2017年高考數學江蘇卷第12題的解法探究

湖北省大悟縣楚才高級中學 (432800) 丁輝華

圖1

本題是2017年高考數學江蘇卷第12題,試題溫和平實,表述中規中矩,主要考查平面向量基本定理,平面向量數量積,兩角和與差的三角函數公式.按江蘇卷歷年的風格,處于這個題號的題目,區分度較大,此題確實如此,它不僅考查學生綜合運用向量知識,平面幾何知識,解三角形知識及分析問題、解決問題的能力,還考查學生把握知識的能力,以及選擇解決問題突破口的能力,能較好地檢測學生的數學素養和進一步學習數學的潛能.下面從不同角度剖析本題,與讀者交流切磋.

一、借助向量的數量積求解

①+②得m+n=3.

二、根據條件，構造圖形求解.

平面向量基本定理本質上是向量加法的三角形法則、平行四邊形法則的另一種表達形式，即通過基向量線性表達.本題根據條件，也可以利用平面圖形的特征來解決.

圖2

下面討論m+n=4不符合題意.

D=180°-45°-α=135°-α.

圖3

評注:解法3通過構造三角形，借助正弦定理、余弦定理確定出m,n的關系，由余弦定理確定出來的是m,n的二次關系式，這樣有可能產生增解，從而導致錯解.解法4在解法3的基礎上加以改進，多了一條輔助線，通過解直角三角形，得到關于m,n的一次方程，可以準確地求出m,n的值.

圖4

圖5

解法6:過點B作OC的垂線，垂足為D，垂線交OA(或OA的延長線)于E,如圖5.

∵∠BOC=45°，

三、利用坐標法求解

圖6

∴m+n=3.

圖7