磁場中旋轉運動圓板磁彈性超諧-組合共振

胡宇達， 秦曉北

(1. 燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2. 燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

導電導磁結構件廣泛應用于航空航天、超導發電機、電磁傳感器、發動機等眾多高新科技裝置與設備中，處于電磁場中的導電彈性體因為受到電、磁、力等多種因素的作用，而表現出復雜的耦合動力學行為，或將直接影響系統運動的安全性與可靠性。近年來，許多學者展開了這一領域的研究。Moon 等[1]較早的對薄板的磁彈性屈曲問題進行了研究，提出了Moon-Pao模型，為后面研究的學者提供了很多的理論參考；鄭曉靜等[2-3]對磁場中鐵磁梁式板、軟鐵磁殼的動力學特性進行了分析；Hasanyan等[4-5]研究了載流平板的磁彈性屈曲和后屈曲問題，并對處于傾斜磁場中的導電板的非線性振動問題進行了數學建模與研究；Takagi等[6]在考慮磁黏滯阻尼的影響下，采用了新的數值分析方法，對處于磁場環境中的薄板的動力學行為進行了研究；胡宇達等[7-10]研究了磁場中軸向運動導電薄板的非線性動力學行為以及旋轉圓板的磁彈性主共振問題；Bayat等[11]對變厚度功能梯度環形旋轉板的磁熱機械響應進行了研究；Zenkour[12]研究了功能梯度環形夾層板的磁熱彈性響應；高原文等[13]研究了橫向磁場中鐵磁梁式板的混沌運動問題；王省哲等[14]針對磁場中鐵磁梁式板的磁彈性屈曲問題進行了研究；Bhandari等[15]研究了軸向非均勻磁場中旋轉盤引起的鐵磁流體的流動問題；Rad等[16]針對均布外激勵作用下變厚度環形FGM板的磁熱動力響應進行了分析。

在旋轉結構動力學問題的研究中，Pei等[17]針對臨界和超臨界速度下的旋轉柔性薄板進行了研究，分析了溫度分布、熱應力等對旋轉盤動態穩定性及穩態振幅的影響。Sharma等[18]研究了變厚度及變密度彈性旋轉環形薄板的有限差分解。Hussain等[19]研究了加速旋轉盤在黏性流體中的數值解。Jabbari等[20]針對變厚度FGM旋轉圓板進行研究，分析了厚度、角速度等參數對旋轉盤力學性能的影響。

本文針對磁場環境中兩頻激勵作用下的旋轉運動導電圓板的諧波-組合共振問題進行研究，得到系統穩態解穩定的判定條件及幅頻響應方程，繪制幅頻特性曲線、動相平面軌跡圖并分析系統不同物理參量對諧波-組合共振特性的影響。

1 旋轉運動圓板磁彈性基本方程

1.1 應變能與動能

圖1為旋轉運動導電圓板在外加磁場B0作用下的示意圖。圓板的板厚為h，半徑為R，密度為ρ。

圖1 旋轉圓板示意圖Fig.1 Rotating circular plate diagram

設旋轉運動圓板內任意一點的位移為

ur1=ur+zu1

(1)

uθ1=uθ+zv1

(2)

uz=w

(3)

用位移表達的中面內力

(4)

(5)

(6)

則旋轉圓板的中面應變勢能表示為

(7)

用位移表示的彎矩，扭矩

(8)

(9)

(10)

則旋轉圓板的彎曲應變勢能表示為

(11)

板上任意一點的速度表達式

(12)

式中：i，j，k分別為坐標軸r，θ，z方向上的單位向量。

則旋轉圓板的動能為

(13)

1.2 電磁力

旋轉運動導電圓板電流密度表達式

J=σ0(E+V×B)

(14)

式中：σ0為電導率；E為電場強度矢量；B為磁感應強度矢量。

磁場環境中旋轉運動圓板受到的洛倫茲力矢量表達式

f(fr,fθ,fz)=J×B0

(15)

(16)

(17)

(18)

則電磁力、電磁力矩在虛位移上所做的虛功為

(19)

假設圓板在橫向位移w上產生了微小的變化量δw，則Fz在虛位移δw上所做的功為

(20)

1.3 振動方程

應用Hamilton原理建立旋轉運動圓板的振動微分方程

(21)

將式(7)、式(11)、式(13)、式(19)和式(20)代入式(21)中，得到旋轉運動導電圓板軸對稱非線性磁彈性振動微分方程

(22)

2 周邊夾支旋轉板諧波-組合共振求解

2.1 振型函數與無量綱化方程

受組合動載荷Fz=F1cosω1t+F2cosω2t作用下做旋轉運動的圓形薄板，設滿足周邊夾支邊界條件的位移函數為

(23)

將式(23)代入式(22)，應用伽遼金法進行積分，推得旋轉運動圓板無量綱化振動方程

(24)

2.2 共振問題的多尺度法求解

對于兩頻激勵，考慮超諧波共振和組合共振同時發生的聯合共振情況，系統的無量綱化頻率為

(25)

式中：σ1，σ2為頻率調諧參數。

(26)

采用多尺度法求解方程，取時間尺度T0=τ，T1=ετ，討論一次近似解，可將式(26)的解表示為

q(τ,ε)=q0(T0,T1)+εq1(T0,T1)

(27)

將式(27)代入式(26)，令方程兩端的ε0和ε1項的系數相等，可得到如下線性偏微分方程分別為

(28)

(29)

式(28)的通解為

q0=A(T1)eiT0+Λ1eiΩ1T0+Λ2eiΩ2T0+cc

(30)

將式(30)的通解代入式(29)，根據消除久期項的條件，得到關于A的關系式

(31)

(32)

(33)

分析式(32)和式(33)，當且僅當σ1T1-β和σ2T1-β都為常數時才能存在穩態運動，即β′=σ1=σ2=σ，同時，令γ=σT1-β，對于穩態運動a′=γ′=0，則由式(32)和式(33)可得到磁場環境下旋轉運動圓板諧波-組合共振幅頻響應方程

(34)

2.3 穩定性分析

研究系統穩態運動下解的穩定性問題，設

a=a0+a1,γ=γ0+γ1

(35)

式中：a0，γ0為系統穩態運動下的穩態解；a1，γ1為小的擾動量。

將穩態解a,γ代入式(32)和式(33)，并對小的擾動量a1，γ1進行Taylor展開，可得到關于a1和γ1的一階線性近似式

(36)

(37)

根據Lyapunov穩定性近似理論，穩態運動下解的穩定性依賴于式(36)和式(37)右端系數矩陣的特征值。通過式(36)和式(37)的Jacobi矩陣并考慮到穩態運動下a′=γ′=0，可得到特征方程

(38)

再根據Hurwitz判據，可得系統穩態解穩定的充要條件

(39)

3 算例分析

針對磁場環境下受橫向動載荷作用的鋁制旋轉圓形薄板進行數值分析，得到反映旋轉運動圓板諧波-組合共振特性的圖形。主要參數：密度ρ=2 670 kg/m3，泊松比μ=0.34，彈性模量E=71 GPa，電導率σ0=3.63×107(s/m)，圓板半徑R=0.4 m。

圖2為轉速Ω=8 000 r/min時共振振幅a隨頻率調諧參數εσ的變化規律曲線圖。由圖2可知，在給定εσ范圍內，共振幅頻響應曲線向右偏移，呈現硬彈簧特性，隨著εσ的改變，系統出現多值性和跳躍現象，呈現典型的非線性振動特性；隨著磁感應強度的增加，共振曲線呈現明顯的內縮趨勢，共振區域變窄，振幅減小，可見磁場起到了電磁阻尼的作用；圖2(b)、圖2(c)和圖2(d)中顯示，隨著板厚的減小，外激勵力幅值F1，F2的增大，在給定的εσ范圍內，系統共振區域變寬，激發多解區域的臨界點呈滯后右移趨勢。

圖2 幅頻a-εσ響應圖Fig.2 Amplitude frequency response

圖3為振幅a隨磁感應強度B0z變化曲線圖，取F1=500 N/m2，F2=1 000 N/m2，Ω=8 000 r/min和h=4.5 mm。從圖3可知，在給定的B0z范圍內，圖中曲線呈現關于B0z=0左右對稱形式，在給定調諧參數εσ范圍內，曲線呈現從單值到多值并逐漸縮頸最終分離出上部的封閉曲線趨勢；調諧參數的改變對曲線變化規律影響顯著。圖中由虛線分割的多值解區域中，區域1、區域3代表穩定解區域，區域2代表不穩定解區域。

圖4為不同調諧參數下振幅a-力幅F1，F2的三維變化圖，取B0z=0.5 T，h=4.5 mm及Ω=8 000 r/min。從圖4可知，在給出的幾種調諧參數下，激勵力幅值F1=0時，無論F2取何值，共振振幅均為0，而當F≠0時，F2=0可能激發振動，激發的共振是超諧波共振。從F1等于某一值的截面看，共振振幅a隨F2的變化曲線可以出現持續增加、先增加后減小或先減小后增加等多種復雜情況，調諧參數εσ的微小改變對曲線的影響顯著。

圖5為不同磁感應強度下振幅a-力幅F1，F2的三維變化圖，取h=4.5 mm，εσ=0.001及Ω=8 000 r/min。從圖5可知，磁感應強度取較小值時，振幅a隨激勵力幅值F1，F2變化曲線較復雜，振幅有先增加后減小或先減小后增加等多種形式，增大磁感應強度到某一值后，振幅呈單一增大趨勢。

圖6為h=4.5 mm時振幅a隨外激勵力幅值F1變化規律曲線圖。從圖6(a)可知，B0z=0.5 T時，小的F1就可以激發系統的多值解，當磁感應強度B0z增大到一定值后，系統的解退化為單值，共振振幅隨之減?。粡膱D6(b)可知，系統的解呈現從一個到三個再到一個的轉變，隨著轉速的增大，系統的多值解區域變窄，共振曲線向左偏移；圖6(c)為不同調諧參數下的a-εσ變化規律曲線，從圖6(c)可知，εσ取值的大小決定了單值曲線到多值曲線的變化，隨著εσ的增大，系統的多值解區域變寬，多值解區域共振振幅隨之增加；圖6(d)顯示激勵力幅值對共振曲線影響較大，當F2=0時，系統解呈現從單值到多值，后又變為單值的變化趨勢，此時系統僅激發超諧波共振，增大F2，共振曲線繼續向左偏移，解由多值逐漸退化為單值。

圖7為Ω=8 000 r/min時振幅a隨激勵力幅值F2變化規律曲線圖。圖7(a)顯示隨著F1的增加，共振曲線向左偏移，呈現軟彈簧特性，且隨著磁感應強度B0z的增大，多值解區域減小，共振曲線呈明顯內縮趨勢；圖7(b)、圖7(c)顯示隨著板厚、調諧參數的增大，共振曲線向右偏移，激發多值解的臨界點呈滯后右移趨勢；圖7(d)顯示，隨著F1的增大，共振曲線向左偏移，激發超諧-組合共振多值解所需要的激勵力F2值減小，F1=0時，a-F2共振曲線不會被激發。

圖3 振幅a-磁感應強度B0z響應圖Fig.3 Amplitude-magnetic density response

圖4 振幅a-力幅F1，F2的三維變化圖Fig.4 Three-dimensional variations of amplitude a-excitation amplitude F1， F2

圖5 振幅a-力幅F1、F2的三維變化圖Fig.5 Three-dimensional variations of amplitude a-excitation amplitude F1，F2

圖6 振幅a-激勵力幅值F1響應圖Fig.6 Amplitude a-excitation amplitude F1

圖8為改變初始條件得到的動相平面軌跡圖，箭頭指出了軌跡的運動方向，取參數F1=500 N/m2，F2=1 000 N/m2，h=4.5 mm，B0z=0.5 T，Ω=8 000 r/min。圖中顯示當調諧參數εσ取不同值時，穩態解的個數也不同。圖8(a)只有一個穩定焦點S1，其共振振幅為aS=0.157，記為S1(aS=0.157)。圖8(b)中顯示有兩個穩定焦點S1(aS=0.052)，S3(aS=0.393)和一個不穩定鞍點S2(aS=0.338)?？梢姡瑘D8(b)中的穩態解與圖8(c)中的結果是一致的，且圖8(c)中的上支和下支曲線是穩定解，中部曲線是不穩定解，其解的不同取決于初始條件。

圖9為取板厚h=4.5 mm，εσ=0.08時的動相平面軌跡圖。圖9(a)給出了不同磁感應強度下對應的兩個穩定焦點，其中B0z=2 T對應點S1(aS=0.393)，B0z=0.5 T對應點S2(aS=0.381)；圖9(b)給出了不同力幅F2下對應的兩個穩定焦點，其中F2=800 N/m2和F2=1 000 N/m2分別對應點S1(aS=0.452)和S2(aS=0.393)?？梢姡瑓⒘康母淖儗ο到y非線性穩態解有顯著影響。

圖7 振幅a-激勵力幅值F2響應圖Fig.7 Amplitude a-excitation amplitude F2

圖8 動相平面軌跡Fig.8 Moving phase plane trajectory

圖9 動相平面軌跡Fig.9 Moving phase plane trajectory

4 結 論

本文針對磁場環境中受兩頻激勵作用旋轉運動圓板的超諧-組合聯合共振問題進行了研究，研究結果表明：

(1)在給定頻率參數范圍內，共振曲線向右偏移，呈硬彈簧特性，并出現多值性和跳躍現象，呈現典型的非線性振動特性。

(2)隨著力幅的增加，共振曲線向左偏移，呈現軟彈簧特性，且隨著磁感應強度的增大，多值解區域減小，共振曲線呈明顯內縮趨勢。

(3)初始條件對非線性系統的穩態響應影響較大，幅頻響應曲線上支和下支部分是穩定解，中間部分是不穩定解。由此可見，通過改變不同參量，可實現穩態解從多值到單值、穩定到不穩定的轉變，從而達到控制系統共振現象的目的。

參 考 文 獻

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