以平面向量最值為例談學生解題思維能力提升的策略

浙江安吉縣孝豐高級中學 (313301) 張忠潮

自浙江省采用新高考后，高三數學復習時間顯得尤為緊張、任務更加重，從而使得二輪復習顯得較為倉促.如何合理精選習題、科學設計教學、通過習題教學提升高三復習效益，是每一位高三一線教師認真思考的一個課題.

在高三教學中，教師要強調數學知識發生、發展過程體驗，發現問題、提出問題，注重數學知識的再發現、再創造過程.因此，數學課堂教學設計要學會借題發揮，目的是讓難以解決的問題擴大其“最近發展區”，為順利解題做好鋪墊，為學生搭建思維的腳手架，讓學生嘗試成功的喜悅，同時調動學生探究的積極性，以此提升高三數學復習效益.本文以《平面向量最值的求法》復習課為例，談談怎樣由習題去提升學生的解題思維能力.

一、借問題情境，追本溯源

波利亞先生說過：“有些題目的解答就像魔術師帽子里的兔子，不知道從哪里冒出來的，這些想法是如何想到的？揭示了這類問題的本質，我們就能站在更高位置來看待這個問題，問題就迎刃而解.”

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師：學生感覺這類問題難度較大，那么它們的解決方法除了上面幾個學生提供的方法外，到底有無規律可循？這類問題是否隱含著一定的背景？它們是如何由簡單到復雜演變的？

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師：很好，那同學們能利用變量α,β來表示嗎？

師：生2，你能繼續解決此題嗎？

設半徑OA為定值，只需求OD最小即可.當OD最小，即OD⊥BC，α+β最大，此時AB=AC.

師：問題本質是什么呢？事實上，這類問題來源是人教A版P94平面向量基本定理：

但是平時的考察，更多的時候以考察它的推論為主，即三點共線結論：

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二、借一題多解，發散思維

在數學教學中通過一題多思，一題多解，一題多講，可以鞏固學生知識，訓練學生思維，開拓學生視野.用多角度去看一道題，強化思維的連貫性，知識的銜接，能全面利用所學知識解決實際問題，培養學生對知識的活學活用有重要幫助.

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點評：向量是近代數學中重要和基本的數學概念之一，它是溝通代數、幾何和三角函數的一種工具，有著極其豐富的背景.本題以向量的模的計算為背景，考查了向量的和與差的幾何意義，考查了函數的最值及其幾何意義，考查了數形結合的能力，涉及基本不等式、線性規劃等基本知識.從所求結論看本題考查函數最值問題，如何利用化歸思想實現等式和不等式之間的轉化是解決本題的關鍵，也是解決本題的難點.

三、借多題歸一，感悟本質

一題多解對鍛煉學生思維與解題的靈活性固然有很多益處，但教師在教學中也應注意要一題多解，多解歸一，從而提煉出解決多道同類題目的方法，形成多題一解.

誠然，通過“一題多解”訓練，可培養學生根據不同的思路，應用不同的基礎知識，采取不同的數學方法，靈活解答同一個問題的能力.然而，目前大多數學生基礎較差，看到題目首先聯想到的是類似題目的一種通解或通用的解題模式.多題歸一就是利用這種心理，以通用模式套各種類似的題目，減輕學生的負擔，且可以訓練學生化歸的思想，同時它對培養學生規范地書寫解答題的解題過程也是一次強化性訓練.下面通過一題多變的分析過程說明多題歸一的益處.

點評：多解歸一的教學中，如果有意識去分析和研究，是舉不勝舉的.拿到一個題目，如果深入去分析、解決與反思，必能以一當十、以少勝多.培養學生各方面技能，特別是自主探索，創新思維的能力，也就無需茫茫的題海了.教學是為了讓學生學會看到一道題就想到一類題，想到相應解法，才是正道.所以教師要不斷從這方面入手教學，通過一題多解，到一題多變、多題歸一，最后整理總結，得到多題一解，讓學生在緊張的做題過程中，看到一道題就知道怎么解.

四、借課堂教學，學會反思

1.在交流探究中暴露學生的思維過程

葉瀾教授說：“課堂是向未知方向挺進的旅程，隨時都有可能發現意外的通道和美麗的因素，而不是一切都必須遵守固定路線而沒有激情的行程.”課堂教學過程是復雜的、豐富多變的，難免會遇到超出預設方案之外的新問題、新想法，教師應該善待學生提出的“意外”問題，尊重學生的“話語權”，為學生營造一個敢于發表自己見解、勇于說出自己想法的平臺，適時調整教學設計方案，為學生的“動態生成”騰出一片廣闊的空間，并因勢利導，借題發揮，提升復習效益.

2.在比較中優化學生的思維能力

只有比較才能辨別優劣，只有比較才能使學生掌握更適合自己的解法.一題多解就是在比較中進行的，其目的要明確：不是解法越多越好，而應該選擇有助于提升學生思維能力、培養學生解題能力的解法.通過一題多解訓練，可以優化學生的解題思路，從而達到快速找準解決問題的方法.因此，解法比較可以不斷拓展學生的思維能力.

[1]姜曉潔，于興江.一題多解與一題多究[J].中學數學研究(江西師大),2016(06):42-45.

[2]伊建軍.玩轉數形結合 提升數學思維[J].中學教研,2016(02):31-34.