幾何體的外接球

葉良銓

摘 要：近年來，與多面體相關的外接球的表面積或體積問題頻繁出現在高考或各種模擬考試卷中，試題的廣度、深度、難度都在不斷加大，并常常位于客觀題靠后的位置，成為逐步興起的高考熱點。解決此類問題的關鍵是選好解題策略。策略一，找模型（正方體、長方體）；找“墻角”塞，（直三棱柱，正棱柱，正棱錐，正四面體）；策略二，定球心（分別過兩個面的外心作面的垂線，兩垂線的交點，即為球心）.

關鍵詞：高考；視圖；還原；外接球；策略

隨著高考對立體幾何知識考查的深入，進一步拓寬了對立體幾何問題的命題空間和解題空間，試題的結構、背景、交匯更加豐富、更加新穎。全國卷中往往是只給出幾何體的三視圖，要求考生求原幾何體外接球的表面積和體積.其難點在于準確還原原幾何體和幾何體外接球半徑的求解.本文結合實例，更加系統的介紹由三視圖如何準確還原幾何體以及幾何體外接球半徑的幾類求法，希望對同行有所幫助.

1 預備知識

預備知識一：由三視圖還原幾何體的通法：垂直拉升法（三線交匯得頂點）.

由三視圖還原幾何體的步驟：

全國卷中，往往需要由三視圖還原幾何體，這就要求考生要有很強的空間想象能力，要通過不斷猜想、驗證、調整才能得出原幾何體.而有些較復雜的反常規的三視圖，在高考有限的時間內卻很難做到，給考生設置了一道攔路虎，也會使考生對后面的答題產生心理波動.

例1.（2014年高考全國 I 卷理科第12題）如圖1，網格紙上小正方形的邊長為4，粗實線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的各條棱中，最長的棱的長度是（ ）

A. 6 B. 6 C.4 D. 4

解析：步驟1：由三視圖可知，原幾何體的長、寬、高均為4，所以我們可用一個邊長為4的正方體作為載體對三視圖進行還原，如圖2（1）.

步驟2：根據正視圖，在正方體中畫出正視圖上的四個頂點的原象所在的線段。即在正方體的后“面”找到對應的點A'B'D'C'，然后從后→前垂直拉伸，用紅線表示如圖2（2）.

步驟3：側視圖有三個頂點，畫出它們的原象所在的線段。即在正方體的右“面”找到對應的點A'B'C'，然后從右→左垂直拉伸，用藍線表示如圖2（3）.

步驟4：俯視圖有三個頂點，畫出它們的原象所在的線段。即在正方體的下“面”找到對應的點A'B'D'C'，然后從下→上垂直拉伸，用綠線表示如圖2（4）.

步驟5：三種顏色線的公共點（只有兩種顏色線的交點不行； 雖是三種顏色的交點，但如果在其三個方向上的點都是三種顏色的交點，則此點要剔除）即為原幾何體的頂點，連接各頂點即為原幾何體，如圖2（5）.

步驟6：驗證圖2（6）所得的幾何體是否符合題意.

結合圖2（6），易知BC=AB=4，CA=4 ，

AD=DC=2 容易求得，AD=6，故最長的棱長BD=6，故選B.

以上方法步驟歸納為：①畫；②垂；③選；④連；⑤驗。

注：（1）還原三個視圖無先后順序；（2）三視圖的虛線表示在幾何體不可視的位置：后面、右面、下面等.實線在幾何體表示可視的位置：前面、左面、上面等.

預備知識二：球的定義、性質、常用結論.

定義：空間中，若一個定點到一個幾何體的各頂點的距離都相等，則這個定點就是該幾何體的外接球的球心.

性質：球心與截面圓（小圓）圓心的連線垂直于截面圓.

基于上述的定義與性質，可以得到確定簡單多面體外接球的球心的位置有如下結論[ 1 ]：

結論1：長方體和正方體的外接球的球心在其體對角線的中點處.

結論2：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心.

結論3：正棱錐的外接球的球心在其體高上，具體位置可通過列方程計算來確定.

結論4：正棱柱的外接球的球心在上下底面中心的連線的中點處.

結論5：直三棱柱的外接球的球心在上下底面三角形外心的連線的中點處.

結論6：過幾何體其中兩個面（外心較易找到）的外心分別作這兩個面的垂線，垂線的交點即為球心.

預備知識三：三角形的外心.

1. 定義：△ABC外接圓的圓心，簡稱為△ABC的外心。

它是△ABC各邊中垂線的交點.

2. 性質：①直角△ABC的外心在斜邊的中點處.

②等邊△ABC的外心在中線的三等分點處.

③設△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理

有： = = =2R.

2 簡單多面體外接球半徑的求法

那么在具體問題中，又如何應用上面的兩個預備知識求簡單多面體外接球的半徑呢？下面我就通過幾個實例加以總結，并模型化.

（1）模型一 長方體（正方體）模型

①“墻角模型”（三線兩兩垂直），如圖3（1），（2），（3），（4）

方法：找三條兩兩互相垂直的線段，分別作為長方體的長、寬、高a，b，c，

用公式：2R= ，即R= .

例2. （2017·蘭州市實戰考試）一個幾何體的三視圖如圖4（1）所示，其中正視圖和側視圖是腰長為1的兩個等腰直角三角形，則該幾何體外接球的體積為（ ）

A B C 3 D 3

解析：由三視圖還原成的幾何體是四棱錐P—ABCD，如圖4（2）所示，其外接球即為邊長為1的正方體的外接球，注意：DA、DC、DP兩兩互相垂直，形似“墻角”，而正方體的體對角線就是其外接球的直徑，故外接球的直徑2R= = ，即R= ，所以球的表面積S=4 R2= ，選A.

②直三棱柱（底面為直角三角形）模型

題設：如圖5（1）直三棱柱中ABC-A1B1C1中，AB AC，A1A 面ABC，AB=a，AC=b，AA1=c，求此三棱柱外接球的表面積.

解析：根據此三棱柱的特征，可補成如圖5（2）的長方體，從而外接球的半徑R= .

③對棱相等模型

題設：已知三棱錐（四面體）的三組對棱對應相等，分別為x，y，z，求此三棱錐的外接球的表面積.

解析：如圖6，AD=BC=x，AC=BD=y，AB=CD=z.

第一步：畫一個長方體，設長、寬、高分別為a，b，c；并標出三組互為異面直線的對棱.

第二步：列方程組，解方程

a2+b2=BC2=x2

b2+c2=AC2=y2 a2+b2+c2= .

c2+a2=AB2=z2

第三步：根據墻角模型，2R= ，

即R= .

第四步：由球的表面積公式S=4 R2求得.

（2） 模型二 共斜邊的直角三角形模型

題設：如圖7（1）所示，三棱錐P-ABQ中，∠APB=∠AQB=900，求三棱錐外接球的半徑.

解析：取斜邊AB的中點O，連接OP、OQ，則有

OP= AB=OA=OB=OQ，所以點O 即為球心，在△POQ中可求得球半徑R.

例3 （2016年福建省質檢理科10） 如圖7（2），在三棱錐P-ABC中，PA=2 ，PC=2，AB= ，BC=3，∠ABC= ，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為（ ）

（A） 4 （B） （C） （D）16

解析：在RtΔABC中，AC= =4所以在ΔPAC中AC2=16，PA2+PC2=16，即：PA2+PC2=AC2，∠APC=900.所以AC的中點0即為球心，故R= AC=2，所以S=4 R2=16 ，選D.

（3）模型三 正棱錐模型（以正三棱錐為例）

正棱錐的外接球球心在體的高線上.

題設：如圖8，已知正三棱錐P-ABC的底面邊長為a，高為h，求此三棱錐外接球的表面積.

第一步：確定球心的位置。取ΔABC的外心H，連接PH，在PH上任取點O，則恒有ΔOAH≌ΔOCH，所以恒有OA=OB=OC，故當OA=OP時，點O便為球心.

第二步：計算.設OA=OP=R，則在RtΔOAH中：

OH=h-R，AH=r= a× = a，由勾股定理得R2=（ a）2+（h-R）2，從而解出R= .故此三棱錐的外接球的表面積為4 （ ）2.

（4）模型四 直三棱柱（底面不為直角三角形）

題設：如圖9，直三棱柱中ABC-A1B1C1中，A1A⊥面ABC，AB=a，AC=b，BC=c，A1A=h，求此三棱柱外接球的表面積.

解析：設O1，O2分別為△ABC和△A1B1C1的外心，可推得O1，O2的中點即為三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心O.在△ABC中，由余弦定理得：cosA= ，所以sinA= ，所以由正弦定理得△ABC外接圓的直徑2r= ，即O1A= ，又OO2= ，所以在RtΔOO2A中，求得R=OA= .

（5） 模型五 定球心

球心在過截面圓圓心的垂線上.

例4 （2016年福建省單科質檢理科15變式）如圖10，三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2 ，AB=4，∠BAC=300。若三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為 .

解析：依題意得，△PAC為正三角形，其外心在底邊AC的高線PH的三等分點O2處；又因為在ΔABC中由余弦定理得：BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=2 ，所以，AB2=AC2+BC2.故∠ACB=900，所以ΔABC的外心在斜邊AB的中點O1處。由題意可得PH⊥面ABC，可推得O1H⊥面PAC，過O1作OO1∥PH，過O2作OO2∥O1H，OO1與OO2交于點O，則有OO1⊥面ABC，OO2⊥面PAC，所以點O即為三棱錐P-ABC的球心。所以在RtΔOO1B中O1B= AB=2，OO1=O2H= PH=1，，所以外接球半徑R2=OB2=OO12+O1B2=5，所以外接球的表面積為20 .

（6） 模型六 建系型

例5 如圖11（1），邊長為1的正方形網格，某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體外接球的表面積為 .

解析：由垂直拉伸法（三線交匯得頂點）可還原原幾何體，如圖10（2）所示，三棱錐P-ABC.建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，則A（1，2，0），B（0，2，0），C（0，1，0），P（0，0，1）；設球心O（x，y，z），球半徑為R.依題意有OA2=OB2=OC2=OP2=R2：即

（x-1）2+ （y-2）2+z2=R2

x2+（y-2）2+z2=R2

x2+（y-1）2+z2=R2

x2+y2+（z-1）2=R2

即O（ ， ， ），所以R2= ，故外接球的表面積為11 .

另解：可構造如圖11（3）所示的直三棱柱PBC-PQA，利用模型四來解決，讀者不妨可以試解一下.

總之，解決幾何體外接球的問題遵循兩個策略，策略一，找模型.如正方體、長方體（找“墻角”塞）、直三棱柱、正棱柱、正棱錐、正四面體； 策略二，定球心.分別過兩個面的外心作面的垂線，兩垂線的交點，即為球心.

參考文獻：

[1] 武增明.確定多面體外接球球心的策略[J].中學數學雜志，2013（1）：10.