激勵下各工況評價指標平均值，如表3所示。

表3 結構響應評價指標

El Centro波地震激勵下，工況CS，DCS1和CDCS1(見圖3(b))的結構頂層層間位移、絕對加速度及作動器控制力時程比較，如圖5所示。通過圖5(a)和圖5(b)中不同工況間的比較可知，CDCS1結構頂層層間位移峰值響應與絕對加速度峰值響應明顯小于CS與DCS1下的響應，其中，工況CS，DCS1和CDCS1下結構頂層層間位移峰值分別為：21.5 mm，21.0 mm和20.0 mm，頂層絕對加速度峰值分別為：3.35 mm，3.13 mm和2.9 m/s2；同時，在地震動持時內，協調分散控制下的控制效果均好于分散控制。圖5(c)為工況CS，DCS1和CDCS1下結構頂層作動器控制力時程對比曲線，可以看出，較集中控制策略與分散控制策略而言，協調分散控制策略可以獲得更為理想的出力時程，且不超過規定限幅，因而結構響應的控制效果有所改善。

圖5 結構頂層層間位移、絕對加速度及控制力時程Fig.5 Time history curves: interstory displacement, absolute acceleration and control force of top floor

圖6給出了El Centro波地震激勵下工況CDCS1所需的控制累積能量時稱圖，可以看出協調分散控制系統的總控制能量由各分散控制器控制能量之和與協調控制器控制能量兩部分疊加所得。其中，分散控制能量占主要成分(65.7%)，這說明在協調分散控制系統設計過程中采用“先分散后協調”這一設計順序是合理的；同時比較圖6中分散控制器與協調控制器的累積能量曲線，可以發現，協調控制器僅在地震動前期向子系統施加較大控制力，進入地震動中后期，協調控制能量則不再顯著增加。

圖6 協調控制系統累積控制能量圖Fig.6 Cumulative control energy history of CDCS

El Centro波地震激勵下，集中控制系統(Centralized Control System, CS)、三種分散控制(DCS0，DCS1和DCS2)及兩種協調分散控制(CDCS1和CDCS2)的結構各層最大層間位移角減震率和最大絕對加速度減震率，如圖7所示。從圖7可知，當采用分散控制策略時，除個別層層間位移角控制效果較集中控制有所減弱外，DCS0，DCS1和DCS2較CS而言均獲得更好的減震效果；三種分散控制工況中，全維分散控制效果最好，這是因為全維分散對每一個作動器均設置了一個獨立的控制器，通過對各子控制器進行優化，可以使得每一個作動器在地震動期間處在最大功效工作狀態；而隨著子系統內樓層數的增加，子控制器僅能保證子系統內個別作動器發揮最大功效，這一點可以從圖8得到驗證。但是，全維分散控制系統子控制器個數較多，對于高層結構而言控制成本較高,且不具備實現性；同時，比較DCS1和DCS2，可以發現隨著子系統數量的減少，分散控制系統對結構的控制效果也隨之減弱。

圖7 結構最大層間位移角與最大絕對加速度減震率Fig.7 the vibration decreasing ratio of maximum inter-story drifts and maximum absolute accelerations

當控制系統采用協調分散控制策略時，協調分散控制(CDCS1和CDCS2)的結構響應控制效果較分散控制(DCS1和DCS2)和CS有顯著提高，這是由于協調控制器加強了各分散控制器的控制能力，其對各子系統內每一個作動器進行動態協調補償，使得作動器的出力更加理想，CDCS1和CDCS2各作動器均處于最大功效狀態(見圖8)。比較協調分散控制與全維分散控制，可以發現，CDCS1和CDCS2較DCS0而言結構層間位移角與絕對加速度減震效果也有所改善。圖8為El Centro波地震激勵下工況CS，DCS0，DCS1，DCS2，CDCS1和CDCS2各作動器出力峰值。較集中控制與部分分散控制而言，協調分散控制在協調控制器和各子控制器共同作用下使得子系統內各作動器均處于最大功效工作狀態。

圖8 控制力峰值Fig.8 Maximum control forces

參考Benchmark建筑模型評價指標，表3為El Centro波、Kobe波和Taft波地震激勵下各工況結構響應評價指標平均值，其中J1～J3分別為結構層間位移角峰值、絕對加速度峰值、基底剪力峰值，J4～J6分別為層間位移角、絕對加速度、基底剪力范數的峰值，J7為反映結構阻尼耗能自定義的評價指標

(23)

從表3可知，協調分散控制和分散控制各評價指標平均值均表現出與前文所描述結論相似的結果。其中，較工況CS而言，工況CDCS1各評價指標平均值均有較大幅度改善，J1～J7分別提高10%，19%，9%，7%，15%，8%和18%。這是由于傳統集中控制僅設置一個中央控制器，而協調分散控制系統則設置了全局協調控制器和多個子控制器，在各子控制器分散控制的基礎上利用協調控制器對每個作動器進行動態協調補償，同時，子控制器之間無需任何信息交流，縮短了信息反饋與控制指令下達的傳輸時間，減小了時間滯后，從而保證各作動器更加充分地發揮作用，因此，利用最優分散控制器和保性能PID協調控制器設計的協調分散控制策略可以獲得更好的減震效果。

5 結 論

本文在結合極值控制、保性能PID控制和分散控制優點的基礎上提出了適合于建筑結構振動控制的協調分散控制策略。同時采用模擬退火算法對協調分散控制系統內各子控制器進行優化設計。最后，對9層Benchmark結構進行了集中控制、全維分散控制、部分分散控制和協調分散控制設計、優化與比較分析，仿真計算結果表明：

(1) 協調分散控制能有效抑制結構的地震響應，說明所提出的協調分散控制策略是有效、可行的。不同地震激勵下，該控制策略表現出穩定的控制效果，說明其具有較強的魯棒性。

(2) 依據“先分散后協調”設計順序，利用模擬退火算法對各控制器進行優化，可以使得協調分散控制系統內各作動器在協調控制器和子控制器協同控制下處于最佳工作狀態。

(3) 較集中控制而言，協調分散控制對結構各層層間位移角及絕對加速度的控制效果均有顯著提高；由于協調控制器對各作動器的動態協調補償加強了各子控制器的控制能力，協調分散控制可以獲得較分散控制更理想的控制效果。

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