基于動態(tài)時間歸整距的地震動特性分析及合成精度評價

何浩祥， 解 鑫， 王文濤

(北京工業(yè)大學(xué) 工程抗震與結(jié)構(gòu)診治北京市重點實驗室，北京 100124)

地震動是復(fù)雜的時間-空間隨機(jī)過程。受震源機(jī)制、傳播途徑、頻散效應(yīng)及場地條件等因素影響，某一點的地震動的頻率分布和強度均具有明顯時變特征和非平穩(wěn)性，致使相關(guān)的結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)也具有時頻非平穩(wěn)性。此外，由于地震動在空間上也具有強隨機(jī)性和不均勻性，同一次地震下不同測點的波形特性也有區(qū)別，從而導(dǎo)致大跨度結(jié)構(gòu)或多點支撐結(jié)構(gòu)的地震激勵和不同位置的響應(yīng)均具有差異。眾多研究表明：幅值(強度)、頻譜和持時是表征地震動基本特性的三要素。目前的結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計和分析主要通過場地類別和地震影響系數(shù)來反映地震動的頻譜和強度特性，相對宏觀和粗略。隨著地震工程學(xué)的發(fā)展，無論是為了準(zhǔn)確細(xì)致地刻畫地震動時頻演變特性及不同地震動之間的差異，還是為了評價人工合成地震波或振動臺產(chǎn)生的模擬波是否滿足規(guī)范和工程需求，均需要對強度、頻譜和持時進(jìn)行更精確的量化分析。鑒此，提出能夠綜合評價不同地震波的波形變化和特性演變的指標(biāo)具有重要的研究和工程意義。

實際上，在其它領(lǐng)域的研究中也需要甄別不同時域信號的異同，相關(guān)方法可統(tǒng)一稱為波形相似度評價。適用于區(qū)分不同地震波的波形相似度評價指標(biāo)主要包括峰值偏差、波形相關(guān)系數(shù)和波形失真度等指標(biāo)。僅采用峰值偏差來區(qū)別不同波形無疑是不夠精確的。波形相關(guān)系數(shù)法采用兩個信號卷積的最大值來度量波形相關(guān)程度，其計算量大且無法反應(yīng)信號的局部差異。信號的時域失真度可定義為對比波各點幅值與基波各點幅值殘差有效值和基波各點幅值有效值之比。信號的頻域失真度可定義為對比信號的各次諧波的能量和與基波總能量值之比。一般認(rèn)為波形失真度是衡量地震波相似度的首選指標(biāo)，主要采用位移波形失真度和加速度波形失真度進(jìn)行評價。雖然波形失真度的物理意義明確、易于計算，但仍然不能全面細(xì)致地表征對比波形和基波波形的吻合程度，尤其是對局部隨機(jī)特性的評價存在誤差。因此，亟需提出更精確的波形相似度評價方法和指標(biāo)。

動態(tài)時間規(guī)整(Dynamic Time Warping, DTW)算法最早用于處理語音信號識別和分類，其核心思想是將對比信號伸長或縮短，直到與基信號的長度一致，在這一過程中，對比信號的時間軸會產(chǎn)生扭曲或彎折，以便其特征量與標(biāo)準(zhǔn)模式對應(yīng)，從而進(jìn)行對比分析。DTW能夠計算這兩個信號序列的相似程度，并且給出能最大程度降低兩個序列距離的點到點的匹配，其匹配和識別效果良好。DTW算法已被廣泛應(yīng)用于諸如動態(tài)多變量工業(yè)過程的故障診斷、生物基因排序、心電圖信號分類等領(lǐng)域[1-2]。

目前研究者已將DTW算法初步應(yīng)用到地震分析和比較中。Joswing等[3-4]以地震波之間的DTW距作為判斷弱局部地震主事件關(guān)聯(lián)性的標(biāo)準(zhǔn)，并利用DTW距來對魯爾盆地開采誘發(fā)地震的位置進(jìn)行比較和聚類。張博等[5]在動態(tài)時間規(guī)整的基礎(chǔ)上，建立逐步代價最小決策法，并以此作為識別地震與爆破的方法。劉瑞林等[6]利用動態(tài)時間規(guī)整對相鄰地震波進(jìn)行動態(tài)波形匹配并計算波形匹配費用，將波形匹配費用作為相鄰地震道波形差異和地層橫相變化的度量。董汝博等[7]通過分析合成多點地震動的DTW距離，發(fā)現(xiàn)部分點的DTW距離具有奇異性，提出采用內(nèi)插法合成多點地震動。吳祚菊等[8]基于DTW距離提出了一種有利于大規(guī)模時間序列數(shù)據(jù)挖掘的分段聚合時間彎曲距離，構(gòu)建了空間多點人工地震動幅值收斂因子。李英民等[9]采用DTW距離代替相關(guān)系數(shù)作為地震動相似性度量標(biāo)準(zhǔn)，提出了改進(jìn)的多維相關(guān)圖法進(jìn)行地震動非參數(shù)研究。然而，以上成果通常只將DTW距作為判定地震動相似或收斂的一種指標(biāo)，缺少對DTW距基本性能和規(guī)律的進(jìn)一步挖掘，也沒有論證地震數(shù)據(jù)在時空上的非平穩(wěn)性和分布特征方面與DTW距之間的物理內(nèi)涵。

鑒此，本文進(jìn)一步探究了DTW距在地震動中的應(yīng)用性，提出基于DTW距的地震動波形辨識和地震動特性分析的評價方法，系統(tǒng)考慮時差、幅值、噪信比及時空分布等因素影響下DTW距變化規(guī)律，并將其作為人工生成地震動的評判標(biāo)準(zhǔn)之一。結(jié)果表明DTW距能夠準(zhǔn)確而細(xì)致地表征以上因素對地震動的影響并對不同波形的特征和非平穩(wěn)性進(jìn)行較精確辨識，從而成為地震動波形相似度評價和波形選優(yōu)的有效依據(jù)。

1 DTW算法

DTW算法是把時間規(guī)整和間距測量相結(jié)合的一種非線性規(guī)整技術(shù)，其核心是通過尋找一條有效的路徑，來準(zhǔn)確計算并測量出兩條波各對應(yīng)時間點之間的距離，從而通過距離來判斷兩條波之間的相似度，DTW距離越小則相似度越高[10-11]。假設(shè)有兩條地震波T和R分別有N和M個數(shù)據(jù)點，且N≠M。n和m分別為兩條波中的數(shù)據(jù)點編號。將T和R的各數(shù)據(jù)點分別沿坐標(biāo)系的橫軸和縱軸列出，則各個數(shù)據(jù)點號之間的關(guān)系可構(gòu)成一個網(wǎng)格，網(wǎng)格中的任何一個交叉點(n,m)表示T(n)和R(m)的相交，并且該交叉點的失真度為d[T(n),R(m)],如圖1所示。DTW算法是要尋找一條通過各個交叉點的從起始點到終止點的最佳路徑，使得該路徑上所有的交叉點失真度總和達(dá)到最小。

圖1 動態(tài)時間規(guī)整算法求最小失真度Fig.1 Dynamic time warping algorithm for minimum distortion

DTW路徑的選擇不是任意進(jìn)行的。首先，考慮到地震動波形具有時間先后順序，各個部分的次序不能顛倒，因此路徑的選擇必然從左下角出發(fā)，終止于右上角。其次，為了使路徑不發(fā)生過分的傾斜，對路徑中各通過點的路徑平均斜率的最大值和最小值加以限制，使得最大和最小值盡量對稱分布在斜率為1的對角線兩側(cè)，可以約束斜率在0.5～2.0。然后，路徑選擇是必須考慮所有數(shù)據(jù)，不可以跳過任何一點。最后，到達(dá)任一點(ni,mi)時的前一個點只能是(ni-1,mi)、(ni-1,mi-1)、(ni,mi-1)三點中的一點。此時該點的DTW距離即D(n,m)可用遞推公式表示為

D(ni,mi)=d[(T(ni),R(mi))]+

min[D(ni+1,mi)+D(ni+1,mi+1)+D(ni,mi+1)]

(1)

通過遞推公式，即可求得從起始點到終止點的最佳路徑，從而得出兩波形之間的DTW距。由上分析可見，利用DTW距對地震動波形進(jìn)行相似度檢驗和波形特征評價是可行的。為了檢驗DTW算法的精度，本文選取兩條典型的地震波進(jìn)行計算，時間間隔均為0.02 s，主要分析前10 s的數(shù)據(jù)。圖2為兩條波的動態(tài)

圖2 兩條典型地震波的動態(tài)規(guī)整路徑圖Fig.2 Dynamic regular path of two typical earthquake waves

規(guī)整路徑圖，圖中白色曲線即表現(xiàn)出計算過程中最佳路徑的選擇過程，DTW距為12.97，可見該算法消除了彎折現(xiàn)象對距離測度的不良影響，能有效處理局部時間位移，最終得出合理的匹配結(jié)果。如果將其中一條地震波局部峰值部分進(jìn)行調(diào)換，并以原波為基準(zhǔn)計算DTW距，獲得的DTW路徑參見圖3，此時DTW距為7.15，相對較小。可以看出當(dāng)兩條波的局部波形相同時DTW路徑是一條直線，而對調(diào)部分的路徑則變成了曲線，該結(jié)果展現(xiàn)了DTW算法在選擇最佳路徑時的一個動態(tài)過程，且DTW距和路徑對波形的改變是敏感的。以上研究表明將DTW距作為地震動波形相似度評價的指標(biāo)是相對準(zhǔn)確和客觀的。

圖3 同一條地震波部分調(diào)換后動態(tài)規(guī)整路徑圖Fig.3 Dynamic regular path of the same wave after partial exchange

2 基于DTW的地震動波形特征評價

地震動的特性一般可以通過幅值、頻譜和持時這三個基本要素來描述。對于不同的地震動，當(dāng)此三要素僅在極值或整體界限上有所區(qū)別時相對容易進(jìn)行辨識和特征評價。然而，當(dāng)此三要素均發(fā)生變化或在局部出現(xiàn)差異時，相似度評價的難度劇增。對于天然地震動，在相似場地條件下獲取的地震波蘊含著類似的機(jī)理和變化規(guī)律，但其隨機(jī)性和非平穩(wěn)性往往掩蓋了內(nèi)在的相似性，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行深入挖掘。在人工地震動合成中，由于算法本身存在不足而不能充分反映地震動真實特征，加之隨機(jī)噪聲的引入，評價不同合成方法的精度以及同一方法隨機(jī)生成的不同模擬波形的相似度亟需準(zhǔn)確而穩(wěn)定的方法。當(dāng)使用地震模擬振動臺進(jìn)行結(jié)構(gòu)動力試驗時，控制系統(tǒng)的誤差不僅會導(dǎo)致臺面輸出波與原波的幅值不同，還會混入噪聲并產(chǎn)出遲滯現(xiàn)象，判斷臺面波是否滿足精度要求也需要良好的波形相似度評價方法[12-13]。如前所述，利用DTW距進(jìn)行波形相似度評價具有良好效果，應(yīng)該可以對不同波形的幅值比例、行波效應(yīng)(時差)、噪聲水平和局部變化特性等進(jìn)行全面而細(xì)致比較，是較理想的波形相似度辨識指標(biāo)。因此，基于DTW距探究以上因素對地震動特性的影響規(guī)律是很有必要的。為了得到相關(guān)規(guī)律，本文對天然地震動數(shù)據(jù)進(jìn)行DTW統(tǒng)計分析，首先分別研究各要素影響下的DTW距變化規(guī)律，進(jìn)而研究考慮綜合效益的地震動波形相似度評價和和特征辨識標(biāo)準(zhǔn)。具體分析時，從PEER地震動數(shù)據(jù)庫[14]中選取典型的40條加速度波作為樣本，其中四類場地各取10條地震波，時間間隔均為0.02 s，對各因素影響下的DTW距變化規(guī)律進(jìn)行統(tǒng)計分析。

2.1 地震動幅值與DTW距的關(guān)系

為了研究加速度峰值對兩地震波的DTW距的影響，從上述40條地震波中任意選取了兩條地震波數(shù)據(jù)w1和w2，首先將兩條地震波數(shù)據(jù)均進(jìn)行歸一化處理，將歸一化后的w2乘以不同的幅值放大系數(shù)得到不同的波形，再計算各波形和w1之間的DTW距，典型的結(jié)果如圖4所示。從圖4可知，地震動幅值與DTW距的之間是嚴(yán)格的線性關(guān)系，且幅值對DTW距的影響十分顯著。因此對于同一地震動可根據(jù)線性關(guān)系直接計算出不同幅值放大系數(shù)下的DTW距。此外，該結(jié)果也表明當(dāng)需要比較除幅值之外的因素對地震波的影響時，應(yīng)將各地震波的幅值調(diào)成一致方能進(jìn)行評價。

圖4 DTW隨地震波幅值變化圖Fig.4 Variation of DTW with seismic amplitude

2.2 考慮行波效應(yīng)的DTW距統(tǒng)計分析

為了得到行波效應(yīng)(時差)影響下的DTW距的統(tǒng)計規(guī)律，首先對40條地震波進(jìn)行歸一化，從而排除地震波幅值對DTW距的影響。之后在數(shù)據(jù)起始點逐漸增加零值數(shù)列從而增大時差，得到四類不同場地類型上行波效應(yīng)影響下的DTW距，如圖5所示。其中μ為均值，σ為均方差。全部地震波的DTW距均值μ隨時差的變化曲線，如圖6所示。由圖6可知，時差對地震波的DTW距的影響是隨機(jī)的，近似于線性，且影響程度較弱。

圖5 四類場地土上DTW隨時差變化圖Fig.5 Variation of DTW with time difference for different sites

圖6 DTW距隨時差變化圖Fig.6 Variation of DTW with time difference

2.3 考慮噪信比的DTW距統(tǒng)計分析

雖然噪聲不會改變地震波的總體變化趨勢，但能夠使地震波局部發(fā)生突變，從而導(dǎo)致兩條原值相同地震波之間的DTW距也有所區(qū)別。為了得到噪信比(噪聲幅值與信號幅值之比，信噪比為其倒數(shù))影響下DTW距的變化規(guī)律，對選取的40條地震波進(jìn)行歸一化處理，并生成等長的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布白噪聲。設(shè)噪信比為白噪聲最大幅值與歸一化地震波最大幅值之比，將具有不同強度的白噪聲其疊加到歸一化地震波中，形成具有不同噪信比的地震波。對于不同的地震波，計算考慮不同噪信比的新波與原波之間的DTW距，所有結(jié)果如圖7所示。從圖7可知，DTW距與噪信比呈近似線性關(guān)系，且噪信比對DTW距的影響較明顯。圖8為DTW距隨噪信比的統(tǒng)計值分布圖，由此可進(jìn)一步確定考慮不同噪信比下DTW距的合理取值范圍。

圖7 噪信比影響下DTW距變化圖Fig.7 Variation of DTW distance with different noise to signal ratio

圖8 DTW距隨噪信比的統(tǒng)計值分布圖Fig.8 Statistical distribution of DTW distance with noise

2.4 綜合考慮時間差和信噪比的DTW距三維統(tǒng)計分析

實際的地震動差異是由多種因素綜合決定的，因此無論是比較不同真實地震動的差異還是評價模擬地震動的精度，都不能只考慮單一因素的影響。由于幅值對DTW距的影響最為顯著，其關(guān)系十分明確，且該效應(yīng)可直接識別，因此研究者更關(guān)心的是波形變化和細(xì)節(jié)差異。有鑒于此，本文同時考慮時差和信噪比的影響，針對40條歸一化地震波求出不同時差和不同噪信比下相互之間的DTW距，得到DTW距統(tǒng)計均值的三維曲面圖，如圖9所示。從圖9可知，綜合考慮時差和噪信比的DTW距的分布基本在一斜平面上，且具有明顯的規(guī)律性。

對于人工合成或振動臺產(chǎn)生的地震波，當(dāng)評價其是否符合真實地震動特性時，一般只考慮是否滿足反應(yīng)譜和功率譜的精度等要求。實際上，由于地震波的幅值已經(jīng)由工程需求確定，研究者更關(guān)心的是波形的變化特性和規(guī)律，但一直缺乏有效的評價指標(biāo)。因為圖9的結(jié)果是由大量真實地震動獲得的統(tǒng)計均值，且其數(shù)值和范圍是穩(wěn)定的，所以可將DTW距作為波形精細(xì)化評價的標(biāo)準(zhǔn)。在評價中，可通過計算歸一化后的生成地震動與多個典型的歸一化真實地震動之間的DTW距均值，并結(jié)合圖9來判斷波形精度是否滿足要求，如果所計算的DTW距超過了允許時差和信噪比范圍內(nèi)的DTW參考值，則不建議使用該生成波而需要重新生成和擇優(yōu)。在人工合成地震動精度評價時，可以僅考慮噪信比的影響，因此也可以直接以圖8的結(jié)果作為評價參考值。當(dāng)評價振動臺產(chǎn)生的地震波是否滿足精度時，由于附加噪聲和遲滯現(xiàn)象都可能產(chǎn)生，因而需要嚴(yán)格以圖9的結(jié)果作為評價標(biāo)準(zhǔn)，且可結(jié)合DTW路徑進(jìn)行波形細(xì)節(jié)比較。

圖9 綜合考慮時差和噪信比的DTW三維分布圖Fig.9 Distribution of the DTW withtime difference andnoise

3 基于DTW距的臺陣地震動空間變化效應(yīng)

在上述研究中，各條地震波是分別從不同地震記

錄中獨立選取的，由此計算得到的DTW距也不直接相關(guān)，相應(yīng)的結(jié)果適用于通常的地震動波形評價。對于某一次地震，小尺度區(qū)域的地震動具有類似的路徑和場地條件，其衰減特性也相近，因此由地表上不同測點記錄到的波形既有區(qū)別又有聯(lián)系，體現(xiàn)了時間-空間變化效應(yīng)。該效應(yīng)對大跨結(jié)構(gòu)和橋梁有重要影響，因此在對大跨結(jié)構(gòu)和橋梁進(jìn)行地震動力分析時需要真實而細(xì)致地體現(xiàn)地震動的時空演變特征和規(guī)律。為了檢驗DTW距能否反映地震動時空變化特征以及其作為多點地震動和地震動場規(guī)律的評價指標(biāo)的能力，需要對實際臺陣的強震觀測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。

我國臺灣的SMART-1(Strong Motion Array in Taiwan-1)臺陣是1979年開始布設(shè)的高密度臺陣，包括一個中心臺站測點(C-00)，36個均勻分布在三個半徑分別為200 m,1 000 m和2 000 m的同心圓圓周上的臺站測點和延伸線上的2個臺站測點[15-16]。SMART-1 臺陣測點分布,如圖10所示。除了延伸線上的2個臺站測點外，所有臺站測點均布設(shè)在沖積土場地上，所以本文選取除2個延伸測點外的其他測點作為有效測點。

本文選擇以往臺陣記錄中具有代表性的Event 40的地震動數(shù)據(jù)(南北向)，以最接近震源的O07點為基準(zhǔn)點，計算出其它各測點與基準(zhǔn)點之間的DTW距，分別將外環(huán)(首字母為O)、中環(huán)(首字母為M)和內(nèi)環(huán)(首字母為I)的各測點的加速度DTW距畫于極坐標(biāo)圖中并做連線，結(jié)果如圖11所示。按照類似方法，將相應(yīng)各測點的位移DTW距畫于極坐標(biāo)圖12中。從圖12可知，靠近震源的各測點DTW距更能反映不同地震波的衰變特征，各環(huán)的加速度DTW距分布并不規(guī)則，除了在西北方向均具有衰減之外，在其他方向的隨機(jī)性較明顯。各環(huán)的位移DTW距分布相對更加有規(guī)律性。

圖10 SMART-1臺陣測點分布 圖11 各測點加速度DTW距 圖12 各測點位移DTW距 Fig.10 Array measuring points Fig.11 Acceleration DTW distance of Fig. 12 Displacement DTW distance of distribution of SMART-1 each measuring point each measuring point

下面進(jìn)一步探究DTW距的物理內(nèi)涵。根據(jù)DTW算法原理可知DTW距實際是波形從起始點到終止點的最佳路徑距離之累積和，而范數(shù)是對當(dāng)前向量在空間的一種長度度量，因此可認(rèn)為DTW距具有與向量范數(shù)相似的數(shù)學(xué)含義。加之DTW距恒大于等于0且與地震動幅值具有線性關(guān)系，因此從向量范數(shù)角度可認(rèn)為其具有正定性和齊次性。由于信號的絕對值之和為1-范數(shù)，而信號的能量(平方和求和)的方根是2-范數(shù)，根據(jù)范數(shù)等價性原則，DTW距應(yīng)與以上兩種范數(shù)即信號的等效幅值和能量密切相關(guān)。為了驗證上述設(shè)想，分別計算各測點的位移波絕對值之和、速度波絕對值之和以及加速度波絕對值之和，并進(jìn)行綜合比較和分析。外環(huán)、中環(huán)和內(nèi)環(huán)各測點的結(jié)果，分別如圖13～圖15所示。

綜合對比圖11～圖15的結(jié)果可知：各測點加速度DTW距分布特征與各測點地震波的加速度絕對值之和分布極為相似，且兼有位移絕對值和與速度絕對值和的部分特征。各測點位移DTW距分布特征與各測點地震波的位移絕對值之和分布也十分相似。

圖13 外環(huán)各測點的四種值變化Fig.13 Variation of four values of the outer circle

圖14 中環(huán)各測點的四種值變化圖Fig.14 Variation of four values of central circle

圖15 內(nèi)環(huán)各測點的四種值變化Fig.15 Variation of four values of the inner circle

由此可以推斷：各物理量的DTW距實際上能夠表征相應(yīng)物理量時域信號的等效幅值和能量，且可以反映不同地震波時差和傳播特性的綜合影響，而DTW距的分布能夠在整體上反映地震動時空變化特征。因此將DTW距作為多點地震動和地震動場時空演變規(guī)律的有效評價指標(biāo)是合理的。

4 基于DTW距的人工地震動空間變化效應(yīng)和精度評價

在地震動合成研究領(lǐng)域，國內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量工作，眾多優(yōu)良的合成方法被相繼提出[17-18]。由于地震動合成主要為結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計和分析提供基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，目前大部分方法是以合成與設(shè)計反應(yīng)譜和功率譜相吻合的地震波為目標(biāo)的，且要對原始波形乘以時域包絡(luò)函數(shù)以保證地震波非平穩(wěn)性。近年來的研究表明地震動的隨機(jī)特性是由幅值譜和相位差譜共同決定的，基于相位差譜的合成地震動能夠更真實地反映地震動非平穩(wěn)性。此外，考慮到地震動場的空間變化效應(yīng)(包括行波效應(yīng)、部分相干效應(yīng)和局部場地效應(yīng))，尚需根據(jù)相干函數(shù)理論模型進(jìn)行對于多點地震動的合成。由于隨機(jī)模擬合成的地震動通常不能全面而準(zhǔn)確地反映真實地震動的時頻非平穩(wěn)特征，加之各種理論和方法固有的特點和局限，各種地震動合成方法的精度并不統(tǒng)一。無論是評價不同方法的精度還是同一方法隨機(jī)生成的不同模擬波形的相似度，均需要準(zhǔn)確而穩(wěn)定的評價標(biāo)準(zhǔn)，以便進(jìn)一步選擇更真實可靠的地震動。基于DTW距的波形評價為上述問題提供了較好的解決工具。

4.1 基于DTW距的人工地震動精度評價

對于合成地震動生成方案的評價，可以通過判斷不同合成方案的DTW距精度是否滿足要求來實現(xiàn)，因此需要確定DTW距精度評判標(biāo)準(zhǔn)。本文選取前述40條地震波，計算相互的DTW距離，得到780個不同的DTW距，通過統(tǒng)計其均值和標(biāo)準(zhǔn)差來確定合理的DTW距離精度評價標(biāo)準(zhǔn)，并以均值±0.5倍的標(biāo)準(zhǔn)差作為合成地震波的合理DTW距范圍，以均值±1倍標(biāo)準(zhǔn)差作為合成地震波的可接受DTW距范圍。計算得到合成地震波的DTW距合理范圍為[134.9, 287.1]，相應(yīng)的DTW距可接受范圍為[58.9, 363.2]。

相應(yīng)精度評價標(biāo)準(zhǔn)確定后，通過各種合成方法隨機(jī)生成多條地震波，計算由每一種合成方法得到的地震波之間相互DTW距并求其均值和方差，將其與上述DTW距范圍標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行比較，以此來評價各地震動合成方法的合理性和準(zhǔn)確性。

本文利用地震動模擬軟件SEAS[19]中的多種理論模型和合成方法產(chǎn)生人工地震動，合成地震波為地震動場中所選點的加速度時程。將合成方法、相干函數(shù)、包絡(luò)函數(shù)和功率譜等四種不同的方法或模型用字母A，B，C，D，E及N等表示，從而形成不同的組合來表示不同的地震動生成方案。表1給出各方法或模型與字母相對應(yīng)的關(guān)系。例如，ABBC表示選擇利用包絡(luò)函數(shù)和功率譜生成空間相關(guān)非平穩(wěn)地震動場的合成方法，且將Hao模型作為相干函數(shù)模型，包絡(luò)函數(shù)選為Shinozuk模型，功率譜模型為Clough-Pizen模型。

在人工地震動合成過程中，場地類型選擇為Ⅲ類，考慮地震動空間變化效應(yīng)。由各生成方案分別合成10條地震波，計算每種方案的10條地震波之間的DTW距，并計算相應(yīng)均值，結(jié)果如表2所示。分析表中結(jié)果可知，相關(guān)函數(shù)的類型對人工地震波之間的DTW距影響非常小，可以忽略不計，因此只需分析表2中的最后一列整合方案的數(shù)據(jù)，并與前面統(tǒng)計得到的實際地震波DTW距均值μ、DTW距合理范圍[μ+0.5σ,μ-0.5σ]和DTW距可接受范圍[μ+σ,μ-σ]進(jìn)行綜合比較，結(jié)果如圖16所示。

表2 各生成方案對應(yīng)的DTW距均值Tab.2 The mean value of DTW distance for each generation scheme

圖16 各生成方案DTW距分布范圍圖Fig.16 DTW distance distribution of each generation scheme

由圖16可知，方案D-BC和A-CC在DTW距合理范圍[μ+0.5σ,μ-0.5σ]之內(nèi)，A-BC處于DTW距的可接受范圍[μ+σ,μ-σ]之內(nèi)，而D-CC，B-NC，E-NC的數(shù)據(jù)則偏離較大處于不合理范圍。綜上所述，模擬精度較高的地震動生成方案一般均需選擇Clough-Pizen模型作為功率譜模型，其他具體方式包括：①合成方法選擇利用包絡(luò)函數(shù)和功率譜生成空間相關(guān)非平穩(wěn)地震動場且包絡(luò)函數(shù)模型選擇Jennings模型；②合成方法選擇空間相關(guān)非平穩(wěn)地震動場基于包絡(luò)函數(shù)的反應(yīng)譜擬合，包絡(luò)函數(shù)模型選擇Shinozuk模型。可接受的生成方案為：合成方法選擇利用包絡(luò)函數(shù)和功率譜生成空間相關(guān)非平穩(wěn)地震動場、包絡(luò)函數(shù)模型選擇Shinozuk模型。選用其他地震動生成方案可能出現(xiàn)精度不穩(wěn)定等現(xiàn)象，應(yīng)謹(jǐn)慎選擇和使用。

4.2 人工合成地震動的空間變化效應(yīng)評價

確定出合理地震動生成方案后，還需要對由同一方案隨機(jī)生成的不同波形特性進(jìn)行進(jìn)一步評價，以便選擇更具有典型意義的地震動。當(dāng)需要合成多點地震動時，還需要確保這些地震動能夠反映空間變化效應(yīng)的基本規(guī)律。在考慮空間變化效應(yīng)的情況下，一般認(rèn)為如果兩條地震波的距離較近，二者的差異較小，相應(yīng)DTW距也較小；如果兩條波的距離較遠(yuǎn)，二者的差異較大，相應(yīng)的DTW距也較大。根據(jù)前文的研究，尤其是圖11和圖12的結(jié)果，可以認(rèn)為當(dāng)生成多點地震動時，隨著各點距離的增加確保DTW距也逐漸增加更能夠代表地震動時空變化效應(yīng)的一般規(guī)律。因此在從若干個多點合成地震波結(jié)果中挑選地震波時，應(yīng)至少確保一組地震波的加速度DTW距及位移DTW距能夠滿足上述條件。

下面通過算例進(jìn)一步說明該要求。設(shè)有需要生成地震動的5個點在同一直線上，坐標(biāo)分別為(0,0),(500,0),(1 000,0),(1 500,0)和(2 000,0)，單位為m。場地類型選擇為Ⅲ類，考慮空間變化效應(yīng)，視波速為1 000 m/s。利用能夠得到合理DTW距的生成方案“②”合成3組不同地震波數(shù)據(jù)，每組各有5條隨機(jī)地震波。計算各點與原點之間的DTW距，相應(yīng)的結(jié)果如圖17和圖18(a)～圖18(c)所示。從圖17～圖18可知：生成的3組地震波的DTW距并非全都隨著距離增大而遞增，因而不能完全體現(xiàn)空間變化效應(yīng)的基本規(guī)律。針對上述問題，本文將地震波重新組合，并計算新組合的5條地震波之間的DTW距，經(jīng)過調(diào)整最終獲得滿足條件的結(jié)果，如圖17和圖18(d)所示。對于該組地震波，隨著各點之間距離的增大，位移DTW距和加速度DTW距均呈遞增趨勢，故此時更能體現(xiàn)地震動空間變化效應(yīng)。因此，采用DTW距進(jìn)行人工地震動的合成精度評價及遴選是更加準(zhǔn)確而有效的，能夠選出更真實有效的地震動，從而為結(jié)構(gòu)動力分析提供更可靠的激勵源數(shù)據(jù)。

圖17 加速度DTW距隨各點的距離變化圖Fig.17 Acceleration DTW distanceof different points

圖18 位移DTW距隨各點的距離變化圖Fig.18 Displacement DTW distance of different points

5 結(jié) 論

利用DTW算法能夠計算兩個信號的相似程度，并且給出能最大程度降低兩個序列距離的點到點的匹配，因此可以采用DTW路徑和DTW距實現(xiàn)波形比較和相似度評價。鑒于DTW距能夠準(zhǔn)確而全面地反映不同地震動波形的差異，本文提出基于DTW距的地震動波形辨識及地震動特性研究的方法。通過對大量典型地震波進(jìn)行計算分析，分別得到了僅考慮幅值、時差、噪信比和綜合考慮時差與噪信比時的DTW距變化規(guī)律，驗證了可將DTW距作為波形精細(xì)化評價的標(biāo)準(zhǔn)。對Smart-1臺陣記錄中的Event40地震動數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，結(jié)果表明DTW距分布情況能夠較準(zhǔn)確地反映區(qū)域內(nèi)地震動時間-空間變化效應(yīng)。

(1)基于DTW距的物理意義并結(jié)合向量范數(shù)的數(shù)學(xué)含義，闡述了DTW距與向量范數(shù)在本質(zhì)上是等效的，并進(jìn)一步認(rèn)為在地震動分析中DTW距與信號的等效幅值和能量密切相關(guān)，其分布規(guī)律類似。通過臺陣數(shù)據(jù)分析驗證了以上觀點。

(2)基于DTW距對人工地震動的精度和空間變化效應(yīng)進(jìn)行評價，通過計算大量地震波之間相互的DTW距和統(tǒng)計參數(shù)，確定了合理的DTW距范圍和可接受的DTW距范圍，并以此作為合成地震動的精度評價標(biāo)準(zhǔn)。分析結(jié)果證明DTW距可以作為多點地震動和地震動場演變規(guī)律的有效評價指標(biāo)。此外，也通過對人工合成地震動中的不同合成方法、相干函數(shù)、包絡(luò)函數(shù)和功率譜模型進(jìn)行組合和對比分析，確定了能夠獲得更真實特性的人工合成地震動的方法。

(3)對于能夠體現(xiàn)基本的地震動空間變化效應(yīng)的地震波組合，其DTW距應(yīng)隨距離的增大呈遞增趨勢。由于隨機(jī)選取的地震波不能充分體現(xiàn)上述規(guī)律，因此可將DTW距的變化規(guī)律作為依據(jù)對多條成地震波進(jìn)行重新組合和評價，實現(xiàn)具有空間變化效應(yīng)的人工地震動的合成精度評價及遴選。本文提出的相關(guān)方法也可為其他領(lǐng)域的信號分析和波形相似度評價提供參考。

參 考 文 獻(xiàn)

[ 1 ] HAN T, LIU X, TAN A C C. Fault diagnosis of rolling element bearings based on multiscale dynamic time warping [J]. Measurement, 2016, 95:355-366.

[ 2 ] ZHEN D, WANG T, GU F, et al. Fault diagnosis of motor drives using stator current signal analysis based on dynamic time warping[J]. Mechanical Systems & Signal Processing, 2013,34(1/2):191-202.

[ 3 ] JOSWIG M, SCHULTE-THEIS H.Master-event correlations of weak local earthquakes by dynamic waveform matching [J].Geophysical Journal International, 1993, 113(3): 562-574.

[ 4 ] SCHULTE-THEIS H, JOSWIG M. Clustering and location of mining induced seismicity in the Ruhr Basic byautomated Master Event comparison based on dynamic waveform matching (DWM)[J].Computers & Geosciences, 1993, 19(19): 233-241.

[ 5 ] 張博, 邊銀菊,王婷婷. 用逐步代價最小決策法識別地震與爆破[J]. 地震學(xué)報, 2014, 36(2): 233-243.

ZHANG Bo, BIAN Yinju, WANG Tingting. Identification of earthquake and explosion by using the method of stepwise cost minimization [J].Acta Seismologica Sinica, 2014, 36(2): 233-243.

[ 6 ] 劉瑞林, 楊峰平, 信毅. 動態(tài)波形匹配預(yù)測火山巖地層的橫向變化[J]. 地球物理學(xué)進(jìn)展, 2004, 19(4): 946-952.

LIU Ruilin, YANG Fengping, XIN Yi. Prediction of the lateral variation of volcanic rock formation by dynamic waveform matching [J].Progress in Geophysics, 2004, 19(4): 946-952.

[ 7 ] 董汝博, 周晶, 馮新. 一種考慮局部場地收斂性的多點地震動合成方法[J]. 振動與沖擊, 2007, 26(4): 5-21.

DONG Rubo, ZHOU Jing, FENG Xin. Multi point ground motion synthesis method considering local site convergence [J]. Journal of Vibration and Shock, 2007, 26(4): 5-21.

[ 8 ] 吳祚菊, 張建經(jīng),王志佳. 空間多點人工地震動幅值收斂性研究[J]. 振動工程學(xué)報, 2015, 28(4): 610-617.

WU Zuoju, ZHANG Jianjing, WANG Zhijia. Research on convergence of dynamic amplitude of multi point artificial earthquake in space [J].Journal of Vibration Engineering, 2015, 28(4): 610-617.

[ 9 ] 李英民, 吳哲騫,陳輝國. 多維標(biāo)度法在地震動空間特性分析中的應(yīng)用[J]. 土木建筑與環(huán)境工程, 2012, 34(5): 6-11.

LI Yingmin, WU Zheqian, CHEN Huiguo. Application of multidimensional scaling method in the analysis of spatial characteristics of ground motion [J].Journal of Civil,Architectural and Environmental Engineering, 2012, 34(5): 6-11.

[10] FORESTIER G, LALYS F, RIFFAUD L, et al. Classification of surgical processing using time warping [J].Journal of Biomedical Informatics, 2011, 45(2): 255-264.

[11] GOLLMER K, POSTEN C. Supervision of bioprocesses using a dynamic time warping algorithm [J].Control Engineering Practice, 1996, 4(9):1287-1295.

[12] 郭繼峰, 任萬濱,康云志, 等. 電動振動臺模型辨識方法及其應(yīng)用的研究[J]. 振動與沖擊, 2011, 30(7): 241-244.

GUO Jifeng, REN Wanbin, KANG Yunzhi,et al. Research on identification method and application of electric vibration table model [J]. Journal of Vibration and Shock, 2011, 30(7): 241-244.

[13] 欒強利, 陳章位,徐進(jìn)榮, 等. 地震模擬振動臺三參量控制技術(shù)研究[J]. 振動與沖擊, 2014, 33(8): 54-60.

LUAN Qiangli, CHEN Zhangwei, XU Jinrong, et al. Research on three parameter control technology of earthquake simulation shaking table [J]. Journal of Vibration and Shock, 2014, 33(8): 54-60.

[14] Pacific Earthquake Engineering Research Center. Technical report for the PEER ground motion database web application [EB/OL].(2010-10-01)[2016-11-10]. http://peer_berkeley_ground_motion_database /Technical.Report.pdf．

[15] HAO H, OLIVEIR C S, PENIZEN J. Multiple-station ground motion processing and simulation based on smart-1 array data [J]. Nuclear Engineering and Design, 1989, 111(3): 293-310.

[16] 田利, 李宏男, 侯和濤. SMART-1臺陣地震動激勵下輸電塔線體系反應(yīng)分析[J]. 工程力學(xué), 2013,30(增刊1):273-283.

TIAN Li, LI Hongnan, HOU Hetao.Response analysis of transmission tower line system under SMART-1 platform vibration excitation [J].Engineering Mechanics, 2013,30(Sup1):273-283.

[17] BERNDT D J, CLIFFORD J. Finding patterns in time series: a dynamic programming approach [M]. Menlo Park: American Association for Artificial Intelligence, 1996.

[18] SARAGONI G R, HART G C. Simulation of artificial earthquakes [J]. Earthquake Engineering & Structural Dynamics, 1973, 2(3): 249-267.

[19] 楊慶山, 田玉基. 地震地面運動及其人工合成[M]. 北京:科學(xué)出版社, 2014.