強噪聲背景下頻率加權能量算子和變分模態分解在軸承故障提取中的應用

徐元博， 蔡宗琰， 胡永彪， 丁 凱

(長安大學道路施工技術與裝備教育部重點實驗室， 陜西 西安 710064)

引 言

對于大部分機械零部件來說，無論是軸承、傳動軸或者其他零部件，當它們出現故障時，都會出現異常振動。機械設備正常工作時表現出的振動量在時域和頻域都具有一定的數據特征并且具有一定的規律性，因此一旦檢測出實際振動數據的特征量不符合正常工作情況下的規律性時，即可判定設備的運行有異常情況或故障隱患[1]，因此利用振動信號診斷法來判斷故障特征已經得到了廣泛應用。機械故障產生的振動信號一般具有很強的非線性與非平穩性特征，同時伴隨著噪聲。經驗模態分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)作為一種非線性和非平穩信號的處理方法[2]，得到了很多學者的關注，并在機械故障診斷領域[3-5]，得到了較好的應用，但由于該算法的篩分特性，使其很大程度上要依賴于極值點的找尋和停止法則，同時對背景噪聲有著較強的敏感性，所以易出現模態混疊現象，使該算法魯棒性較差。為了克服這一缺點，N E Huang等在其基礎上提出了集成經驗模態分解[6](Ensemble Empirical Mode Decomposition，EEMD)，該算法是在整個時頻空間中加入均勻分布的白噪聲。利用這一特點，EEMD在克服模態混疊現象上取得良好效果，同樣在機械故障領域得到了廣泛應用[7-8]。EEMD作為噪聲輔助型算法，在分解后的信號中必然會留下殘余白噪聲，理論上經過無限次集成平均后，可以完全消除殘余白噪聲，但在實際應用中這是不可能實現的，并且在加入白噪聲數量大的情況下，平均集成次數也隨之增加，這就造成數據處理要花費大量時間。基于此，本文采用一種新的自適應信號模態分解方法，變分模態分解[9](Variational Mode Decomposition, VMD)，該方法由Dragomiretski-y等于2014年提出，其最大的特點就是摒棄了EMD和EEMD算法中的遞歸篩分思想，而是將對模態的估計轉變為變分問題的求解, 在頻域不斷更新各模態及其中心頻率, 最后各模態經傅里葉逆變換到時域[10]。同時VMD算法融合了維納濾波組，不僅可以有效地處理背景噪聲、增強該算法的魯棒性，而且縮短了程序的運行時間。文獻[11-13]已經將該方法應用到旋轉機械的故障診斷當中，取得了良好的效果。因此本文將VMD和一種改進的能量算子方法—頻率加權能量算子結合(Frequency-Weighted Energy Operator, FWEO)應用于振動機械的故障診斷中。FWEO作為能量算子中的一種方法，不同于希爾伯特變換(Hilbert Transform, HT)，它不屬于積分變換，而是基于求導運算，因此計算復雜性低，最主要的是，相對于傳統的Teager能量算子(Teager Energy Operator, TEO)，在面對噪聲與其他頻率成分干擾時，它具有更強的魯棒性[14]。最后本文將該方法應用在仿真信號和真實軸承故障信號上，并與其他方法進行對比，驗證了該方法具有更加優秀的性能，也為其他科研領域提供了新的參考。

1 VMD基本原理

VMD算法的目標就是將一個實數信號f(t)分解為多個互不相關的稀疏性子信號，也就是本征模函數，假設每個模態uk都具有中心頻率和有限帶寬，約束條件為各模態之和等于輸入信號f(t)，且每個模態的估計帶寬之和最小，步驟如下[9]：

(1) 通過對每個模態函數uk進行希爾伯特變換(Hilbert Transform)得到解析信號的單邊譜，如下

(1)

式中δ(t)表示狄利雷克分布函數；*表示卷積。

(2) 每個經過希爾伯特變換后的模態函數同ejωkt進行混合，使每個模態函數的頻譜移頻到基帶上，式子如下

(2)

式中ωk代表中心頻率。

(3) 通過梯度的二范數的平方對其模態的帶寬進行估計，最終的公式如下

(3)

(4)

式中 {uk}={u1,u2,…,uk}代表K個模態函數;{ωk}={ω1,ω2,…,ωk}代表每個模態函數的中心頻率。

為了使約束問題轉化為非約束問題，引入二次懲罰因子和拉格朗日乘子，二次懲罰因子用來保證信號重建后的保真度，朗格朗日乘子用來保證其約束的嚴格性，其擴展的拉格朗日表達式如下

(5)

使用Parseval/Plancherel傅里葉等距變換, 將式(5)中的{uk}和{ωk}的二次優化問題轉變到頻域, 分別得到各模態的頻域上的更新，具體表達式如下:

(6)

(7)

2 頻率加權能量算子基本原理

傳統的TEO能量算子一般稱之為Teager能量算子[15]，方法理念易于理解，假設有一組連續信號

x(t)=acos(ωt)

(8)

式中a代表幅值；ω代表瞬時頻率。

則一個能量算子定義如下

(9)

它的離散形式可以表示如下

ψ(x(n))=x2(n)-x(n-1)x(n+1)

(10)

將式(8)和其導數形式帶入式(9)得到以下式子：

(11)

將式(11)中兩個式子進行簡單運算可以得到瞬時頻率和幅值：

(12)

對于一般的解調信號，通常使用解析信號的形式來對其進行定義，如下式

X(t)=x(t)+jH[x(t)]=Aejφ(t)

(13)

式中H[x(t)]代表信號x(t)的HT；A(t)代表信號的瞬時幅值；φ(t)代表信號的瞬時相位。而信號的能量則是由信號的幅值的平方決定[16-17]，其表達式為

(14)

(15)

令x(t)=Acos(ωt+φ)，則：

(16)

(17)

將式(15)和(16)帶入式(14)，得出

Γ[x(t)]=A2ω2

(18)

可以看到新的能量算子也具有相類似的性質。

對于一個離散信號x(n)，則它的能量算子為

h2(n+1)+h2(n-1)]+

h(n+1)+h(n-1)]

(19)

3 實驗與討論

為了體現VMD-FWEO在強背景噪聲干擾下仍能較好地提取出故障頻率，本部分采用一組軸承故障模擬信號來進行驗證，并與較多文獻中提出的EMD-HT和EEMD-TEO等[18-22]故障提取方法進行對比，從而體現其優越性。

實驗信號采用一組軸承故障模擬仿真信號，如下式

(20)

為了體現FWEO在強噪聲和有其他頻率干擾下的優越性能，模擬環境采用強噪聲和其他頻率干擾下的復雜背景環境，混入噪聲為信噪比SNR=-10 dB的高斯白噪聲，4個干擾頻率分別為5，27，43和810 Hz。圖1分別為沖擊信號和混合后的復雜信號時域圖。

現分別用HT，TEO和FWEO三種方法做出各自的包絡譜和能量譜，如圖2所示。從圖2(a)中可以看到原始信號的頻譜圖中只含有干擾頻率而無故障頻率100Hz。通過圖2(b)，(c)和(d)對比發現，雖然HT可以勉強提取出故障特征頻率，但其幅值非常小，也未出現故障頻率的倍頻，且在其包絡譜中仍可以看到干擾頻率，因此它的提取效果可以說是失敗的；而TEO的能量譜，在噪聲和其他頻率成分干擾下，其提取故障特征頻率的能力受到很大限制，可以看出，在能量譜中幾乎都是噪聲頻率而無故障特征頻率；顯然FWEO的效果要強于前兩種方法，從其能量譜中可以看出，不僅譜線頂點幅值非常高，而且沒有干擾頻率的譜線，基本都為故障頻率及其倍頻，因此說明在強噪聲背景下FWEO的提取故障特征頻率的能力更加突出。值得注意的是此次實驗是在沒有前處理的情況下進行。

圖1 沖擊信號和混合信號時域圖Fig.1 Time domain of impact signal and composite signal

圖2 HT, TEO和FWEO性能對比Fig.2 Comparison of the performances among HT, TEO and FWEO

圖3為經過前處理后，EMD-HT，EEMD-TEO與VMD-FWEO的對比結果，從圖3(a)和(b)可以看出，在經過EMD，EEMD的前處理，過濾掉大量噪聲和干擾頻率后，HT和TEO可以將故障特征頻率提取出來，從圖3(c)可以看出，VMD-FWEO的效果還是要優于前兩種方法。同時對比圖3(c)和圖2(d)后發現，在無需前處理的情況下， FWEO雖然可以提取出故障特征頻率，但仍然可以看到有較多的噪聲頻率存在于FWEO能量譜中。而經過VMD處理后，可以看出FWEO能量譜更加的清晰干凈，噪聲頻率干擾明顯減少。因此，可以看出VMD-FWEO在強噪聲和多頻率干擾的背景環境下對軸承故障特征頻率有著較好的提取能力。

圖3 EMD-HT, EEMD-TEO和VMD-FWEO的性能對比Fig.3 Comparison of the performances among EMD-HT, EEMD-TEO and VMD-FWEO

4 振動篩軸承故障應用

4.1 試驗目的與安排

為了進一步驗證該方法在實際工況下的優越性和實用性，將其應用在振動機械中常用的振動篩的軸承故障中。該實驗的目的有二：一、通過實驗驗證該種方法不僅可以在旋轉機械上使用，而且可以在振動機械上應用；二、振動機械不同于旋轉機械，在相同的工況下，它的背景噪聲和其他振動干擾要明顯強于旋轉機械，對算法的魯棒性要求更高。因此可以在實際工況下驗證該種方法相較于其他傳統方法的優越性。

實驗采用的振動篩如圖4所示，分別對滾動軸承進行內環點蝕、外環點蝕，點蝕尺寸參數如表1所示。軸承參數如表2所示。軸承的內外圈故障特征頻率可以通過下式得到：

(21)

(22)

式中fo，fi分別代表外圈和內圈故障特征頻率；d代表滾子直徑；D代表滾道的節徑；Z代表滾動體數量；α代表接觸角；f代表軸的轉動頻率。根據上式計算出的故障頻率和相關頻率如表3所示。

圖4 振動篩Fig.4 Vibrating screen

型號位置 寬度深度長度1308內環1.00.2軸承寬度/21308外環0.70.2軸承寬度/2

表2 軸承參數

表3 本次實驗相關特征頻率

針對振動篩的工作特點，本次實驗專門準備了4塊大偏心塊和4塊小偏心塊，配以單電機和雙電機運轉，當雙電機運轉時兩電機轉速相同。將它們進行交叉組合來獲得不同的振動量級，隨著振動量級的增大，背景噪聲也隨之增強，從而采集不同振動量級下的故障數據，實驗安排如表4所示。

表4 實驗安排

實驗安排中，同樣采用EMD-HT，EEMD-TEO和VMD-FWEO三種方法進行對比。小偏心單電機振動量級最小，大偏心雙電機振動量級最大。為了更好體現該方法的優越性，本次試驗采用外圈振動量級最大(實驗6)工況下和內圈振動量級最大(實驗3)工況下進行對比實驗。

同時，為了更好地體現VMD-FWEO及其FWEO單獨使用時的優越性，本次實驗還采用了美國西儲大學軸承實驗驗證中心提供的公共數據作為對比，該數據由旋轉機械設備中采集，因此噪聲較小。旋轉實驗臺如圖5所示。該設備的軸承參數如表5所示。相關頻率參數如表6所示。

表5 軸承參數

表6 相關特征頻率

圖5 旋轉實驗臺Fig.5 Experiment rig

4.2 外圈實驗

振動篩與模擬實驗臺的外圈故障信號如圖6和7所示，從圖中可以看出從兩種設備中提取出的外圈故障頻率都已經被噪聲與其他干擾淹沒，只有各自的基頻頻率15.17和29.95 Hz。

現用EMD，EEMD和VMD分別對兩組信號進行分解，分解后的模態分量，利用K-L散度[23]從中選取與原信號相似度最大的模態信號，兩種工況下的K-L散度如表7和8所示。

表7 K-L實驗臺數據散度值

表8 K-L振動篩數據散度值

圖6 振動篩外圈原始信號Fig.6 Original signal of outer ring of vibrating screen

圖7 實驗臺外圈原始信號Fig.7 Original signal of outer ring of experimental rig

從中分別合適的模態分量做HT包絡譜，TEO能量譜和FWEO能量譜，其對比如圖8所示，左邊為實驗臺的故障頻譜圖，右邊為振動篩故障頻譜圖。

圖8 實驗臺和振動篩外圈故障特征對比Fig.8 Comparison of faulty feature of outer ring between the vibrating screen and the experimental rig

故障信號經過EMD，EEMD和VMD分解處理后，去除了大量的高頻噪聲和系統中的干擾頻率，因此從圖中可以看到，任何一種方法，都可將兩種工況下的外圈故障頻率提取出來。但從細節上依然可以看出，不管是在模擬實驗臺上還是振動篩上，通過VMD-FWEO得出的能量譜中的故障特征譜線幅值明顯高于其他兩種方法得出的譜線幅值，說明提取故障特征能力較強。

同時，文獻[24-25]提出可將瞬時頻率作為評價算法魯棒性是否優劣的一種標準，瞬時頻率譜線波動越大，說明魯棒性越差，易受噪聲干擾，反之亦然。因此可以采用瞬時頻率來判斷三種方法的優劣。EMD，EEMD和VMD分解后的效果，瞬時頻率對比如圖9所示。通過對比可以明顯發現兩個特點：第一，經過VMD分解后，不管從模擬實驗臺上還是振動篩上提取的軸承故障信號，其模態分量的故障頻率譜線的波動都明顯小于其他兩種方法；其次，從圖中可以清楚看到，當使用模擬實驗臺上提取的故障信號時，EMD和EEMD分解的模態分量的頻率譜線波動較小，而采用振動篩上提取的故障信號時，其波動明顯增大，而VMD分解的模態分量的故障頻率譜線在兩種工況下，除個別時點外，波動并無大幅度的變化。因此，從這點可以說明基于EMD和EEMD提取軸承故障的方法易受噪聲影響，而基于VMD的方法有更好的魯棒性，抗噪的能力較強。

圖9 瞬時頻率對比Fig.9 Comparison of instantaneous frequency

4.3 內圈實驗

從外圈實驗可以看出，在EMD，EEMD和VMD的前處理幫助下，HT，TEO和FWEO三種方法都能將故障特征頻率提取出來。因此，為了比較三種方法在真實數據下單獨使用時，提取故障特征頻率能力的優劣，內圈故障實驗在不進行前處理的工況下進行。

現用Hilbert，TEO和FWEO的三種方法對兩種工況下的軸承內圈故障信號進行處理，如圖10所示。從圖10中可以看出，三種方法在沒有前處理的情況下，均能將旋轉模擬實驗臺的內圈故障特征頻率及其倍頻提取出來。而對于在強噪聲背景下提取出的振動篩軸承故障信號，僅有FWEO能提取出故障特征頻率及其倍頻，而其他兩種方法都是失敗的。因此通過這個對比實驗，可以發現，傳統的HT和TEO能量算子易受噪聲和其他干擾頻率的影響，在復雜的背景環境下不適合單獨使用，必須與有效的前處理方法結合使用才能提取出軸承故障特征頻率。而對于FWEO能量算子，在兩種工況下都可將故障特征頻率提取出來，說明該方法具有更好的魯棒性，不易受到外部環境的影響。同時，在單獨使用FWEO時，可以提高運算效率，大大節省程序運行時間。

5 結 論

通過仿真信號和真實的振動篩軸承故障實驗，有幾點發現：

(1) 實驗結果對比說明，傳統的HT和TEO能量算子可以在背景噪聲和振動干擾較小的情況下單獨使用而不需要前處理，但噪聲一旦加大，其提取故障特征的能力明顯下降甚至是失敗的，因此需要同一些有效的前處理方法聯立使用。但對于FWEO能量算子來說，當噪聲增大時，它的故障特征提取能力依然較強，再不需要前處理的情況下，依然可以較好的將故障特征頻率提取出來。

(2) EMD-HT，EEMD-TEO和VMD-FWEO三種方法通過實驗看出，在兩種工況下，都可有效提取出故障特征頻率，但通過其瞬時頻率的波動程度，可以看出，VMD-FWEO對于噪聲有著更強的抗干擾性能。因此將其應用到軸承故障領域或其他機械故障診斷方向是可行的。

圖10 內圈故障特征對比Fig.10 Comparison of fault characteristic of inner ring

(3) 因本次實驗通過改變不平衡量大小獲得振動干擾，所以未模擬出實際工況下的復雜的沖擊振動；另外將其應用于同時存在內外圈故障的復合故障情況時，都將是我們的下一步研究工作。

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