基于GARCH族模型的上證50ETF期權定價研究

【摘要】考慮到金融資產日收益率分布普遍地存在顯著的尖峰厚尾現象，且其波動率存在時變性特征，本文運用自回歸條件異方差系列模型（GARCH模型、TGARCH模型和EGARCH模型）來建模上證50ETF收益的波動率，并應用于上證50ETF期權定價。數值結果表明：上證50ETF收益率波動存在明顯的時變性特征；由GARCH族模型計算得到的期權價格，與真實價格之間不存在顯著差異；此外，考慮了非對稱性波動影響的TGARCH和EGARCH模型，要比GARCH模型能更好刻畫現實市場波動率動態特性，從而取得了更高的期權定價準確度。

【關鍵詞】GARCH模型 TGARCH模型 EGARCH模型 期權定價 蒙特卡洛模擬

一、引言

金融衍生品掛牌交易，是基于通貨膨脹、供需情況、匯率、利率及標的物價格未來走勢的預期等信息基礎上競價成交的，因而交易價格的變化反映了市場的供需關系，是現貨價格未來走勢的重要信息來源，可為現貨市場的成交價格提供重要的參考作用。此外，金融衍生工具不僅能夠進行市場預期并發現價格，而且可以通過套期保值來降低價格風險。因此，自產生以來，金融衍生工具交易量呈逐年上升趨勢，已經成為整個市場體系不可缺少的一個重要組成部分。經過多年的發展，我國的資本市場也不斷地走向成熟，在經過長時間的籌備與模擬測試，我國首個期權合約品種“上證50ETF期權”終于應運而生，于2015年2月9日正式在上海證券交易所掛牌交易，個股期權等其他更多的交易品種也有望在年后推出，由此，2015年也被稱為是中國期權的元年。但是，由于我國期權市場剛剛成立，對于符合我國國情的金融衍生工具的定價研究仍較為缺乏。

國內外學術界對期權的定價理論研究有著很長的歷史。1973 年由Blake和Scholes提出的傳統的B-S模型是一個假設股票價格服從幾何布朗運動，在無套利的分析框架下給出的期權定價公式[1]。Merton（1976）認為市場證券的價格分布往往并非是光滑移動的，而是呈現間斷的“跳空”過程，提出了一種股票價格遵循跳躍過程的模型，在股票價格服從幾何布朗運動之上加入了各種跳躍[2]。這兩個模型中都包含了常數波動率假設，但是越來越多的實證研究結果表明，金融產品的收益率分布存在著顯著的尖峰、厚尾和非對稱等特征。同時，其波動率也并非常數，而具有時變性、波動聚集性。所以，放松波動率為常數的假設，研究波動率的動態變化特性，這對于提升期權定價的準確性具有重要意義。

針對這一內容，當前國內外很多學者都做出了不懈地努力，研究工作大體上可歸為兩大類：一是，為資產收益波動率構建適當的連續動態方程，如假設波動率為隨機過程，Hull和White（1987）[3]、Scott（1987）[4]、Heston（1993）[5]等建立了隨機波動率模型；Bates（1996）[6]和Scott（1997）[7]建立了隨機波動跳-擴散模型，該模型的優點是能較好刻畫出隱含波動率的“微笑”與“偏斜”效應。然而，由于非交易的波動是不能任意用現存資產來復制，因此，波動率方程自身的模型誤定風險（misspecificationerror）會使期權定價更加復雜化。盡管從數學角度可以通過一些不現實的假設來簡化波動風險模型，但金融實踐中要用此模型計算出期權定價，仍然需要使用復雜的數量方法。第二個分支是，利用時間序列方法來構建波動率的離散動力系統，如廣義條件自回歸（GARCH）系列模型{1}。GARCH族模型在某種意義上可視為隨機波動率模型的離散時間版本，其優點在于：能直接從股票的歷史價格中得出收益波動率，而不必從同期其他期權推出內含波動率；此外，它具有一定的波動率預測功能。

自GARCH模型提出以后，人們自然聯想到利用GARCH模型來定價期權。Duan（1995）通過局部風險中性定價關系（localrisk- neuralvaluationrelationship），建立了基于GARCH模型的離散時間序列的期權定價模型。Hardle和Hanfner（2000）在Duan的工作的基礎上，應用TGARCH模型對德國市場期權進行定價，發現基于TGARCH模型的定價結果與BS模型和GARCH模型相比，更接近真實價格。Jong和Lehnert（2001）則認為EGARCH模型能較好地刻畫不同期限的“波動率微笑”曲線，構建了一個估計指數期權局部波動率的EGARCH模型，并成功地解釋和預測了實際的波動率[10]。王健，李超杰，何建敏（2006）建立了有交易成本的GARCH 擴散期權定價模型[11]。LouisH.Ederington，WeiGuan（2007）對GARCH系列所有模型做了實證研究，發現GARCH（1，1）和TGARCH模型在高波動的時間段內預測偏差特別大[12]。Christoffersen，Elkamhi，Feunou（2007）基于Duan（1995）的GARCH模型，分析了條件非正態分布和條件正態分布下的定價差異，發現前者的定價效果要好于后者[13]。

然而，到目前為止，用GARCH族模型對上證50ETF期權進行定價研究的，并不多見，部分原因在于上證50ETF期權誕生時間非常短暫。因此，本文嘗試在這方面做點工作，利用GARCH族模型對上證50ETF期權進行定價研究，試圖通過比較三個模型的定價效果，探尋適用于我國現階段50ETF期權市場的定價模型。

二、GARCH族模型

（一）GARCH模型

傳統時間序列模型都假定波動率并不隨時間變化的，但在現實市場中波動率具有時變性。Engle提出的ARCH模型能夠很好刻畫波動率的這種時變特性。

對于某一時間序列yt，其變化規律可由下述回歸模型描述：

■ （1）

在t時刻可獲得的信息集為Ωt-1的條件下，誤差項εt遵循以0為期望、ht為條件方差的正態分布，即■=0，■亦可寫作■，其中■。

■ （2）

其中，■，且■，即條件方差具有m階自回歸形式，則稱誤差項εt服從m階自回歸條件異方差，記■過程。

上面定義的條件方差，可理解為在己知信息集為Ωt-1（該信息集包括前期所有的誤差項信息，如■的條件下，t時刻干擾項εt的方差。對于由公式（2）表示的條件方差，表明前期的m階誤差項對本期誤差項εt有著正向且持續的影響。通過該機制，當前期誤差值較大時，本期誤差值就較大；當前期誤差值較小時，本期誤差值就較小。由此較好的刻畫了ARCH模型所描述的波動率集聚現象。當隨機誤差項具有異方差性，若用傳統的最小二乘法估計就會產生偏差，若使用ARCH模型，則可提高預測精度，亦可知其準確性。當方差較大時，預測值的置信區間會較小，故具有較好的可靠性。

雖然ARCH模型較傳統的時間序列模型有所改進，但是仍存在很多缺點，如在現實中應用ARCH模型，為了得到更好的擬合效果需要很大的階數m，這樣不僅增大了計算量，還會帶來諸如解釋變量多重共線性等其他問題。為了修正ARCH模型的缺點，Bollerslev在1986年對ARCH模型進行擴展，得到了GARCH模型：

■ （3）

由（3）式可看出，GARCH模型與ARCH模型的不同之處在于：擾動項εt的條件方差不僅受到前期殘差項平方（■）的影響外，還要受到條件方差滯后項（■）的影響。因此GARCH模型比ARCH模型更具有一般性。同時，ARCH模型只是GARCH（p，q）中q=0時的一個特例。GARCH模型具有很強的概括能力，可以用低階的GARCH模型來代表高階的ARCH模型，從而使得模型的識別和估計都變得比較容易。

（二）EGARCH模型

從式看，GARCH模型確實在很大程度上解決了ARCH模型的一些缺陷，且具有較好的可操作性，但GARCH模型（3）依然存在一些缺陷而無法完全刻畫金融時間序列波動率的特征，其中最重要的一個缺陷是：GARCH模型沒有反映“利空”消息和“利好”消息對股價產生非對稱性沖擊這個事實。為克服此缺陷，Nelson（1991）將市場信息的非對稱影響效應融入到GARCH模型中，提出了指數GARCH模型，即EGARCH模型。

對于序列■，其中■，Vt服從標準正態分布，即Vt～N（0，1）。EGARCH（1，1）模型的條件方差方程可寫成：

■ （4）

等式左邊是條件方差的對數，這意味著杠桿影響是指數的，而不是二次的，所以條件方差的預測值一定是非負的。

非對稱效應的存在能夠通■過的假設得到檢驗。只要■，沖擊的影響就存在著非對稱性。

更高階的EGARCH（p，q）模型可表示為：

■ （5）

實際應用中，通常會對上述模型進行變換，由■，可得■，模型可變換為：

■ （6）

雖然式（6）和Nelson的模型（5）設定的不同，但是在對這兩個模型進行估計而得到的結果中，系數α和β的估計量是相同的，不同的只是截距項ω的值，它將根據分布假設和階數p的變化而變化，這并不影響分析的結果。同時Nelson假設vt的條件分布是服從廣義誤差分布（GED），而在實際應用中，可以允許其在正態分布、學生t分布和GED分布中進行選擇。

（三）TGARCH模型

與EGARCH模型目的相似，為刻畫市場波動率的非對稱效應，Zakoian（1994）提出了TGARCH模型，該模型中的條件方差方程被設定為：

■ （7）

其中■是一個虛擬變量，當■時，■；否則，■；只要■，就存在非對稱效應。

在式（7）中，條件方差方程中的■項，稱為非對稱效應項，或TGARCH項。條件方差方程表明ht依賴于前期的殘差平方■和條件方差■的大小。好消息（■>0）和壞消息（■<0）對條件方差產生不同的影響：好消息有一個α倍的沖擊，即■>0時，■=0，式（7）中的非對稱項不存在；而壞消息則有一個■倍的沖擊，這是因為，當■<0時，■=1，此時非對稱項出現。如果γ>0，說明存在杠桿效應，利空消息對市場產生的沖擊要比利好消息的程度大，即非對稱效應的主要效果是使得波動加大；如果γ<0，表明利好消息會帶來更強的市場波動而利空消息會降低市場的波動，即非對稱效應的作用是使得波動減小。

三、基于GARCH族模型的期權定價原理

下面主要以Hardle和Hanfner（2000）構建的基于TGARCH模型的期權定價為例，闡述期權定價的基本原理。該文選擇的風險溢價均值方程為：

■ （8）

式中，ω，α，β是滿足平穩條件的常數。λ可以解釋為每一風險的單位溢價。

模型（8）是在自然測度P下進行估計的。為得到風險中性測度Q下的鞅過程，Duan（1995）構造了一個新的誤差項ηt。ηt加入了時變風險溢價，即■。在測度Q下，模型變為：

■ （9）

運用蒙特卡洛模擬的方法，模擬出基于GARCH模型（9）的風險資產價格時間序列。由于這是在風險中性概率的條件下進行模擬的，所以可以通過無風險利率對期末現金流進行貼現，這樣就可以估算出期權的價值了。

值得一提的是，GARCH模型的起始波動率σ0選擇，對期權定價結果具有一定影響。本文采用現有文獻普遍使用的穩態波動率，作為GARCH模型的起始波動率。由GARCH模型（9）知，穩態波動率■為■。

考慮到GARCH模型在我國證券市場的實證結果[14]，證券收益均值方程一般寫成

■

再應用Duan（1995）方法，將上述方程轉換為風險中性測度Q下標的資產價格方程，即

■ （10）

其中νt為標準正態分布隨機變量。

最后，通過迭代就能得到期權到期日T時刻的價格PT。從而，由蒙特卡洛模擬方法得到的期權價格可表達為：

■ （11）

其中M為獨立仿真的資產價格路徑數。

基于EGARCH和TGARCH模型的期權定價方法與上面基本類似，僅波動率的計算方法有所不同。在此不再贅述。

四、數值實驗

（一）數據選取

關于基礎標的資產，本文選用2005年2月23日-2015年4月7日上證50ETF每日收盤價（共計2459個數據）作為原始數據，并基于此構建GARCH族模型。考慮到在此期間內上證50ETF的分紅派息等會導致權益變化，進而導致價格的非交易性變動，因此本文選取復權后的收盤價作為本文的數據源。

由于上證50ETF期權在我國是新鮮事物，可用的歷史數據并不長。為避免“新鮮事物效應”對期權價格的影響，本文刻意選取該期權已穩定運行一段時間后的市場數據：選取距離到期日2015年4月22日還有10個交易日{2}（即采樣2015年4月8日）的4月份看漲期權的收盤價數據。選擇超短到期的期權數據，原因在于：第一，距離到期日時間越短，期權價格對波動率的敏感程度越強；第二，國際市場上超短到期的期權交易活躍，應用也很廣。因此，分析這樣的期權價格將更加具有現實意義。

此外，考慮到流動性與期權價格的關系，本文只選取成交量大于等于1000份的期權價格數據，原因是交投活躍的期權交易可能驅使出較為合理的成交價格。

由于看跌期權可以通過期權的平價定理與看漲期權進行相互的轉化，所以本文不選取看跌期權數據。

關于無風險利率的選取，本文選擇一年定期銀行存款利率作為無風險利率，根據中國銀行最新公布的一年定期銀行存款利率，本文取r=2.75%。當然，也可選取其他利率，如Shibor，作為無風險利率。但這并不對本文最后結論構成任何實質性影響。

記第t天的收盤價格為Pt，本文用rt來表示第t天的對數收益率，有■，收益率rt的表達式為：■。對數日收益率rt生成樣本時間序列。采用EVIEWS6.0對序列rt進行基本的統計分析，樣本及其基本的統計結果如下圖：

從圖2我們可以清晰的看到，上證50ETF的日收益率存在明顯的集聚性效應。由圖3展示了上證50ETF日收益率的基本統計特征；右側的統計數據顯示，日收益率均值為0.000643，偏度為0.084636，峰度7.08666。Jarque-Bera統計檢驗顯示，該日收益率服從正態分布的概率幾乎為零。此外，圖3也顯示：收益率為極端值的情形，還是有顯著異于0的頻次發生的。這充分說明：上證50ETF的日收益率分布具有“右偏、超峰和肥尾”特征。

（二）模型參數估計

基于上證50ETF的歷史價格，本文采用極大似然法對GARCH族模型的參數進行估計，并對參數結果進行相應的分析。

三個模型的參數估計結果如下表：

從模型參數估計結果本文可以看出，全部參數在5%的顯著水平下都是顯著的，GARCH族模型能夠很好地刻畫上證50ETF價格收益率波動聚集的特性。特別地，TGARCH和EGARCH的非對稱項系數都是顯著的，這說明上證50ETF價格的波動存在顯著的非對稱性。

（三）數值結果與分析

模型參數確定后，本文采用蒙特卡洛模擬方法，對上證50ETF4月份看漲期權從2015年4月8日-2015年4月22日期間內10個交易日的價格進行模擬（4月23日為期權到期日）。在模擬波動率的過程當中，本文采用前文提到的穩態波動率作為波動率模擬的初始值。模擬的天數以期權剩余期限T為準。利用MATLABR2010b進行編程，模擬計算30000次，得到三個模型輸出的期權價格。

為比較三個模型的擬合程度，本文選取了三個比較常用的比較指標來判斷模型的優劣，即平均絕對誤差（MAE），平均百分比絕對誤差（ARPE）以及平均百分比相對誤差（RPE）。三者的計算公式如下：

■ （12）

根據以上公式計算各模型的模擬誤差，結果如下表：

表4的數值結果顯示，針對本文當前所選取的期權數據，三個定價模型輸出的期權價格與市場價格相當接近，不存在顯著的差異。這表明，GARCH族模型能夠較好地刻畫上證ETF50指數收益率波動的動態特性。

從三個誤差指標（平均絕對誤差MAE、平均百分比絕對誤差ARPE和平均百分比相對誤差RPE）的數值結果來看，TGARCH和EGARCH模型給出的期權價格與市場價格的偏差程度均比GARCH模型的要小。這說明，根據市場信息的非對稱影響效應改進的TGARCH和EGARCH模型的定價性能，確實要比GARCH模型好。換句話說，非對稱性GARCH模型，更能反映現實市場的實際情況。

進一步地，平均百分比絕對誤差（ARPE）指標的數值結果顯示，GARCH模型的定價總體要低于市場的實際價格，而TGARCH和EGARCH模型的定價則比市場價格稍微偏高。這表明：應用GARCH模型對上證ETF50指數收益的波動特性建模，將可能會產生“波動率泄漏”問題，從而低估期權價格；而TGARCH和EGARCH模型則總體上高估波動率。有趣的是，本研究可能揭示出一種可能的針對上證ETF50期權的校準方法：即結合GARCH模型和TGARCH（或EGARCH）模型二者的定價結果。

最后，考察GARCH族模型在實值期權（ITM，inthemoney）定價和虛值期權（OTM，outofthemeney）定價性能上的差異，以進一步評判基于GARCH族模型的期權定價適用寬度。表5給出了基于GARCH、TGARCH和EGARCH模型的ITM和OTM看漲期權的定價誤差。

表5中的結果清晰地反映出，三個GARCH族模型對實值期權的定價效果均表現出色，平均百分比相對誤差（RPE）都在3%左右。然而，對于虛值期權的定價效果，在完全相同參數設置下，三個模型的定價性能表現，均相應地比對實值期權進行定價的效果要差。原因其實也一目了然地反映在表5中：對于參數確定的GARCH族模型，其輸出的實值期權和虛值期權的絕對定價誤差，在數量上無顯著差別；但由于虛值期權在數值上本身就非常小，往往較接近于0，因此，相對誤差就顯得額外大。要提高GARCH族模型在虛值期權上定價精度，一種簡便有效的方法是：提高模型的階數。注意到：表4和表5中的GARCH族模型，p=q=1。表6給出了當p=2，q=1 時，三個GARCH族模型對虛值期權的定價效果。

表6中結果顯示，提升階數后的三個GARCH族模型對虛值期權的定價效果都一定程度的改善，具體體現為三個誤差指標都降低，如平均百分比相對誤差（RPE）比低階模型給出的結果降低了2%～3%，這說明提高模型的階數確實能夠提升三個GARCH族模型對虛值期權的定價效果。

五、結論

本文基于GARCH族模型對上證50ETF期權進行數值定價，得到以下結論：

一是總體來說，GARCH模型、TGARCH模型以及EGARCH模型給出的期權數值價格與實際價格，均不存在顯著的差異。這表明：GARCH族模型能較好地刻畫上證50ETF指數收益率的波動特性。

二是考慮了市場信息非對稱沖擊效應的GARCH改進模型，如TGARCH和EGARCH模型，其定價性能明顯優于不作改進的GARCH模型。這本質上表明，“利空”消息和“利好”消息確實對上證50ETF指數波動產生非對稱性的沖擊效應。

三是在完全相同參數設置下，GARCH族模型在實值期權上的定價性能，要略優于在虛值期權上的定價表現。要提高GARCH族模型在虛值期權上定價精度，一種簡便有效的方法是：提高模型的階數。

注釋

{1}Engle（1982）提出了自回歸條件異方差（ARCH）模型，其假定收益率殘差服從條件正態分布，條件期望為零，條件方差為以前若干期收益率誤差平方的函數[8]。但該模型存在擬合時階數過大等問題。于是Bollerslev（1986）在ARCH型中引入無窮期誤差項，得到廣義自回歸條件異方差（GARCH）模型。Duan（1995）發表了GARCH期權定價模型，以GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity）模型描述資產收益軌跡，反映了標的資產條件波動性的改變[9]。在此基礎上，考慮到風險溢價隨時間變化而變化的因素，Engle，Lilien&Robbins;（1987）提出了ARCH-M 模型。盡管如此，仍然無法解決利空消息和利好消息對股價產生不同沖擊的問題，考慮到波動率的非對稱性，Nelson（1991），Zakoian（1994）分別給出了EGARCH和TGARCH模型。

{2}這里特地關注“交易日”，而不是自然日，是因為用GARCH模型做時間序列仿真，仿真時長對應的是“總的交易日”，而非自然日。

參考文獻

[1]Black，Scholes.Thepricing of options and corporate liabilities[J].Journal of political economy，1973，3（81）：637-659.

[2]Merton.Option pricing when underlying stock returns are discontinuous[J].Journal of Financial Economics，1976，3（2）：125-144.

[3]Hull，White.Thepricing of options on assets with stochastic volatilities[J].The Journal of Finance，1987，2（42）：281-299.

[4]Scott LO.Option pricing when the variance changes randomly：theory estimation and an application[J]. Journal of Financial and Quantitative Analysis，1987，22（1）：419-438.

[5]Heston SL.A Closed Solution For Options With Stochastic Volatility，With Application to Bond and Currency Options[J].Review of Financial Studies，1993，6（2）：327-343.

[6]DBates.Jump and Stochastic Volatility：Exchange Rate Processes Implict in Deutche Markin Options[J]. Review of Financial Studies，1996，9（1）：69-107.

[7]LScott.ricing Stock Optionsina Jump-Diffusion Model with Stochastic Volatility and Interest Rates：Applications of Fourier Inversion Methods[J].Mathematical Finance，1997，7（4）：413-424.

[8]Engle.Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation [J].Econometrica，1982，50（4）：987-1008.

[9]Duan，Jin-Chuan.The Garch option pricing model[J].Mathematical Finance，1995，5（31）：13-32.

[10]Jong，Lehnert.Implied GARCH Volatility Forecasting[EB/OL].http：//papers.ssrn.com，2001.

[11]王健，李超杰，何建敏.有交易成本的GARCH-擴散期權定價模型[J].東南大學學報：自然科學版，2006，36（1）： 174-178.

[12]Louis，Wei Guan.Time Series Volatility Forecasts for Option Valuation and Risk Management[R].AFA 2008 New Orleans Meetings Paper，2008.

[13]Christoffersen，Elkamhi，Feunou.JACOBS Option Valuation with Conditional Heteroskedasticity and Non-Normality [EB/OL].http：//papers.ssrn.com/sol3，2007.

[14]何紅霞，胡日東.中國股市價格的波動性研究——基于滬深300指數的GARCH族模型[J].和田師范大學學報，2010，29（3）： 10-12.

[15]劉旭彬.GARCH模型的蒙特卡羅模擬方法及應用[J].統計與決策，2010，2010（23）：163-165.

[16]鄭振龍，黃薏舟.波動率預測：GARCH模型與隱含波動率[J].數量經濟技術經濟研究，2010，2010（1）：140-150.

[17]李云紅，魏宇.我國鋼材期貨市場波動率的GARCH族模型研究[J].數理統計與管理，2013，32（1）：191-201.

[18]吳鑫育，周海林，汪壽陽，馬超群.基于GARCH擴散模型的權證定價[J].系統工程理論與實踐，2012，32（3）：449-457.

作者簡介：張浩林（1992-），男，廣東佛山人，碩士研究生，研究方向：計算金融、量化投資。