無寄生運動非對稱空間2T1R并聯機構設計與運動學分析

鄧嘉鳴 許 可 趙迎春 沈惠平 張 震 楊廷力

(常州大學現代機構學研究中心， 常州 213016)

0 引言

三自由度的三維純平移和三維純轉動并聯機構已得到了較多的研究與應用[1-4]，而具有轉動和移動混合輸出的三自由度并聯機構同樣具有較好的研究價值。有關一平移兩轉動(1T2R)并聯機構的研究，已有3-PRRU并聯機構[5]，Exechon機器人[6-7]中的2-UPR-SPR并聯機構，Tricept和TriVariant機器人[8-10]中的3-UPS-UP和2-UPS-UP并聯機構。王飛博等[11]運用基于螺旋理論的運動/力傳遞性能指標對3-PRRU、2-PRU-PRRU和2-PRS-PRRU 3種1T2R并聯機構進行構型優選。汪滿新等[12]運用虛擬鏈法對1T2R型并聯機構進行型綜合，得到多種含冗余驅動/過約束的新構型。HUNT[13]提出一種動平臺包含寄生運動的3-PRS并聯機構，JOSHI等[14]對此機構進行了奇異分析。

目前，對兩平移一轉動(2T1R)機構研究相對較少，但這類機構可用作空間抓放定位操作、娛樂設備、調姿裝備等，例：KONG等[15]、楊寧等[16]分別基于螺旋理論對2T1R型并聯機構的結構綜合進行了研究；REFAAT等[17]根據位移李群理論對三自由度混合運動并聯機構進行型綜合研究；張彥斌等[18]根據線性變換理論，對無奇異完全各向同性2T1R型空間并聯機構進行了結構綜合，楊廷力等[19-21]基于單開鏈單元理論對2T1R型并聯機構進行了型綜合，得到多種含有平面閉回路結構的新型機構。

寄生運動，即伴隨運動、派生運動、衍生運動，是指并聯機構動平臺的運動輸出量數目大于機構的自由度(或驅動副數目)的那一部分運動，它是由獨立運動派生(或衍生)的。一般情況下不希望產生寄生運動，因為對需要精確輸出運動的機構來說，其運動規劃與控制比較復雜；但文獻[22-23]卻逆向思考，提出了“少輸入-多輸出并聯機構”的研究對象、設計理論和方法，設計的系列含寄生運動的并聯機構，并應用于篩分[24-25]、康復[26-27]混合、娛樂等不需要精確運動的裝備上。

本文研究無寄生運動的2T1R機構。根據基于方位特征(POC)的并聯機構設計理論與方法[19-21]，設計一種能實現空間兩平移一轉動(2T1R)的并聯機構(RPa‖3R)-R+RSS；對該機構進行拓撲特征、位置正反解求解、動平臺工作空間及其轉動能力、奇異位形，以及速度與加速度的分析。

1 2T1R并聯機構的設計及拓撲分析

1.1 機構設計

根據基于方位特征(POC)方程的并聯機構拓撲結構設計理論和方法[20-21]，本文提出的2T1R并聯機構如圖1所示，靜平臺0與動平臺1用一條無約束支鏈(SOC)和一條混合支鏈HSOC聯接。

圖1 非對稱零耦合度(RPa‖3R)-R+RSS機構Fig.1 Asymmetric and zero coupling degree mechanism (RPa‖3R)-R+RSS

因此，整個并聯機構記為(RPa‖3R)-R+RSS。

1.2 機構拓撲特性分析

1.2.1機構的POC計算

1.2.1.1并聯機構的POC方程[22]為

(1)

(2)

式中MPa——機構動平臺的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

Msj——支鏈中第j個子SOC的POC集

1.2.1.2動平臺的POC集

(1)機構的拓撲結構

組成子并聯機構的Ⅰ、Ⅱ支鏈的拓撲結構分別為

SOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-}
SOC2{-R21‖R22‖R23-}

靜平臺0上R11與R21為垂直布置，即R21⊥R11；R31可任意布置，取R31‖R11。選定動平臺1上的任一點為基點O′。

(2)確定混合支鏈HSOC末端構件的POC集

設H為子并聯機構子平臺上的任一點，則子平臺產生的POC集為

表明子平臺1′僅產生oyz平面內的二維平移。

而混合支鏈未端產生的POC集為

(3)確定動平臺POC集

因無約束支鏈RSS的POC集為3T3R，因此，動平臺1的POC集為

表明動平臺1僅產生在垂直于R23軸線平面(即oyz平面)內的二維平移，以及繞R4軸線的轉動，而沒有其他的寄生運動或伴隨運動。

1.2.2機構自由度計算

1.2.2.1并聯機構全周性自由度公式[24]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數n——構件數

v——獨立回路數

ξLj——第j個回路的獨立位移方程數

Mb(j+1)——j+1條支鏈末端構件的POC集

1.2.2.2機構的DOF計算

(1)確定獨立回路的位移方程數

該機構可分解為2個獨立回路，其組成分別為

HSOC1{-R11‖R12(-P4R-)‖R13-
R23‖R22‖R21-}
SOC3{-R4-S32-S31-R31-}

它們的獨立位移方程數計算如下：

①支鏈Ⅰ、Ⅱ組成的子并聯機構為第1個獨立回路，可得

該子并聯機構的POC集為

可得該子并聯機構的自由度為

此即表明，子平臺1′在oyz平面內產生的二維平移，僅由該回路內的驅動副R11、R21決定，因此，該機構具有部分輸入-輸出運動解耦性。

②上述子并聯機構與單開鏈SOC3組成第2個回路，可得

(2)確定該并聯機構的自由度

因此，該機構的自由度為3，可取靜平臺上的R11、R21、R31為驅動副。

注：若將該機構視為僅由產生2T1R的等效混合支鏈和一條簡單支鏈組成的一個獨立回路，即

SOC{-P*-P*-R4-S32-S31-R31-}

則其獨立位移方程數為

則機構自由度為

顯然，自由度計算時，如將含回路的子并聯機構用等效支鏈替代，則計算過程比較方便。

1.2.3機構耦合度κ計算

(1)耦合度定義

由基于序單開鏈(SOC)單元的機構組成原理[22]知，任意機構可分解為若干個基本運動鏈(Basic kinematics chain，BKC)；而獨立回路為v的BKC可進一步分解為v個單開鏈SOC(Δj)(j=1,2，…,v)，而第j個單開鏈(SOCj)的約束度定義為

(5)

其中

式中mj——第j個SOCj的運動副數

Ij——第j個SOCj的驅動副數

Δj有正、零、負3種形式，但須滿足∑Δj=0。

因此，BKC的耦合度к定義為

(6)

耦合度к的物理意義：①к反映了BKC內各回路變量之間的關聯、依賴程度，且已證明：к值越大，機構運動學、動力學問題求解的復雜度越高。②機構的位置正解求解可轉換為其各個BKC的位置求解。③對于к=0的BKC，其每個回路的運動量解析解都能獨立求出；若к>0，意味著BKC的運動量需多個回路方程聯立求解，可用к維搜索法或代數法求得其位置正解或動力學逆解。

(2)機構耦合度к計算

1.2.2節已計算出2個回路的獨立位移方程數，分別為ξL1=5，ξL2=6，因此，它們的約束度Δ1、Δ2為

因此，該機構包含2個BKC，即第1個獨立回路為BKC1，第2個獨立回路為BKC2。由式(6)得，耦合度分別為：к1=0、к2=0；因此，它們運動學正解可分別直接求出解析式。

2 機構的位置分析

2.1 位置正解求解

2.1.1坐標系的建立與參數標注

2T1R機構的運動學建模如圖2所示，靜坐標系oxyz建立在靜平臺0的幾何中心，且x軸與A1A3連線重合，y軸與A1A3連線垂直，z軸由右手法則確定；動坐標系puvw的原點p位于直線C3D3中點，v、u軸分別重合、垂直于直線C3D3，w軸同樣由右手法則確定。

圖2 (RPa‖3R)-R+RSS機構的運動學建模Fig.2 Kinematics model of mechanism(RPa‖3R)-R+RSS

該機構的結構參數為：靜平臺0上點A1、A2和A3到原點O的距離均為l，即OAi=l(i=1,2,3)；C3D3=l8；桿2、3、4的長均為l1，即AiBi=l1(i=1,2,3)；桿6的長為l2，即B1C1=l2；桿7、8的長分別為l3、l5，即B2C2=l3，B3C3=l5；其余參數分別為C1D1=l4；D1E=EC2=l6；HD3=l7。

設A1B1、A3B3與x軸正向的夾角為θ1、θ3；A2B2與y軸正向的夾角為θ2；求動平臺1上p的坐標(x,y,z)及其姿態角θ。

2.1.2BKC1的位置分析

在靜坐標系oxyz中，點Ai(i=1,2,3)、Bi(i=1,2)的坐標分別為A1=(l,0,0)、A2=(0,l,0)、A3=(-l,0,0)；B1=(l+l1cosθ1,0,l1sinθ1)、B2=(0,l+l1cosθ2,l1sinθ2)。

由1.2.1節可知：機構運動過程中，子平臺1′僅產生沿z、y軸的平移，即xC2=0；則C1、C2的坐標分別為C1=(l-l6,yC2-l6,zC2-l4)、C2=(0,yC2,zC2)。

于是，由桿長約束B1C1=l2，B2C2=l3，有位置約束方程

(7)

簡化式(7)得

ayC2+bzC2=c

(8)

其中a=2(yB2-2l6)b=2(zB2-l4-xB1)

若a=0且b=0，則

但因l2

(1)當a=0時

(9)

(2)當a≠0時

(10)

其中d=a2+b2e=2(bc+zB2a2-abyB2)

2.1.3BKC2的位置求解

(11)

而C3點的坐標為

(12)

因此，由D3、C3點坐標，易求解p點的坐標(x,y,z)。

進一步，由桿長約束B3C3=l5，得位置方程

(13)

將式(13)整理化簡得

a1sinθ+b1cosθ+c1=0

(14)

其中a1=2c2l8b1=2b2l8

b2=(yB3-y)2c2=(zB3-z)2

(15)

從而求得該機構動平臺1的姿態角。

2.2 位置逆解求解

已知：動平臺1上p的坐標(x,y,z)和姿態角θ，求輸入角θ1、θ2、θ3。

C3、D3、H點的坐標分別為

而C1、C2點的坐標分別為

C1=(l6,yH,zH-l4)C2=(0,yH+l6,zH)

由桿6、7、8的3個桿長約束，可建立方程

(16)

(17)

(18)

由式(16)～(18)可得

(19)

其中z1=zC1z2=zC2z3=zC3

綜上可知，當動平臺p(x,y,z)已知時，輸入角θ1、θ2、θ3各有兩組解，即C1、C2、C3點的坐標各有兩組解，故逆解數為8，因此，動平臺有8種構型。

2.3 正逆解驗算

參考ABB機器人I4R的尺寸參數，輸入桿和平行四邊形的尺寸參數與之相同[28]，即l1=350 mm、l2=750 mm；其他結構參數分別為l=300 mm、l3=l5=800 mm、l4=40 mm、l6=150 mm、l7=70 mm、l8=390 mm。

取3個輸入角θ1、θ2、θ3分別為36.08°、66.74°、161.86°。由Matlab計算得該機構的位置正解，如表1所示。

表1 位置正解數值Tab.1 Numerical values of direct kinematics

對應1組解的機構三維構型如圖3所示。

圖3 對應1組解的機構構型Fig.3 Configuration of solution 1

取表1中的1組解的數據，代入逆解式(19)，計算求得8組逆解數值，如表2所示。

由表2知，第1組逆解數值，與正解求解時3個設定的輸入角一致，因此，正逆解公式推導正確。

表2位置逆解數值

Tab.2 Numerical values of inverse kinematic (°)

3 機構的工作空間和轉動能力分析

3.1 工作空間分析

圖5 機構工作空間各點的轉角范圍Fig.5 Range of rotational angle of any point in workspace

采用極坐標空間三位搜索法，基于機構的位置逆解，查找該機構工作空間內所有滿足桿長約束、轉角約束、干涉約束的點，即預先設定該機構工作空間的z向高度范圍，通過改變搜索半徑以及搜索角度，找到工作空間的邊界。

設定搜索范圍為：0≤z≤1 200 mm， -π≤θ≤π，0≤ρ≤300 mm；基于位置逆解式(19)，由Matlab軟件編程，得到機構可達工作空間如圖4所示。

圖4 機構的工作空間Fig.4 Workspace of PM

由圖4可知：

(1)機構的工作空間為平行于yoz面的一個“橋孔型”平面區域，且相對于x軸(T-T直線)具有良好的對稱性，這與實際結構關于T-T對稱一致。

(2)當z≤400 mm時，該機構的工作空間不連續，存在空洞。

(3)當410 mm≤z≤1 500 mm時，“橋孔型”平面型工作空間連續，為可達工作空間；在可達空間內會存在運動奇異現象，具體分析詳見第4節。

3.2 轉動能力分析

機構的動平臺轉角分析是評估并聯機構轉動角度能夠到達的范圍。同樣，基于機構的位置逆解方程，采用極限邊界搜索法，可以求出機構動平臺基點在工作空間內任意位置時的轉角范圍。

由1.2.1節機構的POC分析可知，動平臺1的運動輸出為oyz平面內的兩維平移2T；當400 mm≤z≤1 200 mm時，由Matlab計算出基點在oyz平面上各點時，則轉角θ的運動范圍如圖5所示。

由圖5可知，機構工作空間內各點的轉角θ的范圍較大，由圖5可看出：

(1)動平臺處于點A(0,900)、B(-600,700)時，其轉角范圍分別為[-180°,180°]、[-120°,90°]。

(2)A點分別處于紅色、藍色區域內，機構的轉角能達到[-180°,180°]，約占總區域面積的70%，表明機構的動平臺1具有較大的轉動能力。

4 機構的奇異性分析

4.1 機構奇異性原理

JpV=Jqω

(20)

其中

u11=2(zC1-zB1)l1cosθ1+2(xC1-xB1)l1sinθ1
u22=2(zB2-zC2)l1cosθ2+2(yC2-yB2)l1sinθ2
u33=2(zB3-zC)l1cosθ3+2(xC3-xB3)l1sinθ3
v11=2yC1v21=2(yC2-yB2)v31=2yC3
v12=2(zC1-zB1)v22=2(zC2-zB2)
v32=2(zC3-zB3)
v13=l8yC1sinθv23=l8(yC2-yB2)sinθ
v33=2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ

依據Jp、Jq矩陣是否奇異，將機構的奇異位形分為如下3類:①當det(Jq)=0時，機構發生輸入奇異。②當det(Jp)=0時，機構發生輸出奇異。③當det(Jq)=det(Jp)=0時，機構發生綜合奇異。

4.2 奇異位形分析

4.2.1輸入奇異

機構發生輸入奇異，意味著每條支鏈靠近驅動桿的兩根桿處于折疊在一起或完全展開狀態。這時，動平臺的自由度數減少。此時，det(Jq)=0，該行列式方程解的集合K為

K={K1∪K2∪K3}

(21)

且3種情況分別為：①K1={(xC1-xB1)sinθ1+(zB1-zC1)cosθ1=0}，即A1、B1、C1三點在oxz平面上的投影共線。②K2={(yC2-yB2)sinθ2+(zB2-zC2)·cosθ2=0}，即A2、B2、C2三點共線。③K3={(zB3-zC3)cosθ3+(xC3-xB3)sinθ3=0}，即A3、B3、C3三點在oxz平面上的投影共線。

滿足K1的三維構型如圖6所示。

圖6 輸入奇異位形Fig.6 Structure of input singularity

4.2.2輸出奇異

機構發生輸出奇異，意味著每條支鏈靠近動平臺的桿處于折疊在一起或完全展開的狀態，此時的動平臺自由度數增多，即使鎖住輸入，動平臺也可能存在自由度輸出。設

(wi1,wi2,wi3)=ei(i=1,2,3)

(22)

(wk1,wk2,wk3,wk4)=Ek(k=1,2,3)

(23)

若det(Jp)=0，則向量e1、e2、e3有如下2種情況：

(1)存在2個向量線性相關

①若e1=ke2，取w12=kw22，則

kw23=kl8(yC2-yB2)sinθ≡w13

即E1≡kE2，其三維構型為向量lB1C1、lB2C2在oyz平面上的投影相互平行，如圖7所示。

圖7 輸出奇異位形(例1)Fig.7 Structure of output singularity (example 1)

②若e2=ke3，取w21=kw31，則

kw33=k[2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ]

圖8 輸出奇異位形(例2)Fig.8 Structure of output singularity (example 2)

同理可得：e1=ke3，E1≡kE3。

(2)存在3個向量線性相關

若e1=k1e2+k2e3(k1k2≠0)，即

w1i=k1w2i+k2w3i(i=1,2,3)
k1w23+k2w33=k1l8(yC2-yB2)sinθ+
k2[2l8(xB3-xC3)cosθ-l8yC3sinθ]≠w13

同理，可得：任意3個向量(k1k2≠0)均線性無關則第2種情況都不成立。

4.2.3綜合奇異

此時，det(Jq)=det(Jp)=0，即輸入奇異和輸出奇異同時發生。在此位形下，動平臺將失去原有的運動特性。因此，取滿足輸入奇異中的K1、K2、K3的條件，代入輸出奇異分析中，此時，輸出奇異不成立，故該機構不存在綜合奇異。

5 機構速度和加速度分析

5.1 速度公式推導

當機構非奇異時，Jp可逆，可得

(24)

式(24)即為動平臺原點的輸出速度。

5.2 加速度公式推導

進一步，對式(24)求導得到

(25)

當機構不存在奇異性時，Jp可逆，則

(26)

式(26)即為動平臺原點的加速度公式。

5.3 速度和加速度算例驗證

表3 動平臺的速度分析Tab.3 Velocity of moving platform

表4 動平臺的加速度分析Tab.4 Acceleration of moving platform

將該并聯機構的三維模型，通過Solidworks導入到ADAMS軟件中進行仿真，得到動平臺的速度與加速度曲線分別如圖9、10所示。

圖9 動平臺的速度曲線Fig.9 Curves of velocity of moving platform

圖10 動平臺的加速度曲線Fig.10 Curves of acceleration of moving platform

由表4及圖10可知：

(1)由Matlab計算得到加速度(表4，t=2 s時，ay=0.642 mm/s2，az=0.455 mm/s2，aw=-0.982(°)/s2與運用ADAMS仿真得到的加速度(圖10，t=2 s時ay=0.64 mm/s2，az=0.45 mm/s2，aw=-0.98(°)/s2)完全一致，從而驗證了推導的速度與加速度公式的正確性。

(2)機構動平臺的速度、加速度曲線，變化較平

穩、連續，表明機構的動力學性能較好。

6 結論

(1)提出了一種空間2T1R無寄生運動的非全對稱并聯機構(RPa‖3R)-R+RSS；該機構耦合度為零且具有部分運動解耦性；給出了該機構位置正、反解的解析式。

(2)當410 mm≤z≤1 500 mm時，平行于yoz面的“橋孔型”平面型工作空間連續，為有效作業區域，且具有較好的對稱性。

(3)機構平臺轉動能力分析表明：動平臺轉角θ的范圍較大，能達到[-180°，180°]的區域約占總區域70%，動平臺具有較大的轉動能力。

(4)機構速度與加速度仿真曲線表明，機構動平臺加速度變化較平穩，具有較好的動力學性能。

1 黃真，孔令富，方躍法.并聯機器人機構學理論及控制[M].北京：機械工業出版社，1996.

2 HUANG Z，FANG Y F. Kinematics characteristics analysis of 3-DOF parallel actuated pyramid mechanisms[J]. Mechanism and Machine Theory，1996，31(8):1009-1018.

3 GROGORIOR D.Kinematics of a new spherical manipulator with three equal legs: the 3-URC wrist[J]. Journal of Robotic Systems，2001，18(5):213-219.

4 于海波，趙鐵石，李仕華.空間3-SPS/S對頂雙錐機構的運動學分析[J].機械設計，2007，24(2):11-14.

YU Haibo，ZHAO Tieshi，LI Shihua. The kinematic analysis of top double cone mechanism of spatial 3-SPS/S[J]. Journal of Mechanism Design，2007，24(2)：11-14.(in Chinese)

5 LI Q，HERVE J M. 1T2R parallel mechanisms without parasitic motion[J]. Robotics，IEEE Transactions on，2010，26(3)：401-410.

6 NEUMANN K E. Robot:US,4732525[P]. 1988-03-22.

7 OLAZAGOITIA J L，WYATT S. New PKM Tricept T9000 and its application to flexible manufacturing at aerospace industry[C]. SAE Paper 07ATC(-94)，2007.

8 NEUMANN K E. Parallel-kinematical machine：WO/2006/054935[P]. 2006-02-26.

9 ZOPPI M，ZLATANOV D，MOLFINO R. Kinematics analysis of the Exechon tripod[C]∥Proceedings of the ASME 2010 International Design Engineering Technical Conferences & Computers and Information in Engineering Conference IDETC/CIE，Quebec，Canada 2010：1-8.

10 HUANG T，LI M，ZHAO X M，et al. Conceptual design and dimensional synthesis for a 3-DOF module of the TriVariant—a novel 5-DOF reconfigurable hybrid robot[J]. IEEE Transaction on Robotics，2005，21(3)：449-456.

11 王飛博，吳偉峰，陳祥，等. 基于運動/力傳遞特性的1T2R并聯機構構型優選[J]. 機械工程學報，2014，50(23):20-28.

WANG Feibo，WU Weifeng，CHEN Xiang，et al. Optimal type selection of 1T2R parallel mechanisms based on motion/force transmissibility[J]. Journal of Mechanical Engineering，2014，50(23):20-28.(in Chinese)

12 汪滿新，黃田. 1T2R 3自由度并聯機構拓撲結構綜合[J]. 機械工程學報，2015,51(17):1-7.

WANG Manxin，HUANG Tian. Type synthesis of 1T2R 3-DOF parallel mechanism[J]. Journal of Mechanical Engineering，2015，51(17):1-7.(in Chinese)

13 HUNT K. Structural kinematics of in-parallel-actuated robot-arms[J]. Journal of Mechanical Design，1983，105(4)：705-712.

14 JOSHI S A，TSAI L W. Jacobian analysis of limited-DOF parallel manipulators[J]. Journal of Mechanical Design，2002，124(2)：254-258.

15 KONG X W, GOSSELIN C M. Type synthesis of 3-DOF PPR- equivalent parallel manipulators based on screw theory and the concept of virtual chain[J]. ASME Journal of Mechanical Design，2005，127: 1113-1121.

16 楊寧，馬履中，艾永強，等.兩平移一轉動并聯機構型綜合研究[J].機械設計與研究，2005，21(5): 29-32.

YANG Ning，MA Lüzhong，AI Yongqiang，et al. Study on structure synthesis of two translations and one ratation parallel mechanism[J]. Machine Design and Research，2005，21(5): 29-32.(in Chinese)

17 REFAAT S，HERVE J M，NAHAVANDI S.A symmetrical three-DOFs rotational-translational parallel-kinematics mechanisms based on lie group theory[J]. European Journal of Mechanics A/Solids，2006，25:550-558.

18 張彥斌，吳鑫，劉宏昭，等.無奇異完全各向同性2T1R型并聯機構的結構綜合[J].中國機械工程，2008，19(3): 277-281.

ZHANG Yanbin，WU Xin，LIU Hongzhao，et al. Structural synthesis of singularity-free fully-isotropic parallel mechanisms with 2T1R-type[J]. China Mechanical Engineering，2008，19(3): 277-281.(in Chinese)

19 楊廷力.機器人機構拓撲結構學[M].北京：機械工業出版社，2004.

20 楊廷力，劉安心，羅玉峰，等. 機器人機構拓撲結構設計[M]. 北京：科學出版社，2012.

21 YANG Tingli，LIU Anxin，SHEN Huiping，et al. Topology design of robot mechanisms[M]. Springer，2018.

22 SHEN Huiping，ZHU Xiaorong， ZHANG Dan，et al. The design methodology for less input-more output parallel mechanisms[J]. Mechanism and Machine Theory，2016，104(10)：43-58.

23 沈惠平，鄧嘉鳴，孟慶梅，等. 少輸入-多輸出并聯機構的設計方法及其應用[J]. 機械工程學報，2018，54(1)：223-232.

SHEN Huiping，DENG Jiaming，MENG Qingmei，et al. Design methods and applications for the fewer input-more output parallel mechanisms[J]. Journal of Mechanical Engineering，2018，54(1)：223-232.(in Chinese)

24 鄧嘉鳴，沈惠平，李菊，等．三維并聯振動篩設計與實驗[J/OL]. 農業機械學報，2013，44(11)：342-346. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20131157&flag=1. DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2013.11.057.

DENG Jiaming，SHEN Huiping，LI Ju，et al. Design and experiment research for three-dimensional parallel kinematics vibration sieve[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2013，44(11):342-346.(in Chinese)

25 李菊，曾氫菲，鄧嘉鳴，等.多維并聯振動篩篩分過程解析與篩面運動形式優選[J/OL].農業機械學報，2016，47(11)：399-407. http:∥www.j-csam.org/jcsam/ch/reader/view_abstract.aspx?file_no=20161154&flag=1. DOI：10.6041/j.issn.1000-1298.2016.11.054.

LI Ju，ZENG Qingfei，DENG Jiaming，et al. Screening process analysis for multidimensional parallel vibrating screen and optimization of screen surface movement[J/OL]. Transactions of the Chinese Society for Agricultural Machinery，2016，47(11)：399-407. (in Chinese)

26 沈惠平，楊梁杰，鄧嘉鳴．用于肩關節康復訓練的單輸入三轉動輸出并聯機構及其運動學設計[J]. 中國機械工程，2015，26(22)：2983-2988.

SHEN Huiping，YANG Liangjie，DENG Jiaming. A one-input three-rotation output parallel mechanism used for shoulder rehabilitation and its kinematics design [J]. China Mechanical Engineering，2015，26(22):2983-2988.(in Chinese)

27 鄧嘉鳴，戴麗芳，沈惠平，等．并聯式腳底按摩機構的設計及其研制[J]. 機械設計，2016，33(2):78-82.

DENG Jiaming，DAI Lifang，SHEN Huiping，et al. A novel parallel foot massage mechanism and its kinematics design[J].Journal of Machine Design，2016，33(2):78-82.(in Chinese)

28 劉平松，郭鋼，朱海寧. 4R并聯機器人工作空間分析[J]. 機械制造與自動化，2012，41(4):156-157.

LIU Pingsong，GUO Gang，ZHU Haining.Workspace analysis of the I4R parallel robot[J]. Machine Building & Automation，2012，41(4): 156-157.(in Chinese)