Karabut系統的亞純首次積分

曲婧佳, 楊雙羚, 馮 雪

(1.空軍航空大學 基礎部， 吉林 長春 130022;2.吉林建筑大學城建學院, 吉林 長春 130114)

0 引 言

為了研究理想不可壓縮的重質流體在平底上的無渦旋平穩運動,Karabut考慮了如下邊值問題的解[1-3]:

(1)

設式(1)具有如下形式的解：

W=θ2W1(χ)+θ4W2(χ)+θ6W3(χ)+…

這種形式的解對應了淺水擴張現象。進一步假設Wj(χ)是關于cosh-2(χ/2)的多項式函數,并記ζ=eχ。那么,上式可改寫為：

W=E1(θ)ζ+E2(θ)ζ2+E3(θ)ζ3+…

這種序列由Witting在文獻[4]中提出,同時,他也給出了系數Ej的遞推公式。Karabut證明：對于θ=mπ/n(m,n∈Ζ)，Witting序列的精確求解等價于求解一組n元一階微分方程組。具體引入函數

Pj(χ)=W(ζω2j-2)

ω=eiθ,j=1,2,…，n

滿足方程組:

(2)

因此,為了求解邊值問題(1)具有Witting序列形式的解,我們只需要解積分方程組(2)，并取W=P1。

Karabut在文獻[1，3]分別證明了系統(2)在θ=π/3,θ=π/4是可積的, 并給出了Witting序列的精確表達式。文獻[5]研究了該系統的非哈密頓意義下的可積性。這里用不同的方法研究該系統亞純首次積分的最大個數問題。文中主要考慮θ=π/5的情形。記

則系統(2)可以改寫成關于變量fj的標準形式的常微分方程組:

做時間尺度變換

并記yi:=fi,則Karabut等價于如下系統:

(3)

式中,“·”表示對時間t的求導。

數值模擬顯示,Karabut系統(3)具有復雜的動力學行為。文中將從不可積性的角度去認識該系統的拓撲結構。如果該系統有(n-1)個函數獨立的首次積分,一般我們稱一個微分動力系統是完全可積的。

1 主要結果及證明

定理1Karabut系統(3)至多有三個函數獨立的亞純首次積分。

定理2Karabut 系統(3)不是亞純完全可積的。

通過分析系統(3)沿某個非平衡特解的變分方程的Galois群的性質,去證明該系統至多只有三個函數獨立的首次積分。因為系統(3)是相對于權(1,1,1,1,1)的擬齊次系統,所以它存在自相似解:

其中,非零向量c=(c1,c2,c3,c4,c5)滿足代數方程組:

c1+c3c5-c2c4=0

c2+c4c1-c3c5=0

c3+c2c5-c1c4=0

c4+c1c3-c2c5=0

c5+c2c4-c1c3=0

(4)

經計算,得到一組解

c=(-i,-1,1,i,0)

系統(3)沿著該自相似解的變分方程是

(5)

其中,A(t)是系統(4)沿著該自相似解的Jacobi矩陣,即

做變換ξ=t-1χ,方程(5)變為

(6)

進一步得到系統(6)的一個子系統,法向變分方程

(7)

參考文獻：

[1] Karabut E A. Summation of the witting series in the solitary wave problem[J]. Siberian Mathematical Journal,1995,36(2):287-304.

[2] Karabut E A. Asymptotic expansions in the problem of a solitary wave[J]. Journal of Fluid Mechanics,1996,319:109-123.

[3] Karabut E A. Summation of the witting series in the solitary-wave problem[J]. Appl. Mech. Tech. Phys.,1999,40:36-45.

[4] Witting J. On the highest and other solitary waves[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics,1975,28(3):700-719.

[5] Christov O. Non-integrability of the karabut system[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications,2016,32:91-97.

[6] Ziglin S L. Branching of solutions and nonexistence of first integrals in Hamiltonian mechanics[J]. Functional Analysis and its Applications,1982,16(3):181-189.

[7] Morales-Ruiz J J, Ramis J P. Galoisian obstructions to integrability of Hamiltonian systems[J]. Methods Appl. Anal.,2001,8(1):33-96,97-112.