幾何形體上積分的微元法教學

趙玉娟

（吉林大學數學學院，吉林 長春 130022）

隨著現代社會的發展，數學教育的普及和日益廣泛的應用，高等數學的用途越來越顯露出來。我們在教學中遇到了一個關于微積分的應用問題，通過這個問題，使我們積累了培養學生發現數學問題及培養學生解決問題能力的經驗，嚴謹性與邏輯性的關系，以及解決實際問題過程中的全面性。尤其是邊界問題，極值問題與最值問題等的實際意義。

一、問題

1、我們把具有長度，面積，體積等形狀的物體統稱為幾何形體。幾何形體上的積分就是指多元函數的積分域是具有幾何形狀的物體上（包括曲線，曲面，區域，立體等）。其方法就是利用微元法。先化整為零，再“積零為整”。即把“大化小”，求出小幾何形體的度量，并把它看做一個“點”，這個點仍具有小度量的意義，再對這些“點”求和，即對幾何形體上求積分。具體方法如下：

2.舉例

當幾何形體為空間區域時，我們計算質點繞定軸轉動的轉動慣量問題。

例1設密度為常數ρ，底面半徑為R，厚度為常數h的圓柱立體，圓柱體的軸向上有4個螺母形“空柱”，分布于直徑上相互垂直的位置上，空柱半徑為求這個有“洞孔”（如圖2）且底面半徑為R，厚度為常數h圓柱繞其中心軸旋轉的轉動慣量，并討論轉動慣量何時最大。

解：首先建立空間直角坐標系，以旋轉軸為oz軸，以底面為oxy面，以底面圓形中心為坐標原點建立直角

轉動慣量I=m r2;其中r是質點到旋轉軸的垂直距離，m是物體質量。當幾何形體的形狀為G時，其繞定軸L旋轉時的轉動慣量

圖1

圖2

圖3

圖4

其中r表示dG（看做點）到旋轉軸L的垂直距離，ρ表示幾何形體G的密度，dG表示幾何形體的度量（幾何形體的長度，面積，體積等總稱為幾何形體的度量）。

（1）先計算實心圓柱（如圖2）繞其中心軸（oz軸）旋轉的轉動慣量。

根據微元法，設在 oxy 面上，底面所占區域 D1=｛（x，y）│x2+y2≤R2}，在D1上點 (x,y)處，取一小塊平面區域，記為 dσ，也用它表示面積；柱體上與dσ對應的空間區域用dG表示，同時也用它表示體積dG=hdσ，則，把dG看做點(x,y,z)處的質點，則dG其繞中心軸oz軸旋轉時的轉動慣量；dI=r2dm=（x2+y2）ρhdσ；計算出轉動慣量

（2）設“空柱”的軸心位于距離整個柱體軸心a處，半徑為在底面上(在 oxy面上)位于點（a，0）處（參考圖 3），a滿足，取令則計算出此“空柱”部分的轉動慣量

利用積分區域的可加性，積分的輪換對稱性及轉動慣量的可加性，并利用（1）的結果，故有4個小圓“洞孔”的圓柱繞中心軸oz軸旋轉的轉動慣量為

其中帶有4個圓“洞孔”柱的立體質量為m2=ρh[πR2-4π代入上式得

例2設密度為常數ρ，底面半徑為R，厚度為常數h的圓柱立體，圓柱體的其軸向上有4個扇形“空柱”，分布于直徑上相互垂直的位置上，扇形空柱半徑為，求這個有“洞孔”（如圖2）且底面半徑為R，厚度為常數h圓柱繞其中心軸旋轉的轉動慣量，并討論小扇形孔位于底面何處時轉動慣量最大，并與例1中的結果比較那種形狀的圓柱體轉動慣量更大。

解：畫出底面形狀在oxy面上圖形（如圖4），實心柱繞其中心軸的轉動慣量為

設扇形的頂點在（a，0）時，其中，先計算出圓柱上位于小扇形“洞孔”處的相應部分繞oz軸的轉動慣量，由于在oxy面上，頂角為

根據積分區域可加性和積分的輪換對稱性及轉動慣量的可加性，并利用（1）的結果，故得有4個形狀相同的小扇形“洞孔”的圓柱繞中心軸oz軸旋轉的轉動慣量

二、結果的對比分析

（1）取時，得若R為常數，假設幾種不同形狀的圓柱體的質量相等，即m1=m2=m3時，顯然I1＜I2且I1＜I3，即實心柱的轉動慣量I1最小。

（3）討論對于“孔洞”為扇形柱的柱體（底面圖形如圖4），

圖5

圖6

圖7

圖8

其轉動慣量可疑的極值點為，因為0＜a＜R，所以函數無極值。而a的值越大，轉動慣量就越??；a的值越小，轉動慣量也就也越大。當a=0時，轉動慣量最大，此時圓柱體是一個空心柱。（圖7）；當時，最小，此時“洞孔”圓柱與外緣相切（圖8）。

（4）對于例1的最小值和例2的最小值

這只是一個數學的應用問題，是微積分的數學應用教學。

在實踐教學中，我們一方面，要教會學生使用微元法，另一方面，要教會學生結合具體問題建立數學模型，這個模型其本質上是高等數學中極值和最值問題。尤其是要注意的是邊界情況，要結合實際問題說明邊界點的重要性。慢慢培養學生嚴謹性，這對學生的數學素質提高是極好的訓練。

三、數學模型教學的現實意義

通過上述模型的研究，顯示出多元微積分學應用的重要性。

我們通過這個例題培養學生發現數學問題，并用所學的知識解決問題的能力，了解數學問題遍布生活的方方面面，只要你能注意到問題的存在，這對培養創新型人才具有現實意義。在高等數學教學中我們教給他們一些建模方法，對他們后續課程和未來的工作都是有益的，所謂厚積薄發。使學生了解數學不是抽象得離生活很遠。及早培養學生用數學方法解決實際問題的意識，數學是當今時代必要的技術手段，學會用數學手段解決問題，是科學未來發展的必要基礎。

[1]趙玉娟等.知識經濟時代的數學教學[J].現代教育科學，2004,（12）.

[2]COMAP（申大維等譯）.數學的原理與實踐[M].高等教育出版社,施普林格出版社，2004.