指數保費原理下似然比方法的信度估計

靳艷樹 吳黎軍

（新疆大學數學與系統科學學院 新疆 烏魯木齊 830046）

1 引言

信度理論是一種經驗估費模型，是非壽險精算學的核心內容之一，其保費定價的基本方法是根據投保人或保單組合的歷史索賠經歷來預測未來的風險保費。信度的概念最早起源于Mowbray[1]和Whitney[2]，并且提出了計算保費的公式：

上述的保費是假設過去的經驗數據服從指數分布族并且已知先驗信息。如果在實際運用中不能滿足上述條件，那么上式將不再適用。因此，1938年Buhlmann[3]提出了一種無分布的信度模型。他將樣本的過去索賠數據限定在線性函數類中，在Bayes[4]框架下利用最小二乘法得到了信度保費的估計為：其中，Z為信度因子，是整體均值為樣本均值，從而建立了無分布的信度理論，為信度理論的發展奠定了統計基礎。該模型被稱為經典信度理論，20世紀60年代以來在精算領域被廣泛關注。有關信度理論的詳細介紹可以參考文獻[4]。

但是，在大部分的經典信度理論中，因為我們一般是用平方損失函數來刻畫保費與風險之間的相關程度，然而在平方損失函數下得到的保費是凈保費，不具有正的安全負荷性。在破產理論中我們已經證明，若保險公司僅收取純保費，則最終會導致破產。相關內容可參考文獻Asmussen[5]。因此保險公司為了避免破產，就需要選擇合適的保費原理來制定保費。很多學者將經典的信度理論中的平方損失函數修改為其他損失函數。例如Esscher將平方損失函數指數加權損失函數，從而得到了Esscher保費原理下的保費估計。隨后，Heilmann[6]給出了在廣義加權損失函數下的信度保費，Gomez-Deuiz[7]則建立了在平衡損失函數下的信度計，Weng等[8]則在指數損失函數下得到了相應的指數保費原理下的保費估計，PayandehNajfabad[9]得出了在熵損失函數下的信度模型，從而得出了最大熵原理下的信度保費，而趙珍[10]利用最大熵方法得出了在最大熵方法下的信度形式，胡瑩瑩[11]則在此基礎之上得出了相對熵下的信度表達。

盡管通過修改損失函數可以得到不同的保費原理，但是上述保費原理下的信度估計中均涉及到復雜的參數，往往在實際操作中參數估計很難實現，而指數保費原理因有著簡單的數學形式和許多良好的保費原理性質從而在實際保險中得到廣泛運用。指數函數，如(2)式所示:

另一方面，保險公司在制定下一年保費的時候，往往希望下一年的保費與某個目標保費相差較小。此時利用經典的信度模型來制定保費，若前n年中存在著大額索賠則會使得下一年的保費比今年的保費增長很多，以至于投保人無法接受。因此，我們選取平衡損失函數來對這種差別進行懲罰。如此，既可以反應擬合優度，又可以反應目標保費。

設第i種風險的目標保費為δ0(X),δ0(X)可能是上一年的保費或保險公司的認可的某個保費，也可能和前n年的索賠數據有關或是常數。下面我們給出平衡損失函數的定義為：

其中，R是給定的權重，并且R∈[0,1]反應目標保費和擬合優度重要性的不同。(3)給出的平衡損失函數與實際較為符合，且包含了平方損失函數(R=0)。這類損失函數在近些年來得到了廣泛的研究。文章在已有的研究基礎上，在指數保費原理下利用似然比方法得出了相應信度保費估計，從而推廣了經典的信度理論。

2 指數保費原理

定義2.1：若取損失函數(1)式，則指數保費P為：

記H為保費，以下是指數保費原理的一些性質，具體內容可參考文獻[6]。

性質1(正安全負荷性)：對任意的X和a＞ 0，有H(X)＞E(X).

性質2(平移不變性)：對任意的風險X及常數c＞0，有

性質3(獨立風險可加性)：對任意的風險X和Y，且X,Y相互獨立，有

性質4(次可加性)：對任意的風險X,Y,則有H(X+Y)≤H(X)+H(Y).

基本假設與符號設定：

在經典的信度理論中,我們一般假設風險參數為Θ,X1,…,Xn為前n年的歷史索賠額,假定Θ為隨機變量。模型基本假設如下：

假設3.1：在Θ給定時，X1,…,Xn之間獨立同分布且

假設3.2：

定義3.1：設X為隨機變量，在給定樣本觀測值X1,X2,…,Xn的情況下，X的概率分布為P(X=Xi)=Pi.記R為似然比

定義3.2：假設離散型隨機變量X1,X2,…,Xn，相應的概率分別為:p1,p2,…,pn,滿足的約束條件是g1(?),g2(?),…,gm(?),并且

則滿足以上條件的拉格朗日方程是：

事實上，通過最大化拉格朗日方程L可以求出p1,p2,…,pn.

由定義可看出，統計矩約束數目越多，說明已知信息越繁多，所解決問題的不確定程度就會越小。因此，我們根據似然比方法求得的概率分布，將是在服從統計矩約束條件下，使得似然比函數到達最大的一種概率分布。

3 指數保費原理下似然比方法的信度估計

在指數保費原理下，運用似然比方法可得到下面的信度保費。

定理4.1：假設保單組合同前n年的索賠數據是X1,X2,…,Xn，并且E(eaXi)=μ則未來索賠X_{n+1}的最佳線性非齊次估計為：

從而未來索賠Xn+1在指數保費原理下的最佳線性非齊次估計為：

滿足以下兩個條件：

(i)期望損失達到最小;

(ii)似然比函數最大.

則在指數保費原理下最終的信度保費估計形式為：

證明：我們首先解決下面最優化問題：

值得注意的是,給定風險參數θ,假設Xi(i=1,…,n)獨立同分布。則在平方損失函數下,Bayes可以表示成線性信度公式的形式。Payandeh(2012)［12］將這種情況做了推廣:當索賠服從對數凸分布時,運用最大熵的方法也可以把Bayes保費表示成線性信度公式的形式。

文章與 Payandeh(2012)［13］的不同之處在于:一方面,Payandeh是在凈保費原理下得到的,而凈保費不具有正的安全負荷性。文章是在指數保費原理下得到的信度估計次。因此，符合實際情況。Payandeh假設索賠Xi(i=1,…,n)服從對數凸分布,從而得出Bayes保費的線性表達形式,而文章在只假設索賠具有相同的期望,在經典信度理論的基礎上結合似然比方法得出最優保費X?n+1的線性信度表達形式。

另一方面，經典的信度理論是在給定風險參數θ,索賠Xi(i=1,…,n)之間獨立同分布的條件下運用最小化期望損失的方法得到的，并且得到的權重系數是相等的。如果在Xi(i=1,…,n)具有相同期望的分布假設下,運用最小化期望損失函數的方法是計算不出權重系數αi(i=1,…,n)的。因此，文章運用最大化熵的方法對其進行了二次優化,從而求出權重系數αi(i=1,…,n)。

推論2：

齊次遞歸保費的最終保費形式為

由引理1可知在指數保費原理下的最終保費估計為

證明：

故推論2得證。

又α+β=1且α＞0，β＞0.從而0＜β＜1。

此推論表明年份較近的索賠比年份較遠的索賠賦予更大的權重在實際運用中合理。

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