利用幾何畫板進行探究教學

江蘇省灌云高級中學 (222200) 商再金江蘇省太湖高級中學 (214125) 翟洪亮

數學軟件的開發為數學教學提供檢驗和猜想的工具，這使我們的教學方式發生變化，可以讓學生在“做數學”的實驗過程中去感受、體會數學知識．數學軟件幾何畫板(TheGeometer'sSketchpad)是以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構造、度量、計算、動畫、跟蹤軌跡等，構造出其他較為復雜的幾何圖形，其最大特點是“動態性”，給學生以直觀生動的啟示，促進學生對問題的理解，加深學生對問題的認識．現通過具體案例介紹其在探究教學中的使用，歡迎大家批評指正．

1 計算坐標比值，探究三點共線

指數函數和對數函數是兩個重要的初等函數，它們之間存在著特定的函數關系．它們與正比例函數之間的交匯問題是學生學習中的一個難點．在蘇教版高中數學必修1教材第111頁的18題中，所給兩個對數函數的底之間存在特殊關系，要求學生用換底公式和相似知識加以證明．

圖1

案例1 如圖1，已知過原點O的直線與函數y=log8x的圖像交于A，B兩點，分別過A，B作y軸的平行線，與函數y=log2x的圖像交于C，D兩點．

(1)試利用相似性的知識，證明O，C，D在同一直線上；

(2)當BC∥x軸時，求點A的坐標．

問題(1)中所給兩個對數函數的底之間存在特殊關系，得到結論O，C，D三點在同一直線上．若改為一般的兩個不同底的對數函數，能否也有結論O，C，D三點在同一直線上？利用幾何畫板進行如下探究：

圖2

由于底數相同的指數函數和對數函數之間互為反函數，故可讓學生證明：

圖3

結論如圖3，已知過原點O的直線與函數y=ax的圖像交于A，B兩點，與函數y=bx的圖像交于C，D兩點．求證：AC∥BD．

2.拖動多點運動，演示極值性質

高考試題是經過專家組的精心命制而成，有些試題初看起來很平常，實際上卻豐富多彩，蘊涵著漂亮的結論，有較大的研究空間和教學價值.我們可以利用幾何畫板拖動多點展示涉及多個參數問題的內在規律，激發學生探究熱情．

案例2 (2016年天津市高考文科試卷第20題)設函數f(x)=x3-ax-b,x∈R，其中a,b∈R..

(Ⅰ)求f(x)的單調區間；

(Ⅱ)若f(x)存在極值點x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0,求證：x1+2x0=0；

圖4

證明:f′(x)=3ax2+2bx+c，因為函數f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)存在兩個不同的極值點x1,x2，則方程3ax2+2bx+c=0的△=4b2-12ac>0，則方程3ax2+2bx+c=0的兩根為

易知當x∈(-∞,x1)時，f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,x1)上單調遞增；當x∈(x1,x2)時，f′(x)<0，所以f(x)在(x1,x2)上單調遞減；當x∈(x2,+∞)時，f′(x)>0，所以f(x)在(x2,+∞)上單調遞增．

在圖像上以極值點x1為橫坐標的點記為A(x1,y1)，過點A作平行于x軸的直線AC交函數f(x)的圖像于C點，則x1=xA,f(xC)=f(x1)=y1.

3 改變元素位置，展示圖形定性

解析幾何中的定點、定值問題是各地高考試卷的熱點之一．對于解析幾何中的定點、定值問題，可以先利用幾何畫板進行動畫演示，然后再激發學生去證明．

(1)求C的方程；

(2)設直線l不經過P2點且與C相交于A，B兩點．若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：l過定點．

對于此題，給出多余條件，讓學生先排除再求解．由直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，直線l過定點(2,-1)是在定直線y=-1上．對于此題，可以利用幾何畫板引導學生進行如下探究：

圖5

由于點P(0,b)是橢圓的上頂點，位置特殊，因此自然地聯想到其他頂點時的情況，利用幾何畫板演示，同樣引導學生探究可得：

對于上述結論，可以繼續讓學生在圓、雙曲線和拋物線中進行自主探究，去發現類似的結論，形成體系加深認識.

縱觀上述案例，幾何畫板制作的多媒體CAI課件能夠生動形象地描述教學中的復雜問題的幾何關系，深刻地揭示問題的內在規律，通過探究可以培養學生思維的發散性和創造能力，激發學生學習數學的興趣，增強學生的數學核心素養，提高課堂教學的有效性.