基于Poly IIR方法懸臂梁模態參數識別與研究

侯堯花， 張占一， 黃晉英， 馬廣軒， 沈 松

(1. 中北大學機械與動力工程學院，山西 太原 030051; 2. 北京東方振動和噪聲技術研究所, 北京 100085)

0 引 言

懸臂梁結構已廣泛應用到許多大型旋轉機械的葉片模型中，其固有振動是旋轉機械振動中最常見的振動形式之一[1-3]。在風機葉片高速旋轉的過程中，由于受到各種交變載荷的長時間沖擊，葉片自身會發生非常明顯的受迫固有振動，并且在工程應用中受到酸性水、大氣等外界條件腐蝕影響，對基于懸臂梁模型的葉片破壞極大，因此必須對旋轉的葉片結構設計提出更高的要求[4]。

郭金泉等[5]利用平穩小波變換來識別懸臂梁上的缺陷；趙亮等[6]利用廣義哈密爾頓原理及假設模態法得出懸臂梁系統動力學方程軸向運動，得到了材料屬性指數越大、梁剛度越大、振動頻率越大而振幅越小的結果；戴震等[7]研究了等截面懸臂梁自由落體沖擊實驗分析，得到了懸臂梁在沖擊作用下的應力狀態，沒有對懸臂梁的沖擊響應譜進行分析，因此對懸臂梁的力學傳遞特性的研究具有一定的局限性。張金輪等[8]利用插值矩陣法分析軸向受載的Euler-Bernoulli 梁雙向彎曲與扭轉耦合振動；蘇軍等[9]研究了一種懸臂梁式的發動機葉片扭轉和彎曲變形同步測量的新方法；馬輝等[10]進行了斜裂紋懸臂梁非線性振動特性分析，僅考慮了彎曲振動對裂紋的影響，得到隨著裂紋角度的增加，裂紋導致的懸臂梁系統非線性特性更為明顯，但是懸臂梁在扭轉變形時對裂紋的影響更大，因此需要更進一步研究扭轉變形對裂紋的研究。

以上學者集中于懸臂梁裂紋對模態參數的影響，沒有對懸臂梁的扭轉與彎曲變形進行詳細的實驗研究，但是揮舞彎曲與扭轉變形對于葉片的結構安全影響較大，因此有必要進行懸臂梁的彎曲與扭轉模態分析。在模態參數識別方法中，許多文獻利用的方法包括ERA法、EFDD法、Poly MAX法[11-15]等，但是特征值算法擬合時必須先算脈沖響應函數，降低了計算效率，Poly MAX法的Hankel矩陣的系數需要復數運算，耗時較長而且對密集模態參數的識別具有一定的局限性，因此本文基于Poly IIR法對懸臂梁的彎曲與扭轉變形進行模態測試，為葉片等懸臂梁結構系統的振動特性分析、振動故障診斷和預報以及結構動力特性的優化設計提供參考依據。

1 懸臂梁的模態理論分析

實際的振動系統都是彈性體，它的振動需要時間與空間坐標的函數來描述，其運動不再是二階常微分方程組，而是通過偏微分方程來表示，本文擬利用Euler梁模型進行理論分析計算，它的主要特點為在同一XOY平面內梁的各階模態振型做橫向振動，主要變形為彎曲變形，在低頻振動時可以忽略剪切變形以及截面繞中心軸轉動慣量的影響。

通過材料力學的平衡面假設得知，彎矩與撓度的關系為然后代入力平衡方程中得到

當令p=m時，得到梁的橫向振動為

假設梁的主振動為y=Y(x)bsin(ωt+?)，代入式（2）得到

根據材料力學理論得到等截面懸臂梁的邊界條件為Y(0)=0,[EIY′′(X)]′=0,x=0,x=l。得到

懸臂梁各階固有頻率為

主振型為

2 有限元分析計算

Workbench分析選用solid 186實體單元,懸臂梁的橫截面為矩形截面，長度L=600 mm，寬度b為50 mm，厚度h為8 mm，彈性模量E為2×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ為7800 kg/m3。按照上述懸臂梁參數，利用Workbench對懸臂梁振動模態頻率進行求解，得到前5階彎曲頻率分別為 10.247 ，64.192 ，179.75 ，352.23， 582.82 Hz。扭轉頻率分別為231.87 ，698.17 ，1172.1 Hz，限于篇幅只給出前3階模態振型，如圖1和圖2 所示。

3 實驗模態分析計算

3.1 Poly IIR 算法理論分析

Poly IIR模態識別方法利用IIR濾波原理推導出其頻響函數特征方程系數，可以得到和模態頻域參數識別Poly MAX法同樣清晰的各階模態穩定圖，此算法理論嚴密，計算過程簡單，如果 SISO系統的脈沖響應函數h(k)已知，其頻響函數為

圖1 懸臂梁前3階彎曲模態有限元結果

此處是采樣間隔，是脈沖響應函數，是波形點數或長度，這是離散譜對應頻率點在右端第2項為截斷的部分對應的頻譜，在所有頻域法中，這項是未知的結果。

假定n階模態的FRF寫為

此處令N=2n，則有

由于式（11）中只有多項式的分母為系統的頻率特征方程, 取較低的L?N個方程構成：

圖2 懸臂梁前3階扭轉模態有限元結果

對于MIMO系統來說，有q個響應點和p個激勵點，式(3)中的系數矩陣ai具有維數p×p，而且a0=Ip×p，系數bi和脈沖響應函數序列h(k)可看作是的行矢量，對應同一響應點的p個激勵點，因此得到：

特征方程系數矩陣為H矩陣所有元素的平方和取最小值。計算出(N+1)p維對稱方陣并且矩陣M為

所有元素直接從時域數據得到，不需要額外的運算，更不需要復數的運算，比Poly MAX方法處理速度快了20%左右，模態參數識別率也提高了12%左右。特征方程為

第r階模態的頻率和阻尼為

3.2 懸臂梁的模態實驗

選取的懸臂梁尺寸為600 mm×50 mm×8 mm(長×寬×高)，材料為鋼。實驗過程首先把懸臂梁分10等分，總共22個測點，利用2個9824 ICP型加速度傳感器分別布置于第10、13兩個測點，這樣放置到了最佳測試點，使該處的ADDOFA值最大，提高了信號的信噪比，因此本實驗需采用MIMO實驗法，提高模態特征方程的解耦性，識別同一頻率附近不同的懸臂梁模態振型。

此次實驗步驟如下：

1）在懸臂梁的左右兩側沿著變形最大的2個測點處分別布置2個9824型ICP加速度傳感器，然后安裝好MSC-1基于尼龍頭的小力錘加力信號調理棒，利用雙BNC線接入數據采集儀，詳細布點位置，如圖3所示。

2）進行基于錘擊法的懸臂梁模態測試實驗，首先進行預實驗，得到合適的激勵采樣頻率，然后利用DASP變時基技術得到較低的響應信號采樣頻率。

3）然后進行MIMO實驗模態過程。

圖3 懸臂梁模態實驗現場連接圖

4）利用基于Poly IIR方法進行模態參數識別。

5）得到懸臂梁實驗模態固有頻率與振型。

6）可以通過結果輸出模態質量與模態剛度來驗證實驗結果的準確性。

由圖4可以看出單個測點的頻響特性函數的各階頻率信噪比非常好，說明本次實驗數據的有效性，通過對所有測點的頻響函數進行集總顯示得到如圖5所示，可以明顯看出各階密集模態結果。圖6為利用Poly IIR得到的前5階的彎曲模態振型，各階固有頻率分別為10.0 ，63.228，176.67，348.3，574.61 Hz，得到模態擬合結果解耦性好，峰值點突出，虛假模態幾乎沒有，說明該方法的準確性與穩定性指標非常好；圖7為懸臂梁理論結果和實測頻響曲線，得到實測值與理論值幾乎重合；圖8為振型相關矩陣校驗檢查模態分析結果，得到各階振型的正交性良好。

圖4 單個測點的FRF與相干系數曲線

圖5 所有測點的FRF函數線性組合曲線

圖6 Poly IIR模態擬合結果示意圖

圖7 理論計算與實測結果對數幅值對比曲線

圖8 模態相關性Cross MAC值計算結果

4 分析不同實驗結果

通過前面的理論計算以及有限元分析得到懸臂梁的前5階固有頻率與振型，然后通過對懸臂梁進行實驗模態分析得到懸臂梁的彎曲與扭轉模態結果，如圖9和圖10所示。

圖9 懸臂梁前5階彎曲模態振型結果

圖10 懸臂梁前5階扭轉模態振型

表1 彎曲實驗與仿真結果比較

由表1中的實驗結果可以得到懸臂梁的彎曲變形與扭轉變形的模態振型具有相似之處，但是扭轉變形對葉片等懸臂梁的結構共振損傷影響更大，在彎曲變形中，各階固有頻率基本滿足βil的平方與1階固有頻率的乘積，而扭轉變形的各階固有頻率為2i?1階數與1階頻率的乘積，但是扭轉1階固有頻率為241.87 Hz，對比有限元分析的1階頻率偏大，說明ICP傳感器附加質量對懸臂梁扭轉頻率產生一定的影響，可為后續對不同附加質量對懸臂梁各階模態頻率的影響提供參考。

5 結束語

本文對懸臂梁進行了比較詳細的理論仿真計算，建立了懸臂梁的振動力學模型，得出了懸臂梁各階固有頻率理論表達式，利用有限元分析了懸臂梁彎曲與扭轉模態，然后利用Poly IIR方法擬合得到了懸臂梁的各階彎曲模態與扭轉模態實驗結果。

懸臂梁的的各階頻率主峰非常明顯，因此驗證了Poly IIR方法對同一結構不同方向之間的模態頻率擬合識別的優越性。通過對懸臂梁的彎曲與扭轉模態分析，以及前期對簡支梁的模態實驗分析研究中可知，各階固有頻率與一階頻率成線性比例關系。

根據懸臂梁的各階模態參數對比，可以為風機葉片的強度設計提供參考，包括增大葉片根部的強度設計，盡量避免風機轉子的1階臨界轉速頻率靠近葉片1階模態頻率。

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