實模態跳躍現象的原因及影響分析

張 淼， 于 瀾， 鞠 偉

(1. 長春工程學院 理學院，長春 130012； 2. 中國第一汽車股份有限公司 技術中心，長春 130011)

許多工程結構往往會由于自身外界因素的影響，在結構參數發生微小的變化時，引起結構的部分模態出現急劇變化的現象，稱之為模態跳躍現象。這種現象最早是美國國家航天局的專家在彈性薄板構件的瞬態屈曲試驗過程中發現的，隨后一些學者作了后續的研究[1-2]，近年來，這種現象在力學及工程領域逐漸得到關注，而研究對象也由柔性板等簡單構件逐漸向更復雜的結構轉變[3-4]。此外，在對密頻系統與重頻系統的研究過程中[5-6]，研究人員發現頻率密集極可能會引起模態跳躍現象的發生[7-8]，但這種現象的產生原因及其對結構產生的影響目前還未被提及。

結構的固有頻率(實頻率)及固有振型(實模態)信息是獲得其精確響應的基礎[9-10]，它們的變化對振動分析與控制的影響一直是人們關注的問題，它們的靈敏度值是度量其變化的重要手段。靈敏度分析可以從數值角度去分析實模態和實頻率發生變化的位置及程度。同時，根據本文的研究可知，靈敏度分析還可以解釋模態發生跳躍的原因。

對于一個復雜阻尼系統，首先在設計參數的可行域內采樣實頻率和實模態的數據，利用三次樣條插值繪制它們關于設計參數的曲線圖。通過實頻率曲線圖可以發現密頻區間，重頻點及彎轉區間等。通過實模態曲線圖可以發現模態跳躍、對換及尖峭等現象和變化特點，并找出頻率變化與模態變化之間的內在聯系。其次利用全模態算法計算設計參數觀察點處所對應的系統模態的一階靈敏度，從而揭示模態變化的原因，并把數值計算結果與幾何曲線分析的結果進行對照，以利于準確而全面地反映系統模態參數變化的規律。最后針對在設計參數的觀察點處所構成的多種密頻、重頻、接近密頻和接近重頻等實際結構系統，利用實模態和實頻率來計算其穩態響應，同樣使用三次樣條插值來獲得響應曲線，從而對比分析模態跳躍現象對振動分析的影響，以滿足對各種系統的結構優化及控制的需要。

1 基本理論

N自由度的線性離散振動系統的運動方程為

(1)

(2)

設每個實模態的正則(或稱規范化)常數為ai， 即

(3)

(K-λiM)φi=0

(4)

實際上特征矩陣方程式(4)是關于矩陣M和K的廣義特征問題。 設Φ=[φ1,φ2,…,φN]為無阻尼正則實模態矩陣(下文中在不引起歧義的情況下，正則實模態仍簡稱為實模態)，對單頻對稱系統而言，實模態關于矩陣M和K是加權正交的。因此

再由式(3)，可得

即

ΦTMΦ=E

(5)

代入式(4)，可得

ΦTKΦ=diag(λ1,λ2,…,λN)

(6)

引入設計參數向量b=(b1,b2,…,bq)T， 相應地特征矩陣方程式(4)應為K(b)φ(b)-λ(b)M(b)φ(b)=0，為了討論方便，以下我們仍簡記為式(4)的形式。

(7)

將式(4)兩邊對第j個參數bj求導,得

K,jφi+Kφi,j=λi,jMφi+λiM,jφi+λiMφi,j

(8)

整理式(8)得實模態一階靈敏度φi,j的支配方程為

(K-λiM)φi,j=(λi,jM-K,j+λiM,j)φi

將式(7)代入支配方程，并左乘ΦT, 得

ΦT(K-λiM)Φa(ij)=ΦT(λi,jM-K,j+λiM,j)φi

用單頻系統實模態向量之間的規范正交化關系式(5)和式(6)解耦支配方程，即可析出一階靈敏度系數的控制方程為

由第i個以外的方程可解得一階靈敏度系數為

(9)

(10)

由式(9)和式(10)即獲得全部一階靈敏度系數，代入式(7)即可獲得第階實模態的一階靈敏度為

(11)

需要說明的是，上文中的實模態的一階靈敏度算法對重頻完備系統中的單頻所對應的實模態也是適用的(完備系統指的是N維特征空間中可以找到N個無關的特征向量作為基底)，但不適用于重頻所對應的實模態的一階靈敏度分析。

一階靈敏度可以反映實模態對結構的某些參數所產生擾動的敏感程度，靈敏度越高說明模態越不穩定，因此上述靈敏度的計算公式可以用于測量結構模態的跳躍程度。

由式(11)可知，由于該式右端第二項的分母中含有因子(λk-λi)，而當所求模態落入模態密集區時，它們所對應的頻率差越小，其一階靈敏度系數就會相對越大，因此所求模態的一階靈敏度就會較大，這會導致所求模態產生跳躍。換句話說，模態的密集區間所包含的模態越多，模態們的跳躍性就會越踴躍。另外式(11)還說明，所求模態的一階靈敏度是由所有模態的線性組合來表示的，因此那些靈敏度系數不為零的模態的取值也會影響所求模態的一階靈敏度的大小。再由于式(11)中還含有M,j和K,j，所以這些結構性質矩陣關于設計參數的靈敏度也是影響所求模態的一階靈敏度的大小的因素之一。

綜上所述，實模態的跳躍性的影響因素有三個：①實頻率的密集程度； ②實模態的取值；③結構性質矩陣的靈敏度。但是由式(11)可以排除實頻率的彎轉對實模態跳躍性的影響。這是因為實頻率的彎轉就會導致它的靈敏度發生變化，而在式(11)中不含有實頻率的靈敏度。

2 數值算例1

2.1 實模態跳躍現象

考慮一個2自由度的阻尼系統，如圖1所示。

圖1 兩自由度阻尼振動系統Fig.1 A two-degree-of-freedom system

其中，質量、剛度和阻尼矩陣分別為

為了得到實頻率的曲線圖，需進行采樣。特征矩陣方程式(4)是個廣義特征問題，化為一般特征問題為

λiφi=M-1Kφi

(12)

轉化為矩陣M-1K的標準特征問題， 其中φi={φi1φi2}T(i=1,2)是經過式(3)規范化后的實模態。 令m1=m2=1，k2=0.005，k3=1，取設計參數為k1， 在k1的變化區間[0.6,1.4]內以0.1為步長間隔，按式(12)采樣實頻率數據，再用三次樣條插值，得到實頻率λ1與λ2關于設計參數k1的擬合曲線圖，如圖2所示。

圖2 實頻率關于設計參數k1的曲線Fig.2 Real frequencies versus k1

由圖2可知，系統在k1=1處發生兩個特征值λ1與λ2接近的現象，也就是說，當m1=m2=1，k1=1，k2=0.005，k3=1時系統成為一個實頻率密集系統，簡稱為密頻系統。那么k1取[0.6,1.4]內除1以外的其它值時所形成的系統均稱為接近密頻系統。

與實頻率的分析過程類似，令m1=m2=1，k3=1，k2=0.005， 而取設計參數為k1，其變化區間取為0.6～1.4， 以0.1為步長間隔，獲取由式(5)和式(12)得到的φ1和φ2關于設計參數k1的擬合曲線圖，如圖3和圖4所示。

圖3 第1階實模態φ1關于設計參數k1的曲線Fig.3 The first real mode versus k1

由圖3和圖4可知，φ1和φ2均在k1=1處兩側發生了急轉和跳躍。因此這里確定了實模態跳躍現象是存在的。

圖4 第2階實模態φ2關于設計參數k1的曲線Fig.4 The second real mode versus k1

2.2 實模態跳躍現象的原因分析

當k1=1時，通過計算可得此密頻結構的兩個實模態為

φ1=(-0.707 1,-0.707 1)T
φ2=(-0.707 1,0.707 1)T

兩個實頻率為λ1=1,λ2=1.01。 由式(7)可知

因此，由式(11)得

根據上面的計算過程可知，模態的密集、模態的取值及結構性質矩陣的靈敏度確實是影響實模態跳躍性的重要因素。再由計算結果可知，第1階實模態的第1維分量在k1=1處的靈敏度為正值，它在此處附近必然單調增加且幅度劇烈，其第2維分量在k1=1處的靈敏度為負值，它在此處附近必然單調減少且幅度劇烈，據此數值結果分析第1階實模態必然在k1=1處發生了跳躍。

這個數值結果分析與圖3所見事實相符。類似地可以分析第2階實模態的跳躍現象及原因。

2.3 實模態跳躍現象對振動分析影響

圖5 k1=1時的密頻系統的響應Fig.5 Response of closed-frequency system at k1=1

圖6 k1=0.8時的接近密頻系統的響應Fig.6 Response of quasi-closed-frequency system at k1=0.8

圖7 k1=1.2時的接近密頻系統的響應Fig.7 Response of quasi-closed-frequency system at k1=1.2

由圖3和圖4及本文“2.2”中的分析可知，只有設計參數k1在密頻點1處時，相應的密頻系統的實模態靈敏度最大，即模態的跳躍性最強，但通過圖5、圖6和圖7的對比分析可知，最密頻系統的響應幅度與接近密頻系統的響應幅度相比并無顯著變化，這也說明密頻系統的響應是穩定的。

3 數值算例2

3.1 實模態跳躍現象

考慮一個具有非比例阻尼的3自度阻尼振動系統，如圖8所示。

圖8 三自由度轉子的動力模型Fig.8 A three-degree-of-freedom rotor dynamic model

其質量、阻尼和剛度矩陣分別為

令m1=1 kg，m2=1 kg，m3=1 kg，k1=k5=1 000 N/m，k2=k3=0 N/m，c1=c2=c3=10 N/(m·s-1)，c=0 N/(m·s-1)。取設計參數為k4，在k4的變化區間[970,1 050]內以10為步長間隔，按式(12)采樣實頻率，再用三次樣條插值，得到實頻率λ1，λ2和λ3關于設計參數k4的擬合曲線圖，如圖9所示。

由于圖9中有重疊的部分，因此給出實頻率的數據，更進一步地反映實頻率的狀態，見表1。

由圖9和表1可知，當k4=1 000時，系統的三個實頻率全都發生了重復，稱其為具有3重頻率系統，而

k4在[970,1 050]內取除1 000外的其它值時所形成的系統稱為具有2重頻率系統。用與實頻率分析類似的方法，即用式(5)和式(12)采樣并插值獲取實模態φ1，φ2和φ3關于設計參數k4的擬合曲線，如圖10、圖11和圖12所示。

圖9 實頻率關于設計參數k4的曲線Fig.9 Real frequencies versus k4

參數數值k49809901 0001 0101 0201 0301 040λ19809901 0001 0001 0001 0001 000λ21 0001 0001 0001 0001 0001 0001 000λ31 0001 0001 0001 0101 0201 0301 040

圖10 第1階實模態φ1關于設計參數k4的曲線Fig.10 The first real mode versus k4

圖11 第2階實模態φ2關于設計參數k4的曲線Fig.11 The second real mode versus k4

圖12 第3階實模態φ3關于設計參數k4的曲線Fig.12 The third real mode versus k4

由圖10和圖12可知，φ1和φ3均在k4=1 000附近發生了急轉和跳躍，而在其它點處相對穩定。在圖11中顯示，無論設計參數k4如何變化φ2都保持了絕對的穩定。與上一個算例一樣，我們同樣證實了實模態跳躍現象是存在的。

3.2 實模態跳躍現象的原因分析

從圖10可知，第1階實模態在設計參數k4從990～1 000的過程中，發生了跳躍。而跳躍現象發生的具體位置不能在圖中得以確定，在不加密采樣節點的情況下，下面從數值角度來確定模態發生跳躍的位置，并分析模態跳躍的原因。

首先當k4=990時，通過計算可得此具有2重頻率系統的三個實模態為φ1=(0,0,1)T,φ2=(0,1,0)T,φ3=(1,0,0)T, 三個實頻率為λ1=990,λ2=1 000,λ3=1 000，且它的三個實模態φ1，φ2和φ3是線性無關的，這說明系統是一個完備的具有2重頻率系統，其第1階實模態的靈敏度可以通過本文的方法求解。由式(7)可知

最后由式(11)得

φ1,k4=0

由于這是一個疑似發生跳躍的位置，為了驗證計算的靈敏度的正確性，考慮再用差分靈敏度作進一步的分析。分別取設計參數的擾動量為Δk4=±0.01， Δk4=±0.001， Δk4=±0.000 1， Δk4=±0.000 01時分別計算系統的第1階實模態的左側和右側的一階差分靈敏度，其結果均為0。因此計算靈敏度φ1,k4=0的結論是正確的，第1階實模態在此點附近相對穩定，并沒有發生跳躍。

再繼續尋找跳躍位置。在k4=1 000時這個系統的三個實頻率均相同，所以通過計算可得此時系統的三個實模態分別為φ1=(1,0,0)T，φ2=(0,1,0)T,φ3=(0,0,1)T顯然它們是線性無關的，因此這是一個重頻完備系統。由于所求的第1階實模態是重頻所對應的模態，現考慮用差分方法來估計第1階模態的一階靈敏度。分別取設計參數的擾動量為Δk4=±0.01， Δk4=±0.001， Δk4=±0.000 1時分別計算系統的第1階實模態的一階左側及右側差分靈敏度，數值結果見表2。

由表2的數據說明第1階實模態φ1在點k4=1 000處是不可導的，這當然會導致φ1在k4=1 000處發生跳躍。類似地可分析得到第3階實模態在點k4=1 000處是不可導的，但第2階實模態在點k4=1 000處的計算靈敏度與差分靈敏度均為0。以上數值分析結果與圖10、圖11和圖12所示的事實相符。

表2 第1階實模態在k4=1 000處的差分靈敏度計算結果

通過以上分析可說明，對實頻率重復系統來說，因為模態可能存在不可導現象，因此它們極可能會發生跳躍。

3.3 實模態跳躍現象對振動分析影響

圖13 k4=1 000時的重頻系統響應Fig.13 Response of multi-frequency system at k4=1 000

圖14 k4=970時的接近重頻系統的響應Fig.14 Response of quasi-multi-frequency system at k4=970

圖15 k4=1 020時的接近重頻系統的響應Fig.15 Response of quasi-multi-frequency system at k4=1 020

由圖10、圖11和圖12及本文“3.2”中的分析可知，結構實模態在k4=1 000時跳躍性最強，但由圖13、圖14和圖15對比分析可知，實模態的跳躍性對振動分析的影響并不大。

4 結 論

本文針對由設計參數變化所產生的實頻率密集及實頻率重復等系統，展示了實模態可能發生的跳躍現象，并利用模態的一階靈敏度分析了這種跳躍產生的原因。然后在對這些系統施加相同的簡諧激勵后，分析模態跳躍性對其穩態響應所產生的影響，可得到如下結論：

(1) 實模態在其不可導處會發生跳躍現象。

(2) 實頻率的密集會導致跳躍現象的發生，且密頻程度越高時，模態的跳躍性越強。

(3) 實頻率的彎轉并不是直接導致模態靈敏度變化的明顯因素。

(4) 結構的性質矩陣的靈敏度及實模態的取值也是影響模態變化的不可忽視的原因。

(5) 雖然某些重頻系統的模態跳躍性最強，但這種現象對它的振動響應的影響并不大。

(6) 雖然某些最密頻系統的模態跳躍性最強，但是最密頻系統的響應與其它接近密頻系統的響應相比振幅卻是最小的。

參 考 文 獻

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