數學史與中學數學教學

戴佳珉

應試體制下的中學數學教學，大多是以考試出成績為基本目的。說白了，就是教師讓學生背公式、做習題、考高分。這種僵化的教學模式，使數學變成一門無趣的學科，讓許多學生害怕又無奈。

如何在教學中激發學生學習數學的興趣和熱情，培養學生主動學習的動機？如何在教學中提升學生對數學的認知，提高運用數學解決問題的能力，加深對數學和數學活動本質的理解？如何在平常的教學中傳承數學文化，向學生展現數學的魅力，服務于學生的終身學習和終身發展的需要？

將數學史融入平常的教學和學生的數學學習，是解決這些問題的鑰匙。

歌德曾經指出，認識一門學科，最好的方法是了解它的歷史。數學史作為人類文明史的重要組成部分，是一座巨大的寶藏，蘊含著取之不盡、用之不竭的教學資源和思想養料。

數學史與數學教育的關系在我國數學教育界是一個較新的領域，近些年，這一個領域逐漸為國內數學教育界所重視和熟悉。學者經過研究、實踐、總結和提煉，發現將數學史融入數學教學，能再現數學概念誕生的背景及其發展、完善的過程，讓學生全面地建構數學概念，更好地理解數學概念，改變學生的數學觀；能給課堂注入更多的活力，激發學生的學習興趣；能培養學生堅持真理、不懈探究、提出問題、追求創新的品質；同時，數學史也為教師提供豐富的教學素材，是改進教學的工具，是提供新課引入的話題以及幫助學生“發現”新概念或新思想的方法。

但實際上，學術研究的愿景與中學數學教學的實踐之間存在巨大的鴻溝。數學史融入中學數學教學基本上處于一種“三無”狀態——無時間、無資料、無考試。數學史在中學“高評價，低應用”的境遇難以得到實質性的改善。

江西省景德鎮一中陸前進老師和他的團隊在這方面做了有益的嘗試。他們擁有數十年的一線教學經歷，對數學教學的弊端有清醒認識，在反思和改善自己的教學過程中，不斷地實踐和總結，取得了可喜的成果。

我初識陸前進老師是在1999年江西省數學學會的年會上。當時他在論文《數學教學的另一面》中首次提到數學史和數學文化在中學數學教學中的重要性，這種思想在普遍追求升學率的應試氣氛中尤其難得。這十多年來，陸老師不忘初衷，一直在耕耘，執著地研究將數學史融入數學教學。2012年，陸老師和他的團隊開展了國家“十二五”規劃課題《數學史與數學文化在中學數學教學中的地位和作用》的研究，開始集體從事數學史融入中學數學教學的實踐活動。四年的課題研究實踐活動取得了較好的實踐效果。他們給數學課注入新的活力，同學們對概念的理解，對定理、公式的領悟，對數學大事件的了解，對數學和數學活動的本質有了更深層的體會，更喜歡上數學課了。

課題組主要以三種形式開展實踐活動。

第一，課堂教學。定時組織集體備課，結合教材教學內容，搜集、整理、提煉相關數學史料，以教材為主線，輔以數學史相關內容，制定教學方案。如，一個數學概念為何產生、如何產生？又如何演進？一個定理、一個知識邏輯結構是怎樣發現和形成？在課堂教學中再現當時的歷史背景，在與數學家一同“做數學”的過程中，讓學生體會原創的樂趣和創造的艱辛，感受數學思維的靈活性和多樣化，感受數學背后的科學、人文精神。

第二，專題講座。針對數學發展史上的一大事件或某一個數學里程碑，課題組采取專題講座的形式來展現，依托學校科研處組織的研究性學習平臺，充分利用多媒體等輔助教學工具，舉辦中型或大型數學史專題講座。如，《數的概念的生產和發展》講座從數的產生講到復數系的建立；《勾股定理》可以從勾股定理講到費馬大定理；《微積分產生的歷史文化背景》從積分、微分、微積分講到牛頓與萊布尼茨之爭。這樣的講座能全方位地展現廣闊的歷史場景，透徹地解析知識的發展演進過程，在學生中影響大，效果好。

第三，學生的自主學習、自主研究。組織學生成立數學史學習研究興趣小組，通過三個方面對學生進行學習指導：一是指導學生進行課外閱讀。推薦學生閱讀M.克萊茵、威廉·鄧納姆、伊萊·馬奧爾、華羅庚、談祥柏、張景中、胡作玄等撰寫的普通數學讀物。他們的作品文筆優美，同時有思想深度、人文關懷和數學趣味。學生通過閱讀這些優秀的課外讀物，豐富了自身的思想內涵和數學素養。二是指導學生利用互聯網，收集相關知識的歷史背景，挖掘其中蘊含的數學思想和方法，并通過PPT課件、微課或其他媒體形式展示出來。三是鼓勵學生撰寫心得體會和學習報告，相互交流，培養學生的自我學習、自我探索的能力。

在充分開展教學實踐活動的基礎上，課題組總結提煉了三種將數學史融入課堂教學的方法。

1.概念演繹法

再現概念的產生、提煉、發展的過程，讓學生理解概念，全面地建構數學概念。平常的教學中，教師常常直接給出一個數學概念，伴以簡單的描述和解釋，繼而開始講授定理、法則、應用、解題技巧。例如，虛數“i”，學生只知道定義i2=-1，i叫虛數單位，至于i是怎么來的，數學家為什么要引進這樣一個數，i的重要意義有哪些，都不知道。又如，“什么是e？”“自然對數的底。”“什么是自然對數的底？”“e是自然對數的底。”神奇的“e”就這樣被“糟蹋”了，我們的學生怎么能喜歡上數學呢？

完整、透徹、清晰地理解數學概念，是學生數學學習的根本，花再多的時間也不為過。

2.定理詮釋法

再現定理（公式、法則）的產生和發現的過程，詮釋它的意義和內涵。平常的教學中教師要求學生記憶，當然也會給出定理的證明，但對定理是如何發現的、定理的意義和它的內涵揭示得較少。例如，海倫公式，因為在學生的解題時應用較少，所以教師不大提及。海倫是什么人，海倫關于這個公式的令人嘆為觀止的經典證明以及這個公式蘊含的美學意義在學生的學習過程中錯過，尤為可惜。

再如，微積分基本定理，對于數學的這個“王者”，同學們都了解多少呢？微積分從萌芽、創建到完善，經歷了兩千多年曲折的過程，對這部宏偉畫卷所展示出的非凡的魅力，我們又有多少人能體會到呢？我們讓微積分的概念“從天而降”，把牛頓——萊布尼茨公式輕松撿來，學生津津樂道的是“一階導數等于0”的好處，是解決復雜圖形的求積時的爽快。簡而言之，學生學到的是一套機械化、程序化的微積分。這就好比建房子，“你搭的框架，你砌的墻，你刷的四壁，你裝的窗戶，而最終是我住進去了，房子就是我的了”。學生除了按“程序”解題獲得分數外，其實什么都沒有學到。中學引進這樣的“微積分”有何意義？

3.事件展現法

對數學史上的某個歷史時期的大事件或某一個數學里程碑進行全方位的展現和解讀。中學數學從不缺乏這方面的主題，數的產生和發展、論證幾何的誕生、代數學的發展、三角學的發明等。如果學生有機會了解這些歷史里程碑，有機會了解為數學不斷發展做出重大貢獻的歷史偉人，那么學生對數學的熱情和興趣，學生對數學的認知，數學的育人功能都將得到體現。

新的高中數學課程標準彰顯了對數學文化教育的重視，要求在教學中展現數學文化在數學的起源、發展、完善和應用的過程中體現出的對于人的發展具有重大影響的各個方面。陸前進老師正是結合課程內容，或選擇教材特定欄目和素材，或結合當代發展的熱點，選擇對數學發展起重大作用的事件和人物，撰寫介紹或評論的專題講座，從而豐富和拓展了高中數學教材的內容，為理解和準確把握新課程標準做了有益的嘗試。

為了使更多的學生了解數學史，讓更多的人熱愛數學，幫助他們打開通向魅力數學的大門，課題組將他們的實踐成果總結出來，形成學校數學教育的校本教材——《被遺忘的數學課》，并于2017年正式出版發行。

全書共分十個章節，內容廣博，論述生動活潑，不拘一格。作者以課堂實錄的方式將課題組開展的實踐活動向讀者娓娓道來，使人備感親切。

書中對中學數學中的一些重要概念做了重點闡述，彌補了眼下數學教學中重解題輕概念、重結果輕過程的不足。數學中新概念的出現，有著漫長和艱辛的演化歷程，數學教學應當使學生掌握或了解數學概念發展和完善的過程。而教師平常的教學中，往往將概念一句話帶過，學生不能真正理解這些概念和當初數學家引入這些概念的必要性和原創精神，體驗不到數學的奧妙和樂趣，這在很大程度上也成為學生認為數學枯燥難學的原因。

書中許多例子與教材的內容是相通的，許多奇思妙想、例題、定理的證明都是中學生提高科學素養必須了解的。當然也有一些有難度的內容，費馬大定理、黎曼假設等，但就數學而言，適當的難度是不可避免的。作者擁有長期在中學一線教學的背景，知道寫到什么深度學生能夠接受。這些內容向好學的中學生開啟了一扇窗，為他們今后的發展做了適當的鋪墊。

記得科學家巴甫洛夫講過這樣一個故事，夜深了，一位少年走在黑漆漆的山路上，突然，有個神秘的聲音傳來：“彎下腰，請多撿些小石子，明天會有用的。”少年便彎腰撿起幾顆石子。第二天，少年從口袋里掏出“石子”，才發現“石子”原來是一塊塊亮晶晶的寶石！自然，也是這些寶石，讓他后悔不已：天哪！昨晚怎么就沒有多撿些呢？《被遺忘的數學課》送給大家的就是這些“小石子”。

（作者系原江西省教育廳教研室高中部主任、數學科組長）

責任編輯：胡玉敏

huym@zgjszz.cn