懷“學習進階”之“猛虎”，嗅“教學設計”之“薔薇”

江蘇省宜興丁蜀中等專業學校 (214221) 潘 靜

當前，我國的基礎教育改革仍在不斷深化之中，各種國內外先進教學理念紛紛登臺亮相，“學習進階”也成為科學教育研究的新領域之一.學習進階是近十年來國際科學教育界的熱點研究領域，比較典型的界定是認為“對學生在一個時間跨度內學習和探究某一主題時，依次進階、逐級深化的思維方式的描述”.

學習進階的理念認為學習是一種不斷積累、發展的過程，學生對知識的理解與掌握不是一蹴而就的，其中必然要歷經多個不同層級的中間水平(見右學習進階的模型圖).學習進階的起點是指學生已有的經驗和知識，終點則多為社會對學生的期望，在兩個端點之間存在的多個中間水平則描述了學生對知識的理解是不斷發展的.本文以蘇教版高中數學必修5《基本不等式求最值》一課相應的實踐研究，探討“學習進階”理論在高中數學課堂教學中的應用.

一、進階起點

本節內容安排在基本不等式的證明之后，由此可知本節有兩個進階起點.

進階起點1：學生在前面所學函數中求最值的方法，如二次函數法、判別式法、單調性法、數形結合法等.

二、進階終點

使學生能夠運用基本不等式定理來討論函數的最大值和最小值問題，讓學生對基本不等式有更深的體會，同時，對定理中的限制條件也有更深的理解.

三、進階學習障礙分析

障礙3：基本不等式求最值的最后一道程序須驗證兩個變量能否“相等”，這一步其實不難，但有些同學做了前兩步已覺大功告成，最后一步自動忽略，功虧一簣.

障礙4：學生缺乏應用“基本不等式求最值”的主動意識和變化能力，只會就題論題，難以通過變式、換元等方法將所解問題轉化為“基本不等式”題型求最值.

四、“基本不等式求最值”教學設計

依據進階理論，設計本課進階層級和路徑如下：

層級一：就理論題，一以貫之

利用基本不等式求最值時，所用定理簡述為：“和定積最大”、“積定和最小”，這是基本不等式求最值的進階起點，運用這個定理求最值要遵循“一正、二定、三相等”的原則.欲使學生由起點水平進階為中間水平階段，完成一定量的基本練習必不可少，在講評和練習中熟悉常規題型的求解.不能期望一步到位，更不能認為所有學生能自主完成，這個學習路徑教師必須精心設計.

先讓學生求解，有如下幾個層次：

馬上有學生指出求解不完整，因x正負不定，于是有

點評：就本例而言，單從基本不等式應用來看水平2即為進階終點，水平3的出現遭少數同學的質疑，是不是太繁了.對此教師心中要有數：水平1和水平2在意料之中，水平3則更值得倡導，因為在以后遇到的“雙勾函數”問題中，用單調性處理似乎應用更廣，它的思維品質更高.從學習進階視角看問題不是一節課、一個單元的需要，應從一個學年、一個學段，甚至人的一生發展的需要來考慮.

在教師和學生的雙邊活動中，本例有如下幾種水平呈現狀態：

水平1：嘗試基本不等式法、函數法，無疾而終，約占50%以上.

用該法能堅持到底且正確者只有二、三人而已，且這些同學基本功扎實.

用基本不等式求最值是此階段的進階終點，適當的變式訓練，可以進一步了解這一內容上學生的進階維度.對上述例題可形成如下變式：

眾多的變式，不但讓學生一看到最值就聯想到基本不等式，而且還熟悉了常見題型的表達形式.雖然此時尚未形成基本不等式求最值的知識網絡，但眾多的題型，單一的方法，不免讓學生有“一招鮮，吃遍天”的興奮，部分學生更生發了“獨上高樓，望盡天涯路”的感受.

從上可知解題的第一層級就是“解”，就是想盡各種辦法用所學定理、性質解決當前的問題.這一層級的學習基本上是就題論題，方法較為單一，主要是用摹仿加勤奮推動學習進步，該層級學生往往只能處于中游水平，學習辛苦，但進步不大.

層級二：尋隱挖潛，化繁為簡

在學習進階所追蹤的發展路徑上存在多個相互關聯的中間步驟(成就水平)，它們反映了學生思維發展過程的普遍階段.所謂關聯結構水平是指：學生對于問題有了整體的把握并能獨立地解決問題.能夠將多個事件聯系起來，根據題型特征，靈活尋找應用基本不等式的條件，綜合相關知識解決較為復雜的問題，并形成解決此類問題的知識網絡.

在應用基本不等式求最值時，有些問題的定值條件往往被刻意隱藏，初看好像用不上基本不等式，有的則是隨著解題的展開出現在解題過程中.因此解題時，應充分挖掘題設條件，并時時注意解題過程中是否冒出定值的苗頭，聯想基本不等式對應題型靈活求解.

從題面上看無任何條件可用，與此同時也給了學生自由發揮的空間，經學生思考探討有如下解法：

點評：該例隱含著“和定”sin2x+cos2x=1，只有水平4才發現并獲得簡解.水平1想到了用基本不等式求解，卻沒有考慮這兩項之積并非定值；水平2和水平3沒有發現隱含著“和定”sin2x+cos2x=1，轉化為分式用函數方法處理，這種思路值得肯定，說明這些同學把函數視作“工具”已在行動中.但水平2的處理顯得毛糙，Δ≥0只是表示方程有實根但未必有根在(0，1)內；水平3開始時沒有看出隱含的“和定”，但在轉化后發現了分母中的“和定”并及時應用，說明對基本不等式的掌握是較為熟練的.四個水平的求解，描述了學生在解同一題時的不同思考方式.盡管水平4是我們這節課所需要的最優解，但并不能說水平4的思維層級最高、能力最強.事實上，水平2和水平3所用的函數法是處理值域問題最常用的“通法”，有什么不好？學習進階并非要求每一名學生都遵循同一認知進程，不同的學生可以用不同的思維路徑抵達終點.通過問題的求解過程讓學生學會和掌握尋隱挖潛、化繁為簡，才是進階終點.當然其找尋過程往往充滿艱辛，但一旦發現隱匿其中的“和定或積定”，后續過程又極為簡捷明快，讓人頓有“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”的感悟.

上述過程告訴我們，解題的第二層級是“思”，其特征是刻苦鉆研推動學習進步，在鉆研中提升數學能力.毫無疑問，這一境界的學生能取得良好的學習成績，在班上往往處于中上水平.

層級三：回歸課本，觸類旁通

學習進階最后階段要評測各水平的預期表現，主要表現在學生不僅有了對問題的整體把握，而且還能對問題進行抽象概括，使之適用于新的問題情境.能將知識抽象、擴展后進行應用.基本目標是能夠解決較為綜合或復雜的問題，解題時具有創新的解題思想或解題方法.

解題的第三層級是“歸”，這一層級的學生把學習當成一件有意義的事.看書時常想這些知識可應用在何處，做題時常思這些問題和書本的哪些基礎知識有聯系.他們在學習上有著上下求索的態勢，力爭“打通”書本知識和習題之間的關系.

基于學習進階理論展開教學的三個層次，契合著學生數學思維層次的三次飛躍：層次一側重于思維的專一性，讓學生緊扣所學知識就題解題，通過教師預設打通常規題的求解思路；層次二立足于思維的深刻性，跳出就題解題的窠臼，聚焦解題的核心環節，在優化解法中形成解題策略構建解題模型；層次三則關注思維的廣闊性，在問題“源與流”的探尋中實現觸類旁通，在命題脈絡的構建中趨近“一覽眾山小”的通透.

這節關于“基本不等式求最值”的教學設計，基于進階分層理論設計了學生分層學習的路徑，分析了學生在學習中的障礙，按“直接應用、變化應用、發散應用”三個層級設置具體學習內容.注重科學思維的方法，從易到難，從簡到繁，符合學生的認知規律.學習進階的“階”代表了學生不同的思考方式，而不是簡單地是否獲得了某個知識，學習進階關注的是學生怎樣思考(甚至更關注學生的“錯誤思考”).教師應從認知科學與教學論出發，對于所教主題的教學內容進行認知心理分析，通過實證研究、即時評價、修訂目標，我們要隨時了解學生對某個具體問題的認知水平，知道了什么？理解了什么？可以做到什么程度？從這些有用信息中制定教學目標，設計合適的教學路徑，讓學生由起點水平逐漸發展為具有良好科學素養的理解水平，進一步通過評測并結合預期表現，讓學生順次抵達學習進階中相互關聯的多個成就水平，爭取更多地學生進階終點水平.需要注意的是，學習進階并非是一種自發的發展過程，我們應精心設計最佳的教學序列，以促進這種進階的發生.

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