高等數學中關于中值定理的題型證明

鄭欣

高等數學中微分學中的幾個中值定理，包括羅爾中值定理，拉格朗日中值定理等，是導數應用的理論基礎。

本文主要討論證明結論中含有這一類型題的證明，此種類型題證明方法有：

（1）驗證為的最值或極值點，然后用費馬定理即可；

（2）驗證在上滿足羅爾中值定理，利用一次中值定理證明即可；

（3）利用泰勒公式或多次利用羅爾中值定理即可。

例 設在上有三階導數，且，又設，

試證：在內至少存在一點，使

證明一：由于得

所以

對在上用羅爾定理（由于）存在，使.

由于，對在上用羅爾定理存在，使得，由于，對在上用羅爾定理，存在.使得.

此種證明方法就是利用了多次羅爾中值定理。

證明二：由于在上有三階導數，且，對在處進行二階泰勒展開.

也就是 （在0與之間）

由于 將代入上式得

，

此種證明方法就是利用了多次羅爾中值定理泰勒公式。

例：設在上連續，在上可導，且，又，

試證：在內至少存在一點，使。

證明：由題可知在上滿足羅爾定理，所以存在，使.

又由積分中值定理得其中，

于是在上滿足羅爾中值定理，所以存在使得：

，其中

由以上證明可得

再對在上使用羅爾定理，于是有，其中。

參考文獻

[1]同濟大學應用數學系，高等數學[M]， 北京：高等教育出版社，2016

[2]華東師范大學數學系.數學分析[M]， 北京：高等教育出版社，2012