不定積分的8種計算方法

丁伯倫， 凌婷婷， 榮婉君， 朱曉明

(安徽信息工程學院 基礎教學部， 安徽 蕪湖 241000)

0 引 言

1 形式變換法

方法1首先可以巧妙地借助余割函數的不定積分結果[1]，計算出正割函數的不定積分。

由于

基于正割函數與余割函數的關系，可得：

ln|secx+tanx|+C

這里采用恒等變換的方法，由于正割函數與余割函數有這樣的一個轉換關系，可以借助于余割函數的積分結果，這樣的方法是借用巧力，計算起來也更簡便，但前提條件是必須要熟悉余割函數積分的計算結果。

方法2由于正割函數等于余弦函數的倒數，因此可以從余弦函數入手。對于余弦函數而言,最直觀的恒等變換是利用二倍角公式

方法2與方法3本質上是相同的，均采用恒等變換的方法。先是對余弦函數進行變型，利用二倍角公式展開將被積函數轉化為較易的形式，然后采用湊微分的方法給予解決，這種方法大大優化了積分的計算過程，提高了解題效率。

2 湊微分法

方法4先將正割函數進行巧妙的變形，變為較易積分的形式，可采用第一類換元積分法(湊微分)進行積分，計算過程將變得簡單明了[2]。

方法5基于方法4的思想，可以做下面變型，然后仍然依靠湊微分的方法進行積分。

ln|secx+tanx|+C

對于正割函數的不定積分，方法4與方法5是比較常見的,也是最常用的計算方法，在大多數教材[2-4]中都給予指出。它們在解題思路上是一致的，只是在結果上呈現出不同的表現形式。在求積問題上，湊微分的這兩種方法對解題思路要求極高，需要大量的熟悉與練習，也可當做一種固定的解題模式進行記憶。

3 萬能公式法

方法6可以采用高中所學的三角函數的萬能公式來解題。

由于

令

而

因此可得：

利用萬能公式來計算也是一種不錯的選擇，將關于三角函數的不定積分問題轉化為有理函數的不定積分問題。因此，只需計算有理函數的積分即可，這里選擇的是有理函數積分問題中的積化和差的積分方法[5]。

4 分布積分法

方法7對于正割函數的不定積分問題，可利用分部積分法給予解決[6]。

方法7在方法選擇上比較創新，利用分部積分法解題，巧妙利用cotx·tanx=1，可構造出分部積分法的一般式，最后通過湊微分法得出結果。這里將不定積分計算的兩大積分法緊密地聯系在一起，構思較新穎，開闊了這類積分問題的新解法。

5 方程組求解法

方法8計算有些函數的不定積分問題可以將其轉化為求解方程組的問題[7-8]，在有些情況下可以降低解題難度，提高計算效率。而對于正割函數的不定積分計算顯然是可以的。

設

則

令

則

化簡上式可得：

(1)

同理，令

化簡可得：

(2)

結合方程(1)與方程(2)，可得到一個二元線性方程組，則有

參考文獻：

[1] 同濟大學數學系.高等數學(上)[M].北京:高等教育出版社,2003:199.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析(上)[M].北京:高等教育出版社,2002:184-185.

[3] 費為銀,王傳玉,項立群.高等數學(上)[M].合肥：中國科學技術大學出版社,2009:143.

[4] 高汝熹.高等數學:微積分[M].武漢：武漢大學出版社,1998:234-235.

[5] 胡靜波.高等數學的發散思維培養研究[J].湖北科技學院學報,2013,33(12):29-30.

[7] 毛北行,李新芳.方程組在求解不定積分中的應用[J].河南工學院學報，2013,21(6):99-100.

[8] 吳維峰.對不定積分一題多解的分析[J].高等數學研究,2010,13(6):11-13.