乘性雙態噪聲和周期調制簡諧噪聲激勵下的線性過阻尼諧振子的隨機共振

張 路， 鐘蘇川

(1. 四川大學 數學學院，成都 610065； 2. 四川大學 空天科學與工程學院, 成都 610065)

隨著對隨機振動理論研究的深入，學者們逐漸認識到噪聲對隨機動力系統并不總起破壞作用，而是會產生多種積極的、建設性的重要效應[1]。因此，針對隨機動力系統中噪聲所誘導的各種非線性效應，研究這些效應產生的條件、機制和應用，已經成為近年來非線性科學發展的一個重要的任務。對許多受隨機噪聲作用的動力系統，系統響應的某些函數(如輸出信噪比、矩、自相關函數、功率譜或信噪比等)隨噪聲的某些特征參數(如噪聲的強度、相關率等)呈現非單調性，這類現象被稱為隨機共振(Stochastic Resonance, SR)。隨機共振的概念最早是由Benzi等[2]在20世紀80年代為解釋第四季冰川問題而提出的。隨后，人們針對各種系統和噪聲協同作用產生的隨機共振現象進行了深入的研究[3-8]，發現隨機共振是隨機動力系統中非常普遍的一類現象，這也因此引起了人們的普遍關注和濃厚興趣，并將其廣泛應用于激光物理、生物物理、化學物理及工程信號處理等諸多領域。對各類隨機共振現象及其控制的研究不僅對物理學的研究起著重要的作用，也對工程實際應用有著特殊的價值。

對隨機共振現象的早期研究主要集中在白噪聲驅動的非線性系統，研究認為非線性系統是發生隨機共振的一個必要條件。隨后，Fulinski[9]用數值方法研究了非Markov噪聲作用的一個線性隨機流模型，發現系統的輸出信噪比對噪聲強度也存在非單調的依賴關系。Berdichevsky[10]討論了受乘性色噪聲驅動的線性系統，發現系統穩態響應的幅值增益關于噪聲強度和相關時間非單調變化。在此之后，很多由乘性色噪聲作用的線性系統中都發現了隨機共振現象[11-19]。我們之前的工作，發現由乘性二次色噪聲和周期調制噪聲聯合驅動的線性過阻尼系統，系統穩態響應振幅和方差均存在隨機共振現象[20]。

事實上，自然界中不存在真正的白噪聲，所有噪聲都有長短不一的相關時間(即為色噪聲)，只有噪聲相關時間遠小于確定系統的馳豫時間時，噪聲之間的關聯才可以近似為零從而當作白噪聲處理[21]。然而，還有很多色噪聲廣泛存在于各類實際系統，例如，雙態噪聲(Dichotomous Noise)又稱隨機電報噪聲，是兩態泊松過程的實現[22]，即普遍存在于金屬、超導薄膜、納米器件、雙極型晶體管等器件和材料中，常以對電阻、電導、電壓或電流的影響表現出來。同時，雙態噪聲是兩狀態泊松過程的實現，當噪聲相關率趨于無窮時，它將退化為高斯白噪聲。而簡諧噪聲(Harmonic Noise)作為一種常用的準單色噪聲，是由白噪聲驅動一個阻尼諧振子而生成的[23]，此類噪聲不僅具有噪聲強度，關聯時間還具有頻率特征，可由噪聲強度，頻率參數以及阻尼參數共同控制噪聲的形式[24-25]，但是現有文獻對簡諧噪聲誘導的隨機動力學特性的報道還非常少，因此對其激勵的隨機振動系統進行討論研究有著重要的理論和實際意義。另一方面，通常的加性噪聲與乘性噪聲由于起源的內在機制不同, 因此在同一模型中總被建模成相互獨立的噪聲，但是在某些特殊情況下，這兩種噪聲可能有共同的物理起源,或者在某種條件下, 這二種噪聲相互耦合, 從而表現出相關性[26]。因此，研究噪聲的相關時間以及相關噪聲的相關性對隨機系統各種物理性質的影響，是一個完整的隨機理論不可缺少的方面，而且我們也將在本文的研究結果中發現，相互關聯的色噪聲會使隨機系統表現成簡單白噪聲情況下完全不同的性質。因此，對這類噪聲所產生的非線性效應，也有必要進行深入的研究。此外，將雙態噪聲以乘性方式，簡諧噪聲以周期調制的方式引入線性系統可得到一個精確可解的模型, 而具有精確可解的模型更容易應用到各門具體學科的研究中。

本文針對由乘性雙態噪聲和周期調制簡諧噪聲聯合驅動的線性過阻尼系統，推導了系統穩態響應穩定的充分條件及其振幅的解析表達式，并通過其解析表達式理論分析了系統穩態響應振幅關于噪聲強度、噪聲相關率、非對稱性、關聯率等參數存在隨機共振現象所需滿足的條件，發現了此類系統系統穩態響應振幅關于各種噪聲參數具有隨機共振現象。

1 系統模型

本文考慮具有乘性色噪聲和周期調制色噪聲外激勵的線性過阻尼系統，它的隨機微分方程

(1)

式中：ξ(t)為具有零均值和非零相關函數的色噪聲， 滿足〈ξ(t)〉=0, 〈ξ(t)ξ(s)〉=Dξλξexp(-λξ|t-s|);Dξ為色噪聲強度;λξ為色噪聲的相關率。假設ξ(t)為非對稱的雙態隨機過程， 并且ξ(t)在{A1,-B1}中取值，A1,B1均為正數，ξ(t)的非對稱性用Δξ=A1-B1表示。y(t)為由白噪聲驅動一個阻尼諧振子而生成的簡諧噪聲，滿足如下方程

(2)

式中：η(t)為一個具有零均值和非零相關函數的白噪聲， 滿足〈η(t)〉=0, 〈η(t)η(s)〉=2Dηδ(t-s);Dη為白噪聲強度。 阻尼參數Γ>0主要影響簡諧噪聲的頻域帶寬; 頻率參數ΩE>0則主要影響噪聲的中心頻率位置。由于式(1)中的y(t)為線性二階式(2)的系統響應， 因此，求解式(2)可以得到簡諧噪聲y(t)的解析表達式為

(3)

(4)

經過推導可得簡諧噪聲的穩定相關函數為

(5)

它的相關時間則定義為

(6)

當Γ→∞,ΩE→∞,τy為常數時，簡諧噪聲可退化成O-U噪聲，進一步，若τy→0，簡諧噪聲退化為白噪聲。

同時，假設ξ(t)和η(t)為兩個相關噪聲，滿足

(7)

式中：κ>0為雙態噪聲ξ(t)和白噪聲η(t)的關聯系數;λξη>0為關聯率。

2 系統響應的一階穩態矩及響應振幅

對式(1)兩邊取均值得到

(8)

對式(3)兩邊取均值可得

(9)

將式(9)代入式(8)有

(10)

式(1)兩邊同時乘以ξ(t)并取均值得到

(11)

另外，ξ(t)為雙態噪聲， 由Shapiro-Loginov公式[27]得到

(12)

又由ξ(t)是一個兩態隨機過程，滿足

〈ξ2x〉=Dξλξ〈x〉+Δξ〈ξx〉

(13)

將式(12),式(13)代入式(11)化簡后可得

(14)

同時，在y(t)的解析表達式式(3)兩邊同時乘以ξ(t)并取均值， 同時利用〈ξ(t)〉=0得到

(15)

將式(7)代入式(15)化簡得到

(16)

將式(16)代入式(14)化簡后有

(17)

其中，

(18)

聯立式(10)和式(17)可得〈x〉和〈ξx〉滿足如下的非齊次線性方程組

(19)

式(19)所對應的齊次方程組的特征方程為

λ2+(2a+λξ+Δξ)λ+a(a+λξ+Δξ)-
Dξλξ=0

(20)

由線性方程組穩定性Routh-Hurwitz判據可得如下條件

2a+λξ+Δξ>0,a(a+λξ+Δξ)-Dξλξ>0

(21)

當參數滿足式(21)時，線性方程組組的平衡點(0,0)穩定。在此情況下，若雙態噪聲和白噪聲的關聯率λξη>max(μ1,μ2)， 求解式(19)并令t→∞，可以得到系統的平均穩態響應(一階穩態矩)的解析表達式為

〈x(t)〉st=Astcos(Ωt+φ)

(22)

式中：Ast和φ分別為系統穩態響應的振幅和相位，滿足

(23)

3 隨機共振行為研究

式(23)給出了系統的穩態響應振幅Ast解析表達式， 從Ast的解析表達式可知，Ast關于周期激勵幅度A， 白噪聲強度Dη， 關聯系數κ均為單調遞增函數。 因此不存在隨機共振現象，而關于雙態噪聲強度Dξ， 相關率λξ， 非對稱性Δξ， 兩種噪聲相關率λξη則可能存在非單調性。 下面我們依次分析Ast關于這些參數存在隨機共振現象的條件，并討論系統參數a和簡諧噪聲參數對隨機共振現象的影響。

3.1 Ast 關于雙態噪聲強度Dξ 的隨機共振

當其他參數固定為常數時，Ast可以看成雙態噪聲強度Dξ的函數

(24)

式中：

(25)

當系統參數a分別取1.0,0.5,0.2,0.1時， 系統的穩態響應振幅Ast作為雙態噪聲強度Dξ的函數的曲線圖，如圖1(a)所示。其他參數設置為A=1,Ω=0.1,κ=0.1,Dη=0.1,λξ=0.1, Δξ=0.1,λξη=0.1,Γ=1,ΩE=0.1。可以Ast關于Dξ出現了隨機共振現象， 隨著a的不斷增加，共振峰不斷增高峰值點逐漸右移。Ast作為雙態噪聲強度Dξ的函數在不同周期激勵頻率參數下的曲線圖，如圖1(b)所示。其中，a=0.1，由圖1(b)可知，隨著周期激勵頻率的不斷減小，共振峰越來越高，且峰值點逐漸左移，這說明對于低頻信號會有更明顯的共振現象，而且頻率越低，越微弱的噪聲即能激發共振現象。Ast作為雙態噪聲強度Dξ的函數在不同阻尼參數Γ和頻率參數ΩE情況下的曲線圖， 如圖1(c)和圖1(d)所示。其中，a=1，Ω=0.1,ΩE=0.1(見圖1(c)),Γ=1(見圖1(d))，從圖中可知，隨著Γ和ΩE的不斷減小，共振峰峰值均不斷增大，而共振峰值點始終保持不變，這是因為共振峰值點的位置同Γ和ΩE均無關。

圖1 系統的穩態響應振幅Ast作為雙態噪聲強度Dξ的函數的曲線圖Fig.1 The amplitude of the system steady-state response Ast as functions of noise intensity Dξ

3.2 Ast 關于雙態噪聲相關率λξ 的隨機共振

當其他參數固定為常數時，Ast可以看成雙態噪聲相關λξ的函數

(26)

式中：

(27)

可見Ast關于λξ的單調性與F2(λξ)=Ω2(λξ+γ1)2+(Dξ-a)2(λξ-γ2)2關于λξ的單調性相反， 而dF2/dλξ=2[Ω2+(Dξ-a)2][λξ-[(Dξ-a)2γ2-Ω2γ1]/[Ω2+(Dξ-a)2]]，因此記λSR=[(Dξ-a)2γ2-Ω2γ1]/[Ω2+(Dξ-a)2], 可得：當λξ<λSR時，Ast關于λξ單調遞增； 當λξ>λSR時，Ast關于λξ單調遞減；Ast在λξ=λSR時取到最大值，即出現了隨機共振。

當系統參數a分別取0.7,0.5,0.2,0.1時，系統的穩態響應振幅Ast作為雙態噪聲相關率λξ的函數的曲線圖，如圖2(a)所示。其他參數設置為A=1,Ω=0.1,κ=0.1,Dξ=1, Δξ=0.1,Dη=0.1,λξη=0.1,Γ=1,ΩE=0.1。從圖2(a)可知，Ast關于λξ出現了隨機共振現象， 隨著a的不斷減小，Ast關于λξ的共振峰不斷增高且峰值點逐漸左移。Ast作為雙態噪聲相關率λξ的函數在不同周期激勵頻率Ω情況下的曲線圖， 如圖2(b)所示。其中，a=0.5，可以看到隨著激勵頻率的減小，Ast曲線逐漸出現了共振峰，且峰值越來越大，峰值點逐漸右移。Ast作為雙態噪聲相關率λξ的函數在不同阻尼參數Γ和頻率參數ΩE情況下的曲線圖，如圖2(c)和圖2(d)所示。其中，a=0.5,Ω=0.1,ΩE=0.1(見圖2(c)),Γ=1(見圖2(d))，同樣地，隨著Γ和ΩE的不斷減小，共振峰峰值均不斷增大，而共振峰值點始終保持不變。

圖2 系統的穩態響應振幅Ast作為雙態噪聲相關率λξ的函數的曲線圖Fig.2 The amplitude of the system steady-state response Ast as functions of correlation ratio λξ

3.3 Ast 關于雙態噪聲非對稱性Δξ 的隨機共振

當其他參數固定為常數時，Ast可以看成雙態噪聲非對稱性Δξ的函數

(28)

式中：

δ1=2a+λξ,δ2=[Ω2-a2-(a-Dξ)λξ]/a

(29)

Ast關于Δξ的單調性與F4(Δξ)=Ω2(Δξ+δ1)2+a2(Δξ-δ2)2關于Δξ的單調性相反， 而dF4/dΔξ=2(Ω2+a2)(Δξ-(a2δ2-Ω2δ1)/(Ω2+a2))， 因此記ΔSR=(a2δ2-Ω2δ1)/(Ω2+a2), 可得： 當Δξ<ΔSR時，Ast關于Δξ單調遞增； 當Δξ>ΔSR時，Ast關于Δξ單調遞減；Ast在Δξ=ΔSR時取到最大值，即出現了廣義隨機共振。

當系統參數a分別取1.0,0.5,0.2,0.1時，系統的穩態響應振幅Ast作為雙態噪聲非對稱性Δξ的函數的曲線圖，如圖3(a)所示。 其他參數設置為A=1,Ω=1,κ=0.1,Dξ=1,Dη=0.1,λξ=0.1,λξη=0.1,Γ=1,ΩE=0.1。從圖3(a)可知，Ast關于Δξ均出現了隨機共振現象， 隨著a的不斷減小，共振峰不斷增高且峰值點逐漸右移。Ast作為非對稱性Δξ的函數在不同周期激勵頻率Ω情況下的曲線圖，如圖3(b)所示。其中，a=1， 從圖3(b)可知，隨著激勵頻率的減小，Ast曲線共振峰峰值越來越大，峰值點逐漸右移。Ast作為雙態噪聲非對稱性Δξ的函數在不同阻尼參數Γ和頻率參數ΩE情況下的曲線圖， 如圖3(c)和圖3(d)所示。其中，a=1，Ω=1,ΩE=0.1(見圖3(c)),Γ=1(見圖3(d))，同樣地，隨著Γ和ΩE的不斷減小，共振峰峰值均不斷增大，而共振峰值點始終保持不變。

圖3 系統的穩態響應振幅Ast作為雙態噪聲非對稱性Δξ的函數的曲線圖Fig.3 The amplitude of the system steady-state response Ast as functions of asymmetry coefficient Δξ

3.4 Ast 關于雙態噪聲和簡諧噪聲關聯率λξη 的隨機共振

當其他參數固定為常數時，Ast可以看成噪聲關聯率λξη的函數

(30)

式中：

(31)

當系統參數a分別取1.0,0.5,0.2,0.1時， 系統的穩態響應振幅Ast作為關聯率λξη的函數的曲線圖，如圖4(a)所示。其他參數設置為A=1,Ω=1,κ=0.1,Dξ=1,Dη=0.1,λξ=0.1, Δξ=0.1,Γ=1,ΩE=0.1。 從圖4(a)可知，Ast關于λξη均出現了隨機共振現象， 隨著a的不斷減小，共振峰不斷增高且峰值點逐漸右移。Ast作為關聯率λξη的函數在不同周期激勵頻率Ω情況下的曲線圖，如圖4(b)所示。其中，a=0.1，從圖4(b)可知， 隨著Ω的不斷減小，共振峰峰值均不斷增大，而共振峰值點則不斷右移。Ast作為關聯率λξη的函數在不同阻尼參數Γ情況下的曲線圖，如圖4(c)所示。其中，a=1，Ω=1，ΩE=0.1, 從圖4(c)可知， 隨著Γ的不斷減小，共振峰峰值均不斷增大，而共振峰值點則不斷右移。Ast作為關聯率λξη的函數在不同頻率參數ΩE情況下的曲線圖，如圖4(d)所示。其中，a=1，Ω=1，Γ=1, 隨著ΩE的不斷減小，共振峰逐漸出現，峰值不斷增大，而共振峰值點則逐漸左移。

圖4 系統的穩態響應振幅Ast作為雙態噪聲和簡諧噪聲關聯率λξη的函數的曲線圖Fig.4 The amplitude of the system steady-state response Ast as functions of correlation rate λξη

4 結 論

簡諧噪聲是一種普遍存在的準單色噪聲，這類噪聲和傳統隨機共振中考慮的白噪聲相比，不僅具有傳統的刻畫指標-噪聲強度參數，還具有另外兩個新的指標參數，即阻尼參數和頻率參數。本文考慮了乘性雙態噪聲，周期調制簡諧噪聲共同作用的線性過阻尼諧振子, 通過分析系統穩態響應振幅的共振行為后發現：由于乘性噪聲、周期調制噪聲和線性系統的協同作用，系統響應的穩態幅值關于多種噪聲參數則存在隨機共振現象。并且，系統參數a和簡諧噪聲阻尼及頻率參數均可在一定范圍內實現對線性過阻尼振子隨機共振的有效控制。因此，本文的研究工作充分說明乘性噪聲、周期調制簡諧噪聲和線性系統的協同作用對系統共振行為起著關鍵的作用，從而為進一步深入研究多種形式色噪聲對系統共振行為的影響提供了理論基礎，同時也為后續物理、工程的相關應用提供了堅實的理論依據。

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