非等間隔灰色Verhulst模型的病態性研究

【摘要】針對非等間隔的灰色verhulst模型的病態性問題，構造出新的背景值構造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型解的一種新形式。通過實例分析可發現新提出的方法可從提高模型精度和降低求解參數矩陣的條件數兩方面較好的改善了模型的病態性。針對非等間隔灰色模型的病態性問題提出了新的且有效的解決方法，首次從模型精度和參數矩陣的條件數兩方面解決模型的病態性問題，這也為解決其他類型的灰色模型的病態性提供了新的參考。

【關鍵詞】非等間隔 灰色模型 Verhulst模型 病態性

灰色Verhulst模型與灰色模型是灰色系統[1]預測中的最常用模型，它們構成灰色預測體系的核心部分。近年來，灰色Verhulst模型在各領域[2-5]的應用比較廣泛，但是這些模型多是考慮等時間距數據序列建立的，而實際建模中的序列往往是非等間隔序列，此時需要考慮到非等間距建立非等間隔灰色Verhulst模型[6]才能較好的解決實際問題。隨著非等間隔灰色Verhulst模型的研究及應用，取得了一些研究成果[6-8]，但也出現了一些問題，如針對部分波動數據來建模，模型的解會出現精度較低的現象。出現這一現象的原因可以歸結為非等間隔灰色Verhulst模型存在一定的病態性，目前還沒有該模型病態性這方面的研究。本文從模型參數矩陣條件數理論出發，首先將非等間隔灰色Verhulst模型線性化，其次修改模型背景值的公式以降低模型參數矩陣的條件數和提高模型精度兩方面來改善模型的病態性。

一、改進非等間隔灰色Verhulst模型建模機理

（一）原始非等間隔灰色Verhulst模型

根據非等間隔灰色Verhulst模型的穩定性研究中的定義1可知非等間隔灰色Verhulst模型（定義型）■的白化微分方程形式為

■ （1）

其中

■為非負原始非等間隔序列，■，■為間隔；■為■的1-AGO序列，■，其中，■，■為■的背景值序列，傳統上有：■，

■

（二）非等間隔灰色Verhulst模型的線性化

根據（1）可知，白化模型為非線性模型，據非線性模型求解來看，若可以將該模型轉化為一般線性模型求解，將降低非線性模型直接求解（有的非線性模型求解比較復雜）的難度，所以本文擬將非等間隔灰色Verhulst模型（1）轉化為線性模型在進行模型求解繼而得出模型的解的表達式。

由■為■的1-AGO序列可知，序列■可以近似看作指數序列，一般情況下都是根據序列■來進行建模的，所以建模序列的處理變得很重要。本文將非等間隔灰色Verhulst模型（1）線性化即可通過對■序列做如下處理：

■ （2）

則模型（1）可轉化為

■ （3）

其中■。至此模型（3）可以變為類似非等間隔GM（1，1）模型的形式即

■ （4）

則可以根據GM（1，1）模型解的形式推出模型（3）的解（時間響應式）如下：

■ （5）

由（2）及■可以推導出

■

進一步還原得出

■ （6）

（三）非等間隔灰色Verhulst模型的背景值改進

在傳統的灰色建模中，多數采用背景值公式為累加序列的緊鄰均值公式即

■=■ （7）

文獻[9，10]等指出上述背景值的構造式（7）存在誤差并提出了改進式，得到較好的預測效果，本文在文獻[9，11]的背景值構造基礎上稍作改進，最終重構了非等間隔灰色Verhulst模型線性化后的模型背景值的構造式，詳細介紹如下：

由于線性化后模型（3）的解滿足指數形式，所以■可用如下指數曲線近似

■ （8）

因曲線（8）經過■及■兩點，則有

■ （9）

■ （10）

（10）/（9）得

■ （11）

則可求出B為

■ （12）

將（12）代入（9）中得出A的值為

■ （13）

因此可構造出模型（3）的背景值為

■

■

即新的背景值公式為

■■ （14）

同理對■有

■■ （15）

至此可將改進的建模步驟總結如下：

1）通過對原始序列■的1階累加序列■進行建模，其中背景值公式為本文提出的新形式（15），得出非等間隔灰色Verhulst模型。

2）將得到的非等間隔灰色Verhulst模型的白化模型進行線性化（2）處理得到形如（4）的模型，利用本文重構的背景值公式（14）結合最小二乘法進行模型參數求解，根據（5）得出線性化后的模型解■。

3）根據（2）式子還原得出非等間隔灰色Verhulst模型的解■，進一步還原得出■，其中（■）。

二、模型病態性研究

（一）模型參數矩陣條件數

根據上述研究，將非等間隔灰色Verhulst模型的白化微分方程（1）線性化后對應的灰微分方程記為

■ （16）

那么求解參數矩陣C及參數■關系為：■（17）

其中■，■。

根據（17）求出模型（16）的參數■后，可以根據（5）可以得出模型（16）的解■，最終通過（6）可還原得出模型（1）的解■。從上述分析可知模型（16）的參數對模型（1）的影響很大，若模型（16）的參數矩陣■為良態，那么理論上模型（1）應具有較好的模擬效果。

矩陣■的病態性，可根據矩陣的條件數來判斷，此處矩陣條件數記

■ （18）

其中■，■分別表示矩陣A的最大、最小特征根。

實踐中一般認為：若11000，則矩陣A為嚴重的病態；

■

根據（18）可以求出

■ （19）

其中

■

（二）模型精度檢驗

一個模型的精度好壞需通過檢驗才能驗證其正確性與合理性 相對誤差是評判一個模型預測精度的重要指標，相對誤差越小模型的精度越高，同樣可以通過計算相對誤差的平方和的大小來評判一個模型的精度.文中擬采用相對誤差對預測結果進行檢驗，相對誤差式子如下：

■ （20）

三、實例分析

對本文提出的改進背景值公式，我們通過數據驗證其效果，結果會更直觀，假如我們取文獻[6]的實例沉降數據如下：

■

此處用（7）這一傳統的背景值公式來建立灰色非等間隔模型記作模型一，用改進的背景值公式（14）來建立灰色非等間隔模型記作模型二。其中模型一的解可用■來表示，其中

■ （21）

模型二的解可根據（5）、（6）得出。

根據以上理論，通過MATLAB編程得出各模型參數如下

模型一的參數■；

模型二的參數為■；

模型一、二的精度及求解參數矩陣的條件數見模型效果對比表3-1。

從模型效果對比表3-1可知，本文提出的建模方法大幅度的降低了模型求解參數矩陣的條件數，模型從具有嚴重病態性到輕度病態轉化，而且模型的精度也有一定提高，從而較好的改善了模型的病態性。上該實例分析可見本文提出的方法的有效性，可行性。

四、結論

本文提出了新的背景值構造公式，將灰色非等間隔模型的白化方程線性化得出模型的解的一種新形式。通過實例分析可發現本文的方法可從提高模型精度和降低求解參數矩陣的條件數兩方面較好的改善了模型的病態性，但唯一不足之處就是還需進一步提高預測模型的精度，以較好的滿足實際問題的模型精度需求。

參考文獻

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作者簡介：范獻勝（1987-），男，助教，研究方向為灰色預測建模、數據分析。