顫振主動抑制的LPV控制設計

鄭曉珂, 唐 煒， 王立博， 王 波

(西北工業大學自動化學院， 陜西 西安 710129)

引 言

顫振是氣動力、彈性力和慣性力的耦合作用而發生的一種自激振動，是氣動彈性系統動力學失穩的一種表現形式，會導致飛行器結構短時間內破壞，釀成災難性后果。現代飛行器設計由于采用了輕柔結構，并且追求高速、高機動性，顫振問題顯得愈加突出。因此，如何進行有效的顫振主動抑制是飛行器設計必須解決的關鍵問題。

現代控制理論早已應用于顫振抑制。LQR控制[1]和LQG控制[2]是早期研究的主流方法。近年來，魯棒控制因其能夠描述對象的不確定性，已成為顫振抑制的一種有效設計方法。在文獻[3]中，H∞和μ綜合控制被用于BACT風洞模型的顫振抑制，取得了較好的魯棒性和抗干擾性。

飛行器因其飛行狀態變化形成了快速時變的特點，魯棒控制只是提高了控制律的適用范圍，并不能解決根本控制律的大范圍寬自適應性問題。最近，線性變參數方法(LPV)因其能反映系統參數的時變特性而被廣泛關注。作為一種增益調參方法，LPV控制既能兼顧全局魯棒性又能表現出參數自適應性。例如：文獻[4]針對BACT機翼模型設計了以動壓和馬赫數為調度參數的LPV增益調度控制器進行顫振抑制，仿真結果表明效果良好。文獻[5]則針對BFF vehicle設計H∞和LPV控制器，并比較了二者的性能。LPV控制技術目前已被用于試驗驗證機X-56A的顫振抑制研究中[6]。

本文旨在探索適用于顫振抑制的LPV控制器設計方法，結合LPV斜投影法和Lyapunov函數方法給出了一種包括模型降階在內的LPV控制器快速實現方法，并將其應用于Goland Wing機翼的顫振抑制。仿真結果表明該控制器能夠勝任在較寬飛行包線范圍內的顫振抑制。

1 線性變參數模型

LPV模型是一種時變的狀態空間模型，其定義如下

(1)

式中ρ(t)為實時可測的調度參數。矩陣A,B,C,D是ρ(t)的已知函數，對于飛行器而言，ρ可以是飛行高度、速度、動壓等變化參數。

目前，LPV模型的表示方法主要包括線性分式變換(LFT)法[7]；網格線性化法[8]和狀態矩陣的多胞形法[9](仿射參數依賴形)。本文將采用網格法表示LPV模型。建立氣彈系統的LPV模型是開展LPV控制的基礎。現有LPV建模包含了理論建模和實驗建模。前者借助氣動流體計算和有限元結構分析，得到一個階次高達數百階，乃至上千階的LPV模型，這顯然無法滿足LPV控制對模型階次的要求，因此對理論模型降階必不可少。后者通常采用全局或局部辨識方法[10-11]，是理論模型修正的輔助手段。本文將主要研究基于理論模型的LPV控制。

2 LPV斜投影降階

高保真的飛行器氣彈模型不僅含有剛體運動模型，還含有彈性模態動態特性，原始模型階次很高，為了得到面向控制的LPV模型，需對高階模型進行降階處理。LPV模型降階不同于LTI模型，其降階過程需要考慮多個離散網格點的狀態空間一致問題，同時，計算量也是困擾模型降階的主要難點。本節采用的LPV斜投影降階法[12]適用于穩定的LPV系統，能有效解決以上兩個問題。

LPV降階模型定義如下

(2)

式中Ared,Bred,Cred,Dred的階次應控制在20階以下。

2.1 LPV模型平衡變換

類似于LTI模型的平衡截斷法，LPV模型可通過計算廣義可控Gramian矩陣Xc,ρ和廣義可觀Gramian矩陣Xo,ρ進行LPV模型的平衡，廣義可控可觀矩陣滿足下列LMIs

(3)

(4)

進而得到LPV系統的平衡變換：

(5)

(6)

2.2 基于變參數斜投影的平衡截斷

(7)

(8)

系統(8)即為希望得到的降階模型。

2.3 算法實現

(1)局部LTI模型：計算每個網格點ρk?{ρ1,…,ρm}處模型的Cholesky分解和奇異值分解(SVD):

(9)

(10)

(2)全局LPV模型：由SVD近似計算變參數主子空間span(Lc,ρU1,ρ)

(11)

變參數斜投影平衡截斷為

(12)

綜上可知，LPV斜投影降階法是用變參數的核定義了投影的方向，用常量矩陣V保證降階LPV系統的狀態一致性，同時避免了參數率的引入。

3 LPV控制設計

假設廣義對象有如下形式

(13)

其中為了簡化推導過程，式中假設D11(ρ)=0, D22(ρ)=0，同時，D12(ρ)，D21(ρ)被轉化為標準形式。

因此，從y到u的反饋線性變參數控制器可定義為

(14)

(15)

其中

(16)

(17)

(18)

(19)

LPV控制器的求解由如下定理給出。

(20)

(21)

(22)

如果這些條件滿足，定義

(23)

(24)

(25)

進而，可得到n維的反饋控制器，定義如下：

Q-1(ρ)X(ρ)L(ρ)C2(ρ) -

(26)

BK(ρ): = -Q-1(ρ)X(ρ)L(ρ)

(27)

CK(ρ): = F(ρ)

(28)

DK(ρ):=0

(29)

其中：

(30)

由式(20)～(22)可知：LPV控制器的可解條件是無窮維的LMI優化問題。為了簡化問題，可以通過一組基函數定義矩陣變量

(31)

4 應用算例

本文以Goland Wing機翼模型驗證LPV降階和控制算法的有效性。Goland Wing是一副小展弦比的矩形機翼，其幾何外形和片條的劃分如圖 1所示[14]。選擇機翼的前4階模態建模，機翼均勻分布12塊片條，每塊片條入流項個數為7個，系統輸出為機翼的模態坐標，1個控制舵面輸入。利用片條理論和有限元計算，可得到一個92階、以來流速度V為變量的初始狀態空間模型。

圖1 Goland Wing片條劃分(單位:m)Fig.1 Goland Wing and strip division (Unit: m)

4.1 降階效果

根據系統的Hankel奇異值，初步選擇降階后的系統狀態矩陣為12階。利用本文研究的LPV斜投影降階方法只需2 s即可完成模型降階。為了說明模型的有效性，圖2對比了全階系統和降階系統在穩定狀態點V=[102∶2∶132] m/s的Bode圖，由圖可知，在頻率低于104rad/s時的Bode圖與原始系統基本重合，較好保留了系統的頻率特性。

圖2 全階和降階模型的Bode圖對比Fig.2 Bode of full-order versus reduced-order model

圖3比較了全階系統和降階系統在整個變參數空間的極點移動情況，淺色到深色的漸變過程為速度由低到高的過程。由圖3可以看出，降階模型與全階模型的輕阻尼模態軌跡基本重合，而輕阻尼模態是誘發顫振的主要模態。

圖3 飛行包線內的極點移動圖Fig.3 Pole migration across flight envelope

LPV系統是時變的，針對單點的LTI模型分析并不能抓住LPV模型的時變本質，因此，有必要針對參數軌跡開展時域仿真。圖4所示為選取的參數軌跡，該軌跡包含了具有高變化速率的完整來流速度參數空間，同時，比較了全階和降階系統沿著時變參數軌跡的階躍響應，可以看出降階模型很好地與全階模型重合，保留了系統的時變特性，其他輸入輸出與此類似。

圖4 LPV仿真Fig.4 LPV simulation

4.2 LPV控制效果

針對降階后的12階機翼模型，由頻率特性得到隨著速度的增加一階模態頻率和二階模態頻率相互接近。求得顫振臨界速度為136.205 m/s，顫振頻率為11.1408 Hz。

控制框圖如圖5所示，其中，Wperf為性能權重函數；Wu為輸入加權函數；Wnoise為測量噪聲權重；Wdist為擾動權重函數，以上各權重函數取值如下：

Wperf=2diag(0.015,0.015,0.05,0.05)

Wu=(12/π)I1×1

Wn oise=0.001I4×4；Wdist=I1×1

圖5 控制設計框圖Fig.5 Control Design block diagram

通過將權重函數取為常量值，可得到較為低階的控制器。

由圖6可以看出在設計的包線范圍V=[126:2:156] m/s內，控制器的振動抑制效果十分明顯。圖7為時域仿真，分別為V=136.205 m/s和V=150 m/s時輸入到輸出1的階躍響應，由圖可以看出當系統發生等幅或者發散振動時，LPV控制器能夠快速有效地抑制振動，使系統處于穩定狀態。

由圖6可以看出在設計的包線范圍V=[126:2:156] m/s內，控制器的振動抑制效果十分明顯。圖7為時域仿真，分別為V=136.205 m/s和V=150 m/s時輸入到輸出1的階躍響應，由圖可以看出當系統發生等幅或者發散振動時，LPV控制器能夠快速有效地抑制振動，使系統處于穩定狀態。

同時，在每個狀態點設計H∞控制器與LPV控制的對應狀態點的控制器進行比較，圖8為顫振速度V=136.205 m/s的對比圖。由圖可以看出，LPV控制器能夠取得與H∞控制器相似的控制效果，但需要注意的是LPV控制器是一個隨參數時變的控制器，它能夠在設計者所希望的飛行包線段內取得良好的控制效果。

圖6 控制前后頻域對照圖Fig.6 The frequency domain control effect

圖7 控制前后時域對照圖Fig.7 The time domain control effect

圖8 LPV控制與Hinf控制對比Fig.8 LPV control versus Hinf control

5 結 論

本文利用LPV技術設計顫振主動抑制控制器。首先，針對高階網格LPV模型，變參斜投影降階法的計算量小，降階效果好；采用基于Lyapunov函數的方法設計LPV控制器。針對92階的Goland Wing模型，仿真結果表明降階算法計算時間短，降階模型與全階模型的低頻頻率特性以及輕阻尼模態軌跡基本重合；最終，設計出的LPV控制器，在預期的飛行包線內能夠有效抑振。

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