第58屆IMO平面幾何題命題探秘

江蘇省連云港市新海實驗中學 (222200) 仇玉祥

人教版、蘇教版普通高中課程標準實驗教科書數學選修4-1《幾何證明選講》都選用了下列經典例題：

圖1

原題如圖1，⊙O1、⊙O2交于點S、K，直線RT過點S，與⊙O1、⊙O2分別交于點R、T，直線HB過點K，與⊙O1、⊙O2分交于點H、B，求證：RH∥TB．

延長HR到點Z，并連結SK，注意到∠ZRS=∠HKS=∠STB，即知RH∥TB．

下面，讓我們來看看這道經典例題是如何被盧森堡數學奧林匹克命題專家巧妙演繹為國際數學奧林匹克(IMO)平面幾何試題的.

1.極端化

如圖1，記RH所在直線為l，令點H、B分別在⊙O1、⊙O2上運動(直線HB過點K)，當點H趨近于點R并最終與點R重合時，直線l由割線變為切線(切點為R)，顯然有l∥TB，于是我們得到：

圖2

命題1 如圖2，⊙O1、⊙O2交于點S、K，直線l與⊙O1相切于點R，射線RS、RK與⊙O2分別交于點T、B，則l∥TB．

命題1是人教版原初中數學課本中的經典習題．

2.特殊化

如圖2，令點R在⊙O1上運動，同時點T、B在⊙O2上運動(直線RT過點S，直線RB過點K)，到點S為線段RT的中點時運動停止，命題1顯然成立．于是我們得到：

圖3

命題2 如圖3，⊙O1、⊙O2交于點S、K，直線RT過點S，與⊙O1、⊙O2分別交于點R、T(點S為線段RT的中點)，射線RK與⊙O2交于點B，直線l與⊙O1相切于點R，則l∥TB．

3.縱深化

如圖4(在圖3的基礎上)，連結BS，并延長交直線l于點A，連結AT、AK、KT、SJ，設AK與⊙O1交于點J，注意到RA∥TB，知∠ARS=∠BTS，∠RAS=∠TBS，結合RS=TS，即知ΔRAS≌ΔTBS，從而知RA∥TB，故四邊形RATB是平行四邊形，于是ATRB．

注意到∠SJK=∠SRK=∠ATS，知A、J、S、T四點共圓，記此圓為⊙O3．再注意到

∠KTS=∠SBK=∠TAS，KT與⊙O3相切于點T．

4.構造賽題

在圖4中，去掉⊙O2以及線段AT、AB、BT、RB，添加線段JT，并將⊙O1、⊙O3分別替換成Ω、Γ，即可構作2017年7月在巴西里約熱內盧舉辦的第58屆國際數學奧林匹克(IMO)第4道賽題：

圖4 圖5

[1]第58屆IMO試題[J].中等數學，2017，8.

[2]姚一雋．第58屆IMO試題解答[J].中等數學，2017，9.