高等數(shù)學(xué)中關(guān)于中值定理的題型證明

鄭欣

高等數(shù)學(xué)中微分學(xué)中的幾個(gè)中值定理，包括羅爾中值定理，拉格朗日中值定理等，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的理論基礎(chǔ)。

本文主要討論證明結(jié)論中含有這一類型題的證明，此種類型題證明方法有：

（1）驗(yàn)證為的最值或極值點(diǎn)，然后用費(fèi)馬定理即可；

（2）驗(yàn)證在上滿足羅爾中值定理，利用一次中值定理證明即可；

（3）利用泰勒公式或多次利用羅爾中值定理即可。

例 設(shè)在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，又設(shè)，

試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使

證明一：由于得

所以

對(duì)在上用羅爾定理（由于）存在，使.

由于，對(duì)在上用羅爾定理存在，使得，由于，對(duì)在上用羅爾定理，存在.使得.

此種證明方法就是利用了多次羅爾中值定理。

證明二：由于在上有三階導(dǎo)數(shù)，且，對(duì)在處進(jìn)行二階泰勒展開(kāi).

也就是 （在0與之間）

由于 將代入上式得

，

此種證明方法就是利用了多次羅爾中值定理泰勒公式。

例：設(shè)在上連續(xù)，在上可導(dǎo)，且，又，

試證：在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使。

證明：由題可知在上滿足羅爾定理，所以存在，使.

又由積分中值定理得其中，

于是在上滿足羅爾中值定理，所以存在使得：

，其中

由以上證明可得

再對(duì)在上使用羅爾定理，于是有，其中。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M]， 北京：高等教育出版社，2016

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M]， 北京：高等教育出版社，2012