倡導一題多解 提高學生解決問題的綜合能力

郭勇其

摘 要：本文通過對2017年全國高考理綜（Ⅰ）卷第21題的若干種解法分析，旨在增強高考復習時分析題目的意識，倡導通過一題多解，發散學生的思維，引導學生去尋求發現巧解、妙解，讓學生在比較與討論中找出最簡便的解法和獨特的富有新意的解題思路，真正培養學生對多種解題方法的認識。利用一題多解既能讓學生復習歸納知識，也能讓學生在頭腦中建立不同知識之間的聯系，完善學生的知識認知結構體系，真正促進學生的綜合能力的發展。

關鍵詞：動態平衡；一題多解；解題方法；發散思維；綜合能力

高三復習，許多學生埋頭于題海中，教師的講解有點兒走馬觀花，一帶而過，結果學生對于知識的應用、解決問題的綜合能力無法得到提高，復習效率低下。本文擬通過對2017年全國高考理綜（Ⅰ）卷第21題的不同解法，倡導高三復習時通過一題多解，全面提高學生解決問題的綜合能力、提高復習效率。

題目：（2017年全國理綜Ⅰ卷）21題為多項選擇題。如圖1所示，柔軟輕繩ON的一端O固定，其中間某點M拴一重物，用手拉住繩的另一端N。初始時，OM豎直且MN被拉直，OM與MN之間的夾角為α（α> ）。現將重物向右上方緩慢拉起，并保持夾角α不變。在OM由豎直被拉到水平的過程中

A.MN上的張力逐漸增大

B.MN上的張力先增大后減小

C.OM上的張力逐漸增大

D.OM上的張力先增大后減小

引導學生分析問題，尋求解決問題的可能方案，提出解決問題策略是培養學生分析能力、思維發散能力的好方法，也是習題教學的重要功能之一。

在學生用常規的思路解決之后，鼓勵他們嘗試從其他不同的角度或方法對問題展開分析，久而久之學生的思維就不會局限于原有的思維定勢，從而達到訓練發散思維的目的。分析題目：

考點分析：本題是考點“共點力作用下物體的平衡” 中典型模型“動態平衡”的問題。

解決問題的切入點：角α不變且α>

解決問題的策略：正交分解法或平行四邊形定則

解決問題的關鍵：畫出動態變化中的靜態圖

解決問題的方法：圖解法、解斜三角形法、端值法等

解法一：解斜三角形法

“動態平衡”的問題解法很多，其中利用三角形的正弦定理或余弦定理是經常用到的方法。

將重物拉開一個角度β后，對重物進行受力分析，根據共點力的平衡條件，繩子OM與MN的拉力T 、TN的合力與重物的重力mg等值反向，如圖2所示。由三角形正弦定理可得 = = ；

由于α不變，且α> ，重物向右上方緩慢拉起時，β在增加，故TN在增大；又，β從0增大到 的過程中，sin（α-β）大小是先增大后減少，故TO也是先增大后減少。綜上所述，答案為A、D。

（注：本解法學生遇到的障礙是“三角形正弦定理”和“α> ，β從0增大到 時，

sin（α-β）大小是先增大后減少”）

解法二：正交分解法

正交分解法是“共點力作用下物體的平衡”這一考點的基礎知識，也是最常規的解法。

將重物拉開一個角度β后，對重物進行受力分析，以OM1 方向為縱坐標，垂直于為OM1方向橫坐標，建立直角坐標系，分別對mg 、TN進行分解，如圖3所示；然后列方程得：mgsinβ=TNsin（？仔-？琢）①，由于α不變，可見在β從0增大到 的過程中，TN是一直增大；同時有TO=mgcosβ+TN cos（？仔-？琢）②，聯立①②，結合數學的三角函數中的知識，最終②式可寫成TO=Asin（β+r）形式，在β從0增大到 的過程中，sin（β+r）是先增大后減少，故TO也是先增大后減少。綜上所述，答案為A、D。

（注：本解法學生遇到的障礙是“利用三角函數中的知識，聯立①②，寫成TO=Asin（β+r）形式”）

解法三：圖解法

“動態平衡”的問題中，若研究對象受到三個力作用，其中一個力為恒力，另一個力方向不變，第三個力則隨外界條件的變化而變化，包括大小和方向都變化，解決問題往往是應用三角形定則畫出不同狀態下的矢量圖（畫在同一個圖中），然后根據有向線段（表示力）的長度變化判斷各力的變化情況。

在圖2的基礎上，注意到π-α不變，重力mg不變，而TO、 TN的大小和方向都在變化，由于α> ，mg、TO 、TN三者的大小方向及變化關系可以用圖4表示。由圖可以看出隨著MN向上傾斜，TN是一直增大，而TO是先增大后減少（從弦到直徑再到弦）。所以，答案為A、D。

（注：本解法學生遇到的障礙是“畫出動態圖” 以及“TO是從弦到直徑再到弦的變化過程”）

解法四：相似三角形法

“相似三角形法”指的是在對物體進行受力分析（尤其是動態平衡過程）時找到兩個相似三角形，其中一個三角形的邊長表示長度，另一個三角形的邊長表示力的大小。利用相似三角形法可以判斷某些力的變化情況。

在圖2的基礎上，還可以應用“相似三角形法”另外求解，將M1N1反向延長交OM（或其延長線）于M2，如圖5所示，由圖可知三角形△OM1M2與mg、TO 、TN三者構成的力圖三角形相似，則有： = ，重物向右上方緩慢拉起時， OM1不變，OM2是先減少后增大（不太容易看出，如圖6所示），故TO是先增大后減少；同時有 = = ，在β從0增大到 的過程中，TN是一直增大。答案為A、D。

（注：本解法學生遇到的障礙是分析出“OM2是先減少后增大”和尋找出“相似三角形法”）

解法五：端值法

端值法，是一種非常規的解題方法，特別是在某些選擇題中，在不超出變量取值范圍的前提下，對變量取極端值（極大值或極小值）進行分析和研究，也可以是對物理過程取極端值分析，快速進行判斷。

本題中，取最低點和最高點兩個位置進行分析，剛開始時，重物在最低點，繩子OM與MN的拉力TO 、TN的分別為mg 、0；重物在最高點（水平位置與O點等高）時，對重物進行受力分析，如圖7所示，根據平行四邊形定則，繩子OM與MN的拉力TO 、TN的分別為

TO= ，TN=

可見：①當 時，T/OTO；所以可以判斷選項C “OM上的張力逐漸增大”是錯誤的（也可利用當角α很接近 時，T/O 幾乎為零，判斷選項C是錯誤的）；選項D可能是正確的。

②若角α趨于π，TN 將趨于∞，由此可以判斷選項B“MN上的張力先增大后減小” 是錯誤的；選項A是正確的；由于本題是多項選擇題，故答案為A、D。

本題甚至可以應用“有固定轉軸物體的平衡條件”判斷繩子MN的拉力TN的變化情況：以過O點、垂直于紙面的直線為軸，由于角α不變，所以隨著重物向右上方緩慢拉起，MN的拉力TN的力臂L1不變，而重力mg的力臂L2在增大，而OM的拉力TO的力矩為零；根據有固定轉軸物體的平衡條件得mgL2=TN L1，所以選項A是正確的；

（注：本解法學生遇到的障礙是“根據分析得到TO可能大于也可能小于TO，排除選項B”）

本例中，借助考點“共點力作用下物體的平衡”，復習了解決此類問題的若干方法，也將解選擇題的一些方法（排除法、端值法）等介入進來，有繁有簡，各種方法相得益彰，提高了學生的興趣。因此，高考復習時的例題教學中首先應注意常規解法的講授，做好正常的雙基教學，讓學生掌握一種基本的常規解法后，然后再適當點撥，發散學生的思維，引導學生去尋求發現其他巧解、妙解等，讓學生在比較與討論中找出最簡便的解法和獨特的富有新意的解題思路，真正培養學生對多種解題方法的認識。利用一題多解既能讓學生復習歸納知識，也能讓學生在頭腦中建立不同知識之間的聯系，完善學生的知識認知結構體系，真正促進學生的綜合能力的發展。