趨勢項(xiàng)誤差的低頻極限特征理論模型與處理方法研究

王乾勛， 閆 明， 杜志鵬， 張 瑋， 李 營

(1. 沈陽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 沈陽 100870； 2. 海軍裝備研究院， 北京 100161)

艦艇水下爆炸沖擊強(qiáng)度通常通過對加速度信號轉(zhuǎn)換而成的沖擊響應(yīng)譜表征[1]。加速度信號易受測量系統(tǒng)以及環(huán)境的因素的影響而產(chǎn)生復(fù)雜的誤差[2]。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中很小的誤差經(jīng)過積分后會被放大，對數(shù)據(jù)的真實(shí)性會產(chǎn)生巨大的影響，尤其這種誤差存在于信號中較為廣泛時(shí)域范圍內(nèi)[3-4]。趨勢項(xiàng)誤差就是這一類誤差，它是指信號中周期大于記錄長度的成分，一旦出現(xiàn)，會影響接下來的整個時(shí)域曲線,趨勢項(xiàng)的存在，會使得信號在沖擊響應(yīng)譜低頻段出現(xiàn)很大的誤差，甚至完全失真[5]。

在艦艇抗沖擊設(shè)計(jì)中，雖然有限元仿真法是一種重要途徑，但是實(shí)船水下爆炸試驗(yàn)仍然是研究艦艇抗沖擊能力最有效最直接的方法。為了從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中得到更可靠的結(jié)果，諸多學(xué)者提出了各種修正數(shù)據(jù)的方法。李海廣等提出利用正負(fù)沖擊響應(yīng)譜互相關(guān)系數(shù)為重構(gòu)條件的自適應(yīng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?Empirical Mode Decomposition, EMD)漂移修正新方法；于大鵬等提出將沖擊響應(yīng)的沖量信息變化情況，作為艦艇船體結(jié)構(gòu)與設(shè)備的沖擊響應(yīng)數(shù)據(jù)濾波截止頻率的選取依據(jù)；Smallwood提出了使用在小阻尼和無阻尼情況下加速度沖擊譜與位移沖擊譜在低頻處的衰減斜率分別為6 dB/oct與12 dB/oct；杜志鵬等[6]提出一種通過傅里葉變換法將設(shè)計(jì)譜與實(shí)測信號結(jié)合的方法，得到了同時(shí)包含設(shè)備安裝部位沖擊特性和標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)譜沖擊量值的沖擊信號；Irvine等[7]總結(jié)了實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生趨勢項(xiàng)的6種因素；Gaberson[8]強(qiáng)調(diào)在繪制沖擊響應(yīng)譜時(shí)要保證加速度、速度與位移曲線在沖擊結(jié)束時(shí)刻歸零，即保證沖擊信號中無趨勢項(xiàng)誤差，才能使得響應(yīng)譜在各頻率呈現(xiàn)理論特征；Grillo[9]提出對沖擊加速度信號積分獲得速度信號，對速度信號使用最小二乘法擬合去除趨勢項(xiàng)，最后微分獲得處理后的加速度信號；胡玉梅等[10]采用低頻衰減算法對加速度信號在頻率內(nèi)直接積分，并利用積分精度控制方程保證積分精度的方法去除趨勢項(xiàng)；梁兵等[11]利用經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)法處理非平穩(wěn)信號中的加速度信號；李慧浩等[12]對小波變換法與EMD法在風(fēng)電信號趨勢項(xiàng)處理中進(jìn)行了對比分析；吳志成等[13]提出了汽車車身垂向振動加速度實(shí)測信號用小波法消除趨勢項(xiàng)時(shí)小波基的選擇方法。

以上作者對趨勢項(xiàng)誤差的研究做出了重要貢獻(xiàn)，但沒有給出趨勢項(xiàng)誤差對沖擊譜影響的作用機(jī)理。本文對殘余沖擊響應(yīng)譜的計(jì)算公式進(jìn)一步推導(dǎo)，建立了趨勢項(xiàng)誤差的低頻極限特征理論模型，解釋了趨勢項(xiàng)引起沖擊譜低頻是真的原因。并結(jié)合艦船水下爆炸沖擊信號的特點(diǎn)，對沖擊數(shù)據(jù)處理方法的效果提出了合理的判據(jù)，并提出了一種雙指數(shù)衰減的修正方法，最后給出了這種修正方法在實(shí)船爆炸試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用實(shí)例。

1 趨勢項(xiàng)誤差的低頻極限特征理論模型

1.1 四坐標(biāo)偽速度沖擊響應(yīng)譜

沖擊響應(yīng)譜是由一系列具有不同固有頻率的彈簧-質(zhì)量振子(見圖1)受到瞬時(shí)沖擊作用后的最大響應(yīng)值(位移響應(yīng)、速度響應(yīng)、加速度響應(yīng)等)組成的。在艦艇沖擊領(lǐng)域，沖擊譜常用四對數(shù)坐標(biāo)系來表示，如圖2所示。理想的四坐標(biāo)偽速度沖擊響應(yīng)譜類似三折線譜，在低頻，曲線漸進(jìn)于某一條與橫坐標(biāo)成+45°的直線，譜位移值不隨頻率降低而改變；在中高頻階段，譜線近似平行于橫坐標(biāo)，譜速度不隨頻率變化而變化；在高頻，曲線漸進(jìn)于某一條與橫坐標(biāo)成-45°的直線，譜加速度值不隨頻率升高而改變。存在趨勢項(xiàng)誤差的四坐標(biāo)偽速度沖擊響應(yīng)譜，在低頻不會出現(xiàn)與橫坐標(biāo)成+45°現(xiàn)漸近線，如圖2中含有趨勢項(xiàng)的曲線所示。

圖1 沖擊譜模型Fig.1 Shock spectrum model

圖2 四坐標(biāo)偽速度沖擊響應(yīng)譜Fig.2 Pseudo velocity shock response spectrum

1.2 趨勢項(xiàng)誤差的低頻極限特征理論模型推導(dǎo)

沖擊響應(yīng)譜在低頻處的數(shù)值，通常決定于殘余沖擊響應(yīng)，殘余沖擊響應(yīng)是指沖擊輸入結(jié)束后，系統(tǒng)自由振動的階段的響應(yīng)。根據(jù)文獻(xiàn)[8]，單自由度質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)可以由式(1)求得，其中等號右邊前兩項(xiàng)為初始條件，第三項(xiàng)為杜哈梅爾積分

(1)

(2)

假定系統(tǒng)為零輸入響應(yīng)，則根據(jù)式(1)可得

(3)

(4)

假設(shè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)的阻尼比為0，即：ξ=0，則式(2)～式(4)可簡化為

(5)

(6)

(7)

式中：ωn為系統(tǒng)的固有頻率。

根據(jù)三角函數(shù)運(yùn)算，式(5)可以簡化為

(8)

由式(8)可知，當(dāng)sin(ωnt+φ)=±1時(shí)，殘余沖擊響應(yīng)達(dá)到最大值，最大值為

(9)

運(yùn)用分部積分法，對殘余響應(yīng)的初始相對速度值做進(jìn)一步分析

(10)

(11)

式中：N=te/Δτ;Δτ為采樣時(shí)間間隔，Δτ→0。

同樣，對式(6)求ωn→0的極限

(12)

將式(10)和式(12)代入式(9)中

(13)

(14)

2 雙指數(shù)趨勢項(xiàng)修正方法

水下爆炸一般分為沖擊波和氣泡脈動兩個過程，持續(xù)時(shí)間在幾十毫秒～幾百毫秒[14]，在采樣長度足夠的情況下，其沖擊加速度、速度、位移時(shí)域曲線，在沖擊結(jié)束后皆歸零，此結(jié)論可以用來作為沖擊信號修正合理性的判據(jù)。目前常用的趨勢項(xiàng)處理方法，皆無法滿足以上判據(jù)，且存在自身問題。例如，數(shù)字濾波法無法確定合理的截止頻率，而且會過濾掉有用頻率成分；最小二乘法需預(yù)先知道趨勢項(xiàng)的階數(shù)[15]；EMD經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)法存在端點(diǎn)效應(yīng)的問題，且無法確定其幾階imf分量中包含趨勢項(xiàng)成分[16-17]。通過大量的數(shù)據(jù)分析，水下爆炸沖擊信號的趨勢項(xiàng)是一個緩慢衰減的誤差成分，衰減規(guī)律近似于指數(shù)衰減，為此，設(shè)計(jì)了一種雙指數(shù)修正方法，其函數(shù)如式(15)。延遲因子υ與衰減因子α兩個系數(shù)控制修正量的峰值時(shí)刻和衰減速率。延遲因子υ前的指數(shù)修正函數(shù)用來避免修正帶來的跳躍波動，延遲因子υ后的指數(shù)修正函數(shù)用來模擬趨勢項(xiàng)的衰減過程。

(15)

式中：A1,A2,A3為待定常數(shù)；α為衰減因子，α>0；υ為延遲因子，0<υ

圖3 修正方法流程圖Fig.3 Flow chart of the correction method

3 雙指數(shù)修正方法的應(yīng)用實(shí)例

如圖4所示(本節(jié)圖中縱坐標(biāo)數(shù)值只用來表示規(guī)律特征)，為實(shí)船水下爆炸試驗(yàn)測量獲得的沖擊加速度信號，及經(jīng)過積分后獲得的速度與位移曲線。由圖4可知，通過加速度信號無法分辨數(shù)據(jù)中是否含有趨勢項(xiàng)，但是速度與位移在信號結(jié)束后不歸零，根據(jù)上文中所建立誤差模型式(14)可知，信號中含有明顯的趨勢項(xiàng)特征。

圖4 原始信號Fig.4 Origin signal

按照圖3中設(shè)計(jì)方法的步驟，借助MATLAB軟件中的Global Search優(yōu)化指令，編寫了計(jì)算程序，得到最優(yōu)延遲因子為0.374 6，衰減因子為3.44×10-7，系數(shù)A1=-0.048 2，A2=-0.019 6，A3=6.02×104，修正量的時(shí)域曲線,如圖5所示。

圖5 修正量Fig.5 Correction of the method

原信號減掉修正量，得到修正后的沖擊信號，如圖6所示。經(jīng)修正后的沖擊加速度、速度與位移曲線在沖擊結(jié)束時(shí)刻皆歸零。

圖6 修正后的信號Fig.6 Corrected signal

如圖7所示，為信號修正前后兩者用雙對數(shù)坐標(biāo)顯示的位移沖擊響應(yīng)譜曲線。由圖7可知，修正前的位移譜隨著頻率減小，數(shù)值增大，與式(14)所體現(xiàn)的特性吻合；修正后的信號位移沖擊響應(yīng)譜在低頻處數(shù)值穩(wěn)定，在0.1～10 Hz滾降率提高近38 dB/oct，在0.1 Hz處對位移沖擊譜修正量接近20 dB。如圖8所示，為信號修正前后對應(yīng)的四坐標(biāo)沖擊響應(yīng)譜，修正前后沖擊響應(yīng)譜對于不含趨勢項(xiàng)的中高頻幾乎無影響，而對于低頻的響應(yīng)修正較大，并在低頻出現(xiàn)明顯的漸進(jìn)線的特征。以上說明，此方法對于實(shí)船水下爆炸試驗(yàn)的沖擊加速度信號的趨勢項(xiàng)處理有效且合理。

圖7 修正前與修正后對應(yīng)的位移沖擊譜Fig.7 Displacement shock response spectrum with and without trend items

圖8 修正前與修正后對應(yīng)的偽速度沖擊響應(yīng)譜Fig.8 Pseudo velocity shock response spectrum with and without trend items

4 結(jié) 論

(1)利用極限與分部積分的思想，推導(dǎo)了殘余沖擊譜的計(jì)算公式，最終得到趨勢項(xiàng)誤差的低頻極限特征理論模型，解釋了沖擊加速度信號中的趨勢項(xiàng)誤差產(chǎn)生沖擊譜低頻失真的原因，即：趨勢項(xiàng)會導(dǎo)致沖擊信號的速度在沖擊結(jié)束時(shí)刻不歸零，使得譜位隨頻率趨于零而趨于無窮大，從而產(chǎn)生偏差。

(2)將加速度、速度、位移時(shí)域曲線在沖擊結(jié)束時(shí)刻歸零作為信號合理性的判據(jù)，設(shè)計(jì)了雙指數(shù)修正方法；通過對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的應(yīng)用，表明該方法可以明顯去除加速度中的趨勢項(xiàng)，在0.1～10 Hz滾降率提高近38 dB/oct，在0.1 Hz處對位移沖擊譜修正量接近20 dB，且對不包含趨勢項(xiàng)誤差的中高頻段的沖擊譜影響較小。

(3)此修正方法中，引用了自然常數(shù)為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，適用于速度信號中含有類似指數(shù)函數(shù)趨勢項(xiàng)誤差的艦船水下爆炸沖擊加速度信號的修正，并且可以用于其他工程領(lǐng)域的信號處理。

參 考 文 獻(xiàn)

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