構建知識網絡，進行知識輻射，站在中心點解題
——高三數學解題教學的一點思考

廈門大學附屬實驗中學 (363123) 田富德

數學課堂離不開解題教學，解題教學是數學課堂教學的一個重要組成部分，它不僅能有效地增強學生解決問題的能力，培養學生的思維能力，動手能力，創新能力，而且可以加深對基本概念的理解，促進學生良好的數學觀念的形成.課程標準明確指出：要注重應用，加強對學生數學應用意識和解決實際問題能力的培養.

高三數學課堂更是以解題為主，進入高三總復習，學生已經結束高中新課的學習，對高中數學知識已經初步掌握，如何讓解題教學的課堂更加有效？當學生面對新的數學問題時，應該怎樣有效地去思考？傳統的解題教學策略，如一題多解、多題一解、變式教學、題組教學等仍然可以有效繼承.本文主要從如何通過回憶、聯想，建立試題與知識、定理、公式等的聯系，以試題的條件或問題為中心，站在知識網絡的中心點進行知識輻射，進行解題.下面以一道習題為例展開分析.

引例若x2+y2=4，求x+y的最大值.

變式1 若x2+y2=4，求x+2y的最大值.

變式2 若x2+y2=4，求x+y2的最大值.

變式4 若x2+y2=4，求x2-6x+y2-2y+10的最大值.

變式5 若x2+2y2=4，求x+y的取值范圍.

變式6 若x2+xy+2y2=4，求x+y的取值范圍.

變式7 若x2+xy-2y2=4，求x+y的取值范圍.

變式9 若x2+y2+z2=4，求x+y+2z的最大值.

變式10 設x,y,z∈R+，若x3+y3+z3=4，求x+y+z的最大值.

1.三角函數視角下的知識輻射

由條件“x2+y2=4”，聯想到三角函數的公式sin2θ+cos2θ=1，故可以考慮三角換元利用三角函數的有界性進行解題.

借助三角函數的有界性及變量的單一化，均可解答本文的變式1至變式6.

2.解析幾何視角下的知識輻射

由條件“x2+y2=4”聯想到圓的方程，此時必須將問題中的“x+y”與解析幾何中的公式定理聯系.解析幾何中的常見公式有：兩點間的距離公式(體現平方關系)、點到線的距離公式(體現線性關系)、斜率公式(體現比值關系)、線性目標函數(體現線性關系)等等，而x+y為線性表達式，故可考慮利用點到線的距離公式進行求解.

由問題“求x+y的最大值”，聯想到線性規劃中的線性目標函數z=x+y，約束條件“x2+y2=4”在平面直角坐標系中表示圓的方程，可將該圓看成可行域，利用線性規劃的知識進行解題.

借助解析幾何的知識，還可以解決本文的變式1、變式3至變式5.

3.二次方程視角下的知識輻射

觀察到問題及條件均可視為關于x,y的二次方程(含其中一個為一次方程)，故可考慮利用二次方程解的存在性來進行解題.

借助二次方程組存在性的知識，我們還可以解決本文變式1至變式3及變式5至變式7.

4.平面向量視角下的知識輻射

由問題“求x+y的最大值”，聯想的平面向量的數量積，x+y=1·x+1·y，故可以考慮構造平面向量來進行解題.

借助平面向量數量積的知識，我們還可以解決本文的變式1和變式5.

5.基本不等式視角下的知識輻射

求解二元(多元)最值問題的常用工具便是基本不等式，不等式求解問題注重齊次化，引例條件為二次，求解問題為一次的，只需將問題平方即可.

利用基本不等式解題，需要注意對系數的調整，可以用待定系數法求出適合的系數.

借助基本不等式，我們還可以解決本文變式5.

6.柯西不等式視角下的知識輻射

求解三元(多元)、三次(高次)的最值問題，用基本不等式則較為繁瑣，而柯西不等式可成為最好的工具.

構建知識網絡，以試題條件或問題為中心，站在知識網絡的中心點進行知識輻射，在不同知識視角下，建立試題與所學的相關知識的聯系進行解題，其實可以看成一題多解、多題一解、變式教學、題組教學的繼承與延伸.在具體解題時，具體選擇在那個知識視角下進行建立相互聯系，需要對課本知識足夠熟悉，知識體系足夠清晰，需要教師在課堂教學不斷的點撥，才能對每一道題選擇適合的方法，才能對陌生的試題輕松找到解題突破口.

高三復習以解題教學為主，切忌滿堂課都在就題論題，應選擇適合的例題，進行知識輻射，站在知識網絡的中心點進行解題分析，達到以點帶面，對整個高中數學知識，時不時溫故而知新，可以有效降低學生對知識的遺忘率，可以提高學生面對創新試題時解決問題的能力.